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重点高中自主招生模拟试卷


实验初中九年级数学强化训练测试卷(4)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列各式:①(﹣ )﹣2=9;②(﹣2)0=1;③(a+b)2=a2+b2;④(﹣3ab3)2=9a2b6; ⑤3x2﹣4x=﹣x.其中计算正确的是( A.①②③ B.①②④ ) C.③④⑤ D.②④⑤ ) D.方差是 3.5 )

2.对于一组数据﹣1,﹣1,4,2,下列结论不正确的是( A.平均数是 1 B.众数是﹣1 C.中位数是 0.5

3.如果 x2﹣(m+1)x+1 是完全平方式,则 m 的值为( A.﹣1 B.1 C.1 或﹣1

D.1 或﹣3

4.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔 3 支,练习本 7 本,圆珠笔 1 支 共需 3.15 元;若购铅笔 4 支,练习本 8 本,圆珠笔 2 支共需 4.2 元,那么,购铅笔、 练习本、圆珠笔各 1 件共需( A.1.2 元 B.1.05 元 ) C.0.95 元 D.0.9 元

5.那么平面上任一点 M 的位置可由∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定,有序数对(θ,m)称为 M 点的“极 坐标”, 在图 2 的极坐标系下, 如果正六边形的边长为 2, 有一边 OA 在射线 Ox 上,则正六边形的顶点 C 的极坐 标应记为( A.(60° ,4) ) B. (45° ,4) ﹣3= C.(60° ,2 ) D.(50° ,2 )

6.如果关于 x 的分式方程

有负分数解,且关于 x 的不等式组 )

的解集为 x<﹣2,那么符合条件的所有整数 a 的积是( A.9 B.0 C.3 D.﹣3

7.如图,第(1)个图有 1 个黑球;第(2)个图为 3 个同样大小球叠成的图形,最下一 层的 2 个球为黑色,其余为白色;第(3)个图为 6 个同样大小球叠成的图形,最下一层 的 3 个球为黑色,其余为白色;? ;则从第( n )个图中随机取出一个球,是黑球的概率 是 ( )

· · ·

(1)

(2)

(3)

(4)

4 1 2 3 D B C n+1 n+1 n+1 n+1 8.如图,正方形 ABCD 的边长为 3,E、F 分别是 AB、CD 上的 A

点,且∠CFE=60° ,将四边形 BCFE 沿 EF 翻折,得到 B′C′FE,C′ 恰好落在 AD 边上,B′C′交 AB 于点 G,则 GE 的长是( A.3 ﹣4 B.4 ﹣5 C.4﹣2 D.5﹣2 )

9.如图,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,连接 AC,⊙P 和⊙Q 分别 是△ABC 和△ADC 的内切圆,则 PQ 的长是( ) A. B. C. D.2

10、如图,△AOB 和△ACD 均为正三角形,且顶点 B、D 均在双 曲线 A. (x>0)上,则图中 S△OBP=( B. C. ) D.4

二.填空题(每小题 6 分,共 30 分) 11.若点 M(k﹣1,k+1)关于 y 轴的对称点在第四象限内,则一次函数 y=(k﹣1)x+k 的图象不经过第 象限 .

12 若抛物线 y=3x2﹣px+2p+1 中不管 p 取何值时都通过定点,则定点坐标为 13.如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC,E 为垂足,若 cosB= ,EC=2, P 是 AB 边上的一个动点,则线段 PE 的长度的最小值是 .

14.如图,⊙P 的半径为 5,A、B 是圆上任意两点,且 AB=6,以 AB 为边作正
方形 ABCD(点 D、P 在直线 AB 两侧).若 AB 边绕点 P 旋转一周,则 CD 边 扫过的面积为 .

15.函数 y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是 三、解答题(计 70 分)



16、(10 分)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 上的高, tan B ? cos ?DAC ,
(1) 求证:AC=BD;(2)若 sin C ?

12 ,BC=12,求 AD 的长. 13

17、(10 分)如图,3×3 的方格分为上中下三层,第一层有一枚黑色方块甲,可在方 格 A、B、C 中移动,第二层有两枚固定不动的黑色方块,第三层有一枚黑色方块乙, 可在方格 D、E、F 中移动,甲、乙移入方格后,四枚黑色方块构成各种拼图. (1)若乙固定在 E 处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率 是 . (2)若甲、乙均可在本层移动. ①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率. ②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .

