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人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域_图文

3.3 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第1课时 二元一次不等式表示的平面区域

1.了解二元一次不等式的实际背景; 2.了解二元一次不等式的几何意义; 3.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式.

一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于 企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收 益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.
应该用什么不等式模型来刻画呢?

二元一次不等式的有关概念
设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的 资金为y元.由资金总数为25 000 000元,得到
x + y ≤25 000 000. ①
1.二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.

由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%, 共创收30 000元以上,所以
(12 00)x +(10 00)y ≥ 30 000,
即 12x +10y≥3 000 000. ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不 能是负值,所以
x≥0,y≥0. ③

2.二元一次不等式的解集: 满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对 (x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次 不等式的解集. 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点构成 的集合.
例如二元一次不等式x-y<6的解集 为{(x,y)|x-y<6}.

二元一次不等式与平面区域 以二元一次不等式 x - y < 6 的解为坐标的点的集合

( ? x,y)x - y < 6?表示什么平面图形?
y

l:x? y?6

O

(6,0) x

(0,-6)

平面内的点被直线 x - y = 6 分成三类:

在直线 x - y = 6 上的点; 在直线 x - y = 6 左上方 的区域内的点; 在直线 x - y = 6 右下方 的区域内的点.

y l:x? y?6

O

(6,0) x

(0,-6)

设点P(x,y1 )是直线l上的点, 选取点A(x,y2 ),使它的坐标 满足不等式x - y < 6,完成下表:

y A( x, y2 )
l:x? y?6

O

(6,0) x

P( x, y1 )
(0,-6)

横坐标 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

点 P 的纵坐标 y1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 点 A 的纵坐标 y2 >-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3

当点A与点P有相同的横坐标时, 它们的纵坐标有什么关系? 据此说说,直线l左上方点的坐标与不等式x-y<6 有什么关系?直线l右下方点的坐标呢? 点A的纵坐标大于点P的纵坐标. 我们发现,在平面直角坐标系中,以二元一次不等
式 x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方; 反之,直线x-y=6左上方点的坐标都满足不等式
x-y<6.

因此,在直角坐标系中,不等式x-y<6表示 直线x-y=6左上方的平面区域.

y
l:x? y?6

O

(6,0) x

(0,-6)

不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的平面区域.

y
l:x? y?6

O

(6,0) x

(0,-6)

直线x-y=6叫做这两个区域的边界. 这里,把直线x-y=6画成虚线,以表示区域不包括边界.

(1) 不等式Ax + By + C > 0表示Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域,不包括边界,直线画成虚线.
(2) 不等式Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域包括边界, 直线以实线表示.

(3)区域确定:
∵Ax + By + C = 0同一侧的所有点(x,y),将 其坐标代入Ax + By + C,所得值符号相同;
∴Ax + By + C > 0表示的平面区域只需要特殊点确定.
一般地,C ≠0时,常用点(0,0) 确定. C = 0时常用点(0,1)或(1,0)确定.

例1 画出不等式 x + 4y < 4 表示的平面区域.

y

解:先作出边界 x + 4y = 4,
因为这条直线上的点都
不满足 x + 4y < 4,所以

1 x?4y ? 4

xO? 4 y ? 4 4

x

画成虚线.

取原点(0,0),因为 0 +4×0 - 4 = -4 <0,
所以原点(0,0)在 x + 4y < 4 表示的平面区域内,

不等式 x + 4y < 4 表示的区域如图所示.

作图方法步骤: 二元一次不等式表示平面区域的画法,
常用“直线定界、特殊点定域”.
(1)直线定界注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线; “≥0(或≤0)”时,直线画成实线.
(2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其它的点.

1.不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的( B ).

(A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方

2.不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是( D ).

y

y

y

y

O

xO

(A)

(B)

xO (C)

xO

x

(D)

3.画出不等式x≥1表示的平面区域.

解析:

y

O

x

x=1

4.画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域.

y 4x―3y-12=0

O

x

⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域.
⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域.

第2课时 二元一次不等式组表示的 平面区域

1.理解二元一次不等式组定义和几何意义; 2.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式组; 3.二元一次不等式组与平面区域的应用.

1.在上一节“引入新课”中,若最后加入“那么信贷部 应该如何分配资金呢?”
应该用什么不等式模型来刻画呢?

2.通过上一课的学习,我们知道
x-y<6表示直线x-y=6左上方
的平面区域.

那么二元一次不等式组

? x ? y ? 6,

? ?

x

?

y

?

4.

表示怎样的几何意义呢?

y

l:x? y?6

O

6x

-6

二元一次不等式组的有关概念
设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的 资金为y元.由资金总数为25 000 000元,得到
x + y ≤25 000 000. ①
由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%, 共创收30 000元以上,所以
(12 00)x +(10 00)y ≥ 30 000,

即 12x +10y≥3 000 000. ②

最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不 能是负值,所以

x≥0,y≥0. ③

将①②③合在一起,得到分配资金应该满足的条件:

? x ? y ? 25?000?000,

??12x ? 10 y ? 3?000?000,

? ?

x

?

0,

?? y ? 0.

1.二元一次不等式组: 像上面,由几个二元一次不等式组成的不等式组.
2.二元一次不等式组的解集: 满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对
(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不 等式组的解集.
有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式组的解集就可以看成直角坐标系内的点构 成的集合.

二元一次不等式组表示的平面区域

x ? y ? 4 表示直线及直线 x ? y=4 右上方的平面区域.

二元一次不等式组

? ? ?

x x

? ?

y y

? ?

