高中函数试题及答案

经典函数测试题及答案
（满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数，则函数 y ? f (2 x) 的对称轴是 A． x ? 0 B． x ? ?1 C． x ? （ ）

1 2

D． x ? ?

1 2
（ ）

2．已知 0 ? a ? 1, b ? ?1，则函数 y ? a x ? b 的图象不经过 A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点必定位于区间 A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 4．给出四个命题：
n （1）当 n ? 0 时， y ? x 的图象是一条直线；

（ ）

（2）幂函数图象都经过（0，1） 、 （1，1）两点； （3）幂函数图象不可能出现在第四象限； （4）幂函数 y ? x 在第一象限为减函数，则 n ? 0 。
n

其中正确的命题个数是 A．1 B．2
x

（ C．3 D．4

）

5．函数 y ? a 在[0，1]上的最大值与最小值的和为 3，则 a 的值为 A．

（ ）

1 2

B．2

C．4

D．

1 4
( )

6．设 f ( x) 是奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? log2 x, 则当 x ? 0 时， f ( x) ? A． ? log2 x B． log2 (? x) C． log2 x D． ? log2 (? x)

2 7．若方程 2（ m ? 1 ） x +4 mx ? 3m ? 2 ? 0 的两根同号，则 m 的取值范围为 （ ）

A． ? 2 ? m ? ?1 C． m ? ?1 或 m ?

B． ? 2 ? m ? ?1 或

2 3

2 ? m ?1 3 2 D． ? 2 ? m ? ?1 或 ? m ? 1 3

8 ． 已 知 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 ? x ? 1 时 ， f ( x) ? lg x. 设

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 A． a ? b ? c B． b ? a ? c C． c ? b ? a
9．已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ，则有

（ ） D． c ? a ? b （ ）
1

A． loga ( xy) ? 0

B． 0 ? loga ( xy) ? 1

C．1< loga ( xy) ? 0

D． loga ( xy) ? 2 （ ）

10．已知 0 ? a ? 1 ， loga m ? loga n ? 0, 则 A． 1 ? n ? m B． 1 ? m ? n C． m ? n ? 1 D． n ? m ? 1

11．设 f ( x ) ? lg

2? x ? x? ?2? , 则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 2? x ?2? ? x?
B． (?4,?1) ? (1,4) C．( ? 2,?1) ? (1,2)

（ ） D．( ? 4,?2) ? (2,4)

A．( ? 4,0) ? (0,4) 12．已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是（ ） ? loga x, x ? 1
1 3
C． ? , ?

A．(0,1) B．(0, )

?1 1 ? ?7 3 ?

D． ? ,1?

?1 ? ?7 ?

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 13．若函数 y ? loga (kx2 ? 4kx ? 3) 的定义域是 R,则 k 的取值范围是 ．

14． 函数 f ( x) ? 2ax ? 2a ? 1, x ? [?1,1], 若 f ( x) 的值有正有负， 则实数 a 的取值范围为 ． 15．光线透过一块玻璃板，其强度要减弱 有这样的玻璃板 16．给出下列命题：
x ①函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同；

1 1 ，要使光线的强度减弱到原来的 以下，至少 3 10

, lg 3 ? 0.4771 ) 块。 （参考数据： lg 2 ? 0.3010

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同；
3 x

③函数 y ?

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与函数 y ? 均是奇函数； 2 2 ?1 x ? 2x

2 ④函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 x ? 1 在 R? 上都是增函数。

其中正确命题的序号是

．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 12 分）

ex a ? 设 a ? 0 ， f ( x) ? 是 R 上的偶函数。 a ex
⑴求 a 的值； ⑵证明： f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数。
2

18． （本小题满分 12 分） 记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义 x ?1

域为 B。 ⑴求 A; ⑵若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

19． （本小题满分 12 分） 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数， 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ，f ? ? ? 1 ， （1） 求 f (1) 的值， （2）如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ，求 x 的取值范围。
?

?1? ? 3?