18、(10 分)如图,△ABC 内接于⊙O,且 AB=AC,延长 BC 至点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 交于点 E,连接 BE,CE. (1)求证:AE=CE; (2)若 CE∥AB,求证:DE2=AE?AD.

19、(14 分)已知在关于 x 的分式方程

①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3

﹣k)n=0②中,k、m、n 均为实数,方程①的根为非负数. (1)求 k 的取值范围; (2)当方程②有两个整数根 x1、x2,k 为整数,且 k=m+2,n=1 时,求方程②的整数 根;
(3)当方程②有两个实数根 x1、x2,满足 x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且 k 为负整数时,试判断|m|≤2 是否成立?请说明理由.

20、(12 分)如图 1,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E. (1)求证:AE=BC; (2)如图(2),过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F,将△AEF 绕点 A 逆时针旋转角 α(0°< α<144°)得到△AE′F′,连结 CE′,BF′,求证:CE′=BF′; (3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角 α;若不存 在,请说明理由.

21、(14 分)如图,过 A(1,0)、B(3,0)作 x 轴的垂线,分别交直线 y=4﹣x 于 C、D 两
点.抛物线 y=ax +bx+c 经过 O、C、D 三点. (1)求抛物线的表达式; (2)点 M 为直线 OD 上的一个动点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N,问是否存在这样的点 M,使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点 M 的横坐标;若不存 在,请说明理由; (3)若△AOC 沿 CD 方向平移(点 C 在线段 CD 上,且不与点 D 重合),在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为 S,试求 S 的最大值.
2

实验初中九年级数学强化训练测试卷(4)答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 A 14、9π; 7 B 8 C ; 9 C 10 D

二.填空题(每小题 6 分,共 30 分) 11、一 ; 12、(2,13); 13、4.8; 三、解答题(计 70 分)

15、 8

16、解:(1)证明:∵AD 是 BC 上的高, ∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∠ADC=90°, 在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中,∵tanB= tanB=cos∠DAC, ∴ = ,∴AC=BD. (4 分) =5k, ,cos∠DAC= , 又已知

(2)解:在 Rt△ADC 中,

,故可设 AD=12k,AC=13k,∴CD=

∵BC=BD+CD,又 AC=BD,∴BC=13k+5k=18k 由已知 BC=12,∴18k=12,∴k= , ∴AD=12k=12× =8. (6 分) (3 分)

17、解:(1) .
(2)

①由树状图可知,黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率= .

(4 分)

② .(3 分)

18、解:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC,∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD,∵∠CAD=∠EBC,∴∠ABC=2∠EBC, ∴∠ABE=∠CBE,∴AE=CE (2)∵CE∥AB,∴△DCE∽△DBA,∴ ∵AB=AC=CD,∴ (5 分) ,由(1)知,AE=CE,

,∴DE2=AE?AD.(5 分)

19、 解: (1) ∵关于 x 的分式方程

的根为非负数, ∴x≥0 且 x≠1, 又∵x=
2

≥0, 且

≠1,

∴解得 k≥﹣1 且 k≠1,又∵一元二次方程(2﹣k)x +3mx+(3﹣k)n=0 中 2﹣k≠0, ∴k≠2,综上可得:k≥﹣1 且 k≠1 且 k≠2; (4 分) 2 (2)∵一元二次方程(2﹣k)x +3mx+(3﹣k)n=0 有两个整数根 x1、x2,且 k=m+2,n=1 时, 2 2 ∴把 k=m+2,n=1 代入原方程得:﹣mx +3mx+(1﹣m)=0,即:mx ﹣3mx+m﹣1=0, 2 ∴△≥0,即△=(﹣3m) ﹣4m(m﹣1),且 m≠0, 2 ∴△=9m ﹣4m(m﹣1)=m(5m+4),∵x1、x2 是整数,k、m 都是整数, ∵x1+x2=3,x1?x2=
2

