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2016高考数学二轮复习 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质课件 理_图文

随堂讲义 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质 函数的图象与性质历来是高考的重点,也是热点, 一般以选择题或填空题的形式进行考查.对于函数图 象的考查体现在两个方面:一是识图;二是用图,即 通过函数的图象,通过数形结合的思想方法解决问 题.对于函数的性质,主要考查函数单调性、奇偶性、 周期性,也可能考查求函数的定义域和简单函数的值 域、最值问题. 例 1 判断下列对应是否为 A 到 B 的函数. (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2; (3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; (4)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. 思路点拨:本题四个小题中的集合 A 和 B 都是非空的数集, 利用函数的定义,对于集合 A 中的元素通过对应关系判断在 集合 B 中是否有唯一元素与之对应. 解析:(1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应的元素,故不是 A 到 B 的函数. (2)对于 A 中的任意一个整数 x,按照对应法则 f:x→y =x2,在 B 中都有唯一确定的整数 x2 与其对应,故是 A 到 B 的函数. (3)A 中的元素负整数没有平方根,故在 B 中没有对应的 元素,故不是 A 到 B 的函数. (4)对于 A 中的任意一个数 x,按照对应法则 f:x→y=0. 在 B 中都有唯一确定的数 0 和它对应,故是 A 到 B 的函数. 判断一个对应法则是否构成函数,首先看A,B是不 是非空数集,其次看给出A中的任何一个值x,通过给出 的对应法则,在B中是否有唯一确定的值y与之对应. 1.已知集合 P={x|0≤x≤4},M={y|0≤y≤2},下列 对应不表示 P 到 M 的函数的是(C) 1 A.y= x 2 2 C.y= x 3 1 B.y= x 3 D.y= x 解析:因按 C 中对应法则时,集合 P 中的 4 在集合 M 中没有元素与这对应. 2.已知函数 =1,则 a=(A) 1 A. 4 C.1 x ? ?a·2 ,x≥0, f(x)=? -x (a∈R),若 ? ?2 ,x<0, f[f(-1)] 1 B. 2 D.2 解析:f(-1)=2,f(2)=4a,所以 f[f(-1)]=4a=1,解 1 得 a= . 4 1 例 2 判断函数 f(x)=e + x在区间(0,+∞)上的单调性. e x 思路点拨:单调性的定义. 解析:解法一 设 0<x1<x2,则 ? ? 1? 1? ? ? ? f(x1)-f(x2)=?ex1+ ?-?ex2+ ? ex1? ? ex2? ? ? ? 1 ? ex2-ex1 ? ? =(ex1-ex2)+ =(ex1-ex2)?1- ex1+x2? ex1·ex2 ? ? ex1+x2-1 =(ex1-x2-1)· . x1 ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0. ∴ex1-x2<1,ex1+x2>1,x1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0 ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 解法二 对 f(x)=e + x求导, e x 1 1 2x 得 f′(x)=e - x= x(e -1), e e x 当 x>0 时,ex>0,e2x>1,∴f′(x)>0. ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. (1)判断函数的单调性的一般思路:对于选择、 填空题,若能画出图象,一般用数形结合法;而对 于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函 数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题;对 于解析式较复杂的,用导数法或定义法. (2)对于函数的奇偶性的判断,首先要看函数的定 义域是否关于原点对称,其次再看 f(-x)与 f(x)的关系. (3)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基 本不等式法、导数法和换元法. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则 f(7)=(A) A.-3 C.-1 B.3 D.1 解析:因为 f(x+4)=f(x),故 f(x)是周期为 4 的周 期函数,又因为 f(x)是奇函数,故有:f(7)=f(3+4)= f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-3.故选 A. 例 3 分别画出下列函数的图象: x+2 (1)y= ; x-1 (2)y=|x+1|; ?1? ?|x| (3)y=? ?2? ; ? ? (4)y=ln(1-|x|). 思路点拨:先作出基本函数的图象,再通过平移、 翻折等变换得到所求函数的图象. x+2 (x-1)+3 3 解析:(1)函数 y= = =1+ .因 x-1 x-1 x-1 x+2 3 此函数 y= 的图象可以由 y= 的图象向右平移 1 个 x x-1 单位长度并向上平移 1 个单位长度得到,如图 1 所示. (2)先作函数 y=|x|的图象, 再将函数的图象向左平移 1 个单位长度得到 y=|x+1|的图象,如图 2 所示. (3)先作函数 ?1 ?x ? y=? ?2 ? 的图象,将图象 ? ? x<0 的部分去掉, 同时将 x>0 部分的图象沿 y 轴对称翻折到 x<0 的部分(或者 ?1? ?|x| 说在 x 轴负半轴作关于 y 轴对称的图象)得到 y=? ?2? 的图 ? ? 象,如图 3 所示. (4)先作函数 y=ln x,作其关于 y 轴的对称曲线得到 y=ln(-x),将 y=ln(-x)图象向右平移 1 个单位长度得 到 y=ln[-(x-1)],即 y=ln(1-x),去掉图象位于 x 轴 负半轴的部分, 并将 x 轴正半轴的部分图象沿 y 轴对称翻 折得到 y=ln(1-|x|)的图象,如图 4 所示. 函数图象的变换,考纲中没有明确提出要求,课标 中往往是要求