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2013届文科数学周练二十


2013 届文科数学周练二十
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 A={x - 1 < x < 2}, B = {x 1<x<3},A ? B = ( A.{ x | 0 ? x ? 2 } C.{ x | 0 ? x ? 2 } 2.已知 i 为虚数单位,则复数 z ? A.-2 C.1 )

B.{ x | ?1 ? x ? 3 }?? D.{ x | ?1 ? x ? 2 }

2?i 的虚部等于( i



B. -1 D. 2

3. 在区间 ?? , ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 ? 与 之间的概率为 ( 2 2 ? 2 2? A.

? ? ??

1

1



1 3

B.

2

?

C.

1 2
)

D.

2 3

4.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0,??? 单调递增的函数是 ( A. y ? x
3

B. y ? x ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?x

5. 已知命题 p : ?x ? R,使得x+ ( )

1 ? 2 , 命题q : ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ,下列结论正确的是 x

A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q) ”是真命题

B. 命题“ ?P) ? q ”是真命题 ( D. 命题“ (?p) ? (?q) ”是真命题 ( )

6.函数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

? ?
2 4

,? ? ,? ?

? ?
4 4

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

2

B. ? ?

?
3

,? ?

?

7.已知 ?a n ?为等比数列,下列结论正确的是( A. a3 ? a5 ? 2a4 C. 若a3 ? a5 , 则a3 ? a4 B. a3 ? a5 ? 2a4
2 2

D. 若a3 ? a1 , 则a4 ? a2 ( )

8.已知 ?ABC 的三个内角满足: sin A ? sin C ? cos B ,则三角形的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

? x ? y ? 5 ? 0, ? 9.设不等式组 ? y ? a , 所表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ? x ? 2, ?
A. ?5, 7? B. (5, 7) C. ? 5, 7? D. ?5, 7 ?



10. M x0 ,y0 ) 设 ( 为抛物线 C:x2 ? 8 y 上一点, 为抛物线 C 的焦点, F 为圆心, FM F 以 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 A. (0,2)
2





B.[0,2]
2

C. (2,+∞)

D.[2,+∞)

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,若抛物线 C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 2 a b 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, A、B 是 C2 上两点且 OA ? OB , 若 则直线 AB 与 y 轴的交点的纵坐标为( )
11.已知双曲线 C1 : A.

12.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算 “※ ”如下 :当 m, n 都为正偶数或正奇数时 , m ※n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※n = mn .则在此定义下,集 合 M ? {(a, b) a ※b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中的元素个数是 A.10 个 B.15 个 C.16 个 ( D.18 个 )

8 3 3

B. 16

C. 8

D.

16 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
13.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示 年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,井由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程

? y ? 0.254 x ? 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平
均增加_____________万元. 14. 已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y

? x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则

a ? _________________. b
15. 对任意非零实数 a 、 b ,若 a ? b 的运算原理如下右框图所示,则 lg100? 4 的 值 .
开始 输入 a、b

16.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 ①若 ab ? c ;则 C ?
2

? 3

②若 a ? b? 2 c ;则 C ?

? 3

a ? b?
是 开始 否 输 出 a ?1
b

? ? 2 2 2 2 2 ③若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ? ④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? 3 2
三.解答题:(解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

输 出 b ?1
a

输出

输出 结束

17. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60)?[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下 列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)在统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均 分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成 一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[70,80)的概率.

18.等比数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 2, a5 ? 16 (1)求数列 ?a n ? 的通项 a n (2)若等差数列 ?bn ? b1 ? a5 , b8 ? a2 求数列 ?bn ?前 n 项和 s n 并求 s n 最大值 , , ,

19. 如 图 , 直 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , ∠ BAD= ∠ ADC=90°,AB=2AD=2CD=2. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C ; (2)在 A1B1 上是否存在一点 P,使得 DP 和平面 BCB1 、平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

20.

如 图 ,某 污 水 处 理 厂 要 在 一 个 长 方 体 污 水 处 理 池 的 池 底

(ABCD)铺设污水净化管道(Rt△FHE,H 是直角顶点)来处理污水, 管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中 点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=20 m, AD ? 10 3 m,记∠BHE=θ . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示成θ 的函数,并写出定义域; (2)若 sin? ? cos? ?

2, 求此时管道的长度 L;

(3)当θ 取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.

21.已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 2, 2 2 a b

(1)试求椭圆 M 的方程;

1 3 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 两点, P(1, )为椭圆 M 上一点, 点 记直线 PC D 2 2 的斜率为 k1 ,直线 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证明你的结论.
(2) 若斜率为 22.已知函数 f ( x) ?
1 ? ln x . x

1 (Ⅰ)若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值( a >0),求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅱ)如果当 x ? 1 ,不等式 f ( x) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1


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