20． （本小题满分 14 分） 对于二次函数 y ? ?4 x2 ? 8x ? 3 ， （1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标； （2）画出它的图像，并说明其图像由 y ? ?4 x 的图像经过怎样平移得来；
2

（3）求函数的最大值或最小值； （4）分析函数的单调性。

21． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1) ⑴求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域； ⑵判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性，并予以证明； ⑶求使 f ( x) ? g ( x) <0 成立的 x 的集合。

3

22． （本小题满分 12 分） 函数 f ( x) 对任意 a, b ? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1, 并且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 。 求证：函数 f ( x) 是 R 上的增函数。

《初等函数测试题》 〉参考答案 一、选择题
⒈D ⒉ A ⒊B ⒋B ⒌B ⒍A ⒎B ⒏D ⒐D ⒑A ⒒ B ⒓ C

二、填空题
⒔ ?0, ?

? 3? ? 4?

⒕a ? ?

1 4

⒖11 ⒗①③

三、解答题
⒘⑴? f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数 ? 对于任意的 x ，都有 f (? x) ? f ( x) a ex

1 1 1 e?x a ex a ? ?x ? ? x ，化简得（ a ? )( e x ? x ) ? 0 ，? e x ? x ? 0 ? a ? 1 即 a e e a a e e
⑵由⑴得 f ( x) ? e ? e
x ?x

故任取，则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

x1

? e ? x1 ? e x2 ? e ? x2
e x2 ? e x1 e x1 e x2
1 ) e e x2
x1

? (e x1 ? e x2 ) ?

? (e x1 ? e x2 )(1 ?

? x1 ? x2 ? 0 ? e x1 ? e x2 ? 1,0 ?

1 ?1 e e x2
x1

4

? (e x1 ? e x2 )(1 ?

1 ) >0 e e x2
x1

因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数。 ⒙⑴由 2 ?

x?3 x ?1 ? 0, 得 ? 0,? x ? ?1或x ? 1, x ?1 x ?1

（ ? ?， ?1 ） ? [1， ? ?） 即 A= ．
⑵由 ( x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0, 得（x ? a ? 1)(x ? 2a) ? 0.

? B ? A,? 2a ? 1或a ? 1 ? ?1,即a ?
? 1 ? a ? 1或a ? ?2 ． 2

1 或a ? ?2, 而a ? 1, 2

故当 B ? A 时，实数 a 的取值范围是（ ? ?,?2] ? ? ,1?. ⒚解： （1）令 x ? y ? 1 ，则 f (1) ? f (1) ? f (1) ，∴ f (1) ? 0 （2）∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1 ? ?2 ?

?1? ? 3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ? 3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ，又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数，得：
＋

?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ?x ? 0 ?2 ? x ? 0 ? ?

解之得： x ? ?1 ?

? ? ?

2 2 2 2? ? ,1 ? 3 3 ? ?

⒛（1）开口向下；对称轴为 x ? 1 ；顶点坐标为 (1,1) ； （2）其图像由 y ? ?4 x 的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到；
2

（3）函数的最大值为 1； （4）函数在 (??,1) 上是增加的，在 (1, ??) 上是减少的

21．⑴由题意得： ?

?x ? 1 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0

所以所求定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R?
5

⑵令 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) 则 H( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x) ? log a

x ?1 1? x
?1

? x ?1 ? x ? 1? 故 H ( x ) 为奇函数，? H (? x) ? loga ? loga ? ? 1? x ?1? x ?
. ? H ( x) ? f ( x) ? g ( x)为奇函数

? ? log

x ?1 ? ? H ( x) 1? x

⑶? f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1)(1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 ? loga 1

?当a ? 1时， 0 ? 1 ? x 2 ? 1, 故0 ? x ? 1或 ? 1 ? x ? 0,
当0 ? a ?1 时， 1 ? x 2 ? 1, 不等式无解 . 综上：?当a ? 1 时，所求x的集合为 {0 ? x ? 1或 ? 1 ? x ? 0}. 22．设任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ? 0,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? f ( x1 ? x2 ) ? 1

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ? x2 ) ? 1,即f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
所以函数 f ( x) 是 R 上的增函数．

6