=1﹣ ,∴1﹣ 为整数,∴m=1 或﹣1,
2 2

∴把 m=1 代入方程 mx ﹣3mx+m﹣1=0 得:x ﹣3x+1﹣1=0,x ﹣3x=0,x(x﹣3)=0, 2 2 x1=0,x2=3;把 m=﹣1 代入方程 mx ﹣3mx+m﹣1=0 得:﹣x +3x﹣2=0, 2 x ﹣3x+2=0,(x﹣1)(x﹣2)=0,x1=1,x2=2; ∴ 方程②的整数根为 0 或 1 或 2 或 3 (6 分) (3)|m|≤2 不成立,理由是:由(1)知:k≥﹣1 且 k≠1 且 k≠2,∵k 是负整数, ∴k=﹣1,(2﹣k) x +3mx+(3﹣k)n=0 且方程有两个实数根 x1、x2, ∴x1+x2=﹣
2 2 2

=

=﹣m,x1x2=
2 2

= ,x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),
2 2 2 2

x1 ﹣x1k+x2 ﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k ,x1 +x2 ═x1x2+k ,(x1+x2) ﹣2x1x2﹣x1x2=k , (x1+x2) ﹣3x1x2=k ,(﹣m) ﹣3× =(﹣1 ) ,m ﹣4=1,m =5, ,∴|m|≤2 不成立. (4 分) 20、解:(1)证明:∵AB=BC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°, 又∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=36°,∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°, ∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,∴AE=BE,BE=BC,∴AE=BC.(4 分) (2)证明:∵AC=AB 且 EF∥BC,∴AE=AF; 由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,∵在△CAE′和△BAF′中 m=±
2 2 2 2 2 2

,∴△CAE′≌△BAF′,∴CE′=BF′.(4 分) (3)存在 CE′∥AB, 理由:由(1)可知 AE=BC,所以,在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中, E 点经过的路径(圆弧)与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两 点, 如图:①当点 E 的像 E′与点 M 重合时,则四边形 ABCM 为等腰梯形, ∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,∴α=∠CAM=36°. ②当点 E 的像 E′与点 N 重合时,由 AB∥l 得,∠AMN=∠BAM=72°, ∵AM=AN,∴∠ANM=∠AMN=72°,∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,∴α=∠CAN=∠CAM+ ∠MAN=72°.所以,当旋转角为 36°或 72°时,CE′∥AB.(4 分) 21、解:(1)由题意,可得 C(1,3),D(3,1).
∵抛物线过原点,∴设抛物线的解析式为:y=ax +bx.
2 2



,解得



∴抛物线的表达式为:y=﹣ x +

x.

(2)存在.设直线 OD 解析式为 y=kx,将 D(3,1)代入求得 k= ,∴直线 OD 解析式为 y= x. 设点 M 的横坐标为 x,则 M(x, x),N(x,﹣ x +
2 2

x),∴MN=|yM﹣yN|=| x﹣(﹣ x +

2

x)

|=| x ﹣4x|.由题意,可知 MN∥AC,因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形,则有 MN=AC=3.∴| x ﹣4x|=3. 若 x ﹣4x=3,整理得:4x ﹣12x﹣9=0,解得:x= 若 x ﹣4x=﹣3,整理得:4x ﹣12x+9=0,解得:x= . ∴存在满足条件的点 M,点 M 的横坐标为: 或 或 .
2 2 2 2 2

或 x=



(3)∵C(1,3),D(3,1) ∴易得直线 OC 的解析式为 y=3x,直线 OD 的解析式为 y= x. 如解答图所示, 设平移中的三角形为△A′O′C′,点 C′在线段 CD 上. 设 O′C′与 x 轴交于点 E,与直线 OD 交于点 P; 设 A′C′与 x 轴交于点 F,与直线 OD 交于点 Q. 设水平方向的平移距离为 t(0≤t<2), 则图中 AF=t,F(1+t),Q(1+t, + t),C′(1+t,3﹣t). 设直线 O′C′的解析式为 y=3x+b, 将 C′(1+t,3﹣t)代入得:b=﹣4t, ∴直线 O′C′的解析式为 y=3x﹣4t. ∴E( t,0). 联立 y=3x﹣4t 与 y= x,解得 x= t,∴P( t, t). 过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,则 PG= t. ∴S=S△OFQ﹣S△OEP= OF?FQ﹣ OE?PG = (1+t)( + t)﹣ ? t? t =﹣ (t﹣1) + 当 t=1 时,S 有最大值为 . ∴S 的最大值为 .
2


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