6, 4.

表示两个平面区域的公共部分.

y

4

l:x? y?6

x

O 46

x ? y=4

-6

画二元一次不等式组表示的平面区域时,首先画出 各条直线,注意虚实;然后取点确定各不等式表示的区 域;最后再确定各不等式表示平面区域的公共部分.简单 地说:“一画线,二定侧,三求交”.

例1

用平面区域表示不等式组

?y

? ?

x

? ?

?3x ? 12, 的解集.
2y

解:不等式 y ? ?3x ? 12 表示直线 y ? ?3x ? 12

下方的区域; 不等式 x ? 2 y 表示直线 y ? 1 x
2 上方的区域;
取两区域重叠的部分,图中阴影 部分就表示原不等式组的解集.

y

12 8

y

?

?3x

? 12 y?

1

x

2

4

04 8 x

直线 y ? kx ? b 把平面分成两个区域:
不等式y ? kx ? b表示直线y ? kx ? b 上方的平面区域; 不等式y ? kx ? b表示直线y ? kx ? b 下方的平面区域.

例2 写出由三直线 x ? y=0,x ? 2 y ? 4=0 及 y ? 2=0

所围成的平面区域所表示的不等式组.

y

解:此平面区域在 x ? y ? 0 的右下方,? x ? y ? 0;

x?2y?4? 0
2
O

在 y ? 2=0 的上方,? y ? 2 ? 0;

-2 在 x ? 2 y ? 4 ? 0 的左下方,

x? y?0
4 x
y+2=0

? x ? 2 y ? 4 ? 0.

? x ? y ? 0,

则用不等式组可表示为:

? ?

x

?

2

y

?

4

?

0,

?? y ? 2 ? 0.

直线 Ax ? By ? C ? 0( A ? 0) 把平面分成两个区域:
Ax ? By ? C ? 0( A ? 0)表示直线Ax ? By ? C ? 0 右方的平面区域; Ax ? By ? C ? 0( A ? 0)表示直线Ax ? By ? C ? 0 左方的平面区域.

三 二元一次不等式组表示平面区域的简单应用

例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张

钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:

规格类型 钢板类型
第一种钢板 第二种钢板

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块, 用数学关系式和图形表示上述要求.

分析:列表

规格类型 钢板类型

A规格

第一种钢板

2

第二种钢板

1

成品块数

2x ? y

B规格 1 2
x ? 2y

C规格 张数

1

x

3

y

x ?3y

解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则

?2x ? y ? 15,

??? xx

? ?

2y 3y

? ?

18, 27,

?x ? 0,

?? y ? 0.

用图形表示以上限 制条件,得到的平面 区域如阴影部分.

y
20

16

12
8M

4

x O 4 8 12 16 20 24 28 30 x

x ? 2y ?18 2x ? y ? 15

x ? 3y ? 27

用平面区域表示实际问题的相关量的取值范围的基本方 法:
先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量 用字母表示,进而把问题中所有的量都用这两个字母表 示出来,再由实际问题中有关的限制条件写出所有不等 式,再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表 示出来即可.

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种
肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸 盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料,列 出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.

分析:列表

甲种肥料 乙种肥料 总吨数

磷酸盐t 硝酸盐t 车皮数

4

18

x

1

15

y

4x ? y 18x ?15y

解:设x ,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料 的车皮数,于是满足以下条件:

?4x ? y ? 10,

y

?18x ?15 y ? 66,

? ?

x

?

0,

? y ? 0.

10 8

用图形表示以上限

6

4
制条件,得到的平面区
2
域如阴影部分.

O

4x ? y=10
18x ?15y=66
1 2 345 x

1.不等式?组??????(x ?

?

y

? 5)(x ? y) 0?x?3

?

0

表示的平面域是一?个????(?

C

).

A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形

?x ? y ? 5≥ ?,

2.若不等式组

? ?

y



a,

表示的平面区域是一个三角

??0 ≤ x ≤ 2

形,则 a 的取值范围是( C )

A. a ? 5

B.a≥7

C. 5≤a ? 7

D. a ? 5 或 a≥7

? y ? x,

3.不等式组

? ?

x

?

y

?

1,,表示的平面区域为D,

?? y ? ?3

点P1(0, ?2),点P2(0, 0),则( C ).

A.P1 ? D, P2 ? D C.P1 ? D, P2 ? D

B.P1 ? D, P2 ? D D.P1 ? D, P2 ? D

解析:把点 P1(0, ?2),点P2(0,0) 代入验证.

? x ? y ? 5 ? 0,

4.画出不等式组

? ?

x

?

y

?

0,

表示的平面区域,并求其面积.

?? x ? 3.

解析:不等式组表示的平面区域如图所示:

x? y?5?0

y
C

构成的平面区域为三角形,

x? y?0
A

记作 ?ABC.

O

x

B

x?3



?x? y?5? 0

? ?

x

?

y

?

0

得 A(? 5 ,5),
22

y

?x? y ? 0

x? y?0

? ?

x

?

3

得 B(3,? 3), A

x? y?5?0
C

? ? ?

x x

? ?

y 3

?

5

?

0



C(3

,8).

O

x

B

? | BC | ? | 8 ? (?3) |? 11,

x?3

点A到直线BC的距离 d ? | 3 ? (? 5) |? 11 . 22

1

11 121

?

S?ABC

?

? 11 ? 2

2

?

4

.

1.二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次 不等式表示区域的公共部分; 2.画不等式组表示平面区域的步骤:
一定线,二定侧,三求交. 3.用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围.