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www.9321l.com:2018_19届高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积学案苏教版

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第 1 课时 向量的数量积
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的 功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两 个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
知识点一 平面向量的数量积 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,如图.
思考 1 如何计算这个力所做的功? 答案 W=|F||s|cosθ . 思考 2 力做功的大小与哪些量有关? 答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理 平面向量的数量积 (1)已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角是 θ ,我们把数量|a||b|cosθ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ . (2)我们规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 特别提醒:两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角 都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定. 知识点二 两个向量的夹角 思考 把两个非零向量的起点移至同一点,那么这两个向量构成的图形是什么? 答案 角. 梳理 两个向量的夹角 (1)定义: 已知两个非零向量 a,b,如图所示.作O→A=a,→OB=b,则∠AOB=θ ,称为向量 a 与 b 的夹角.
(2)范围:0°≤θ ≤180°. (3)当 θ =0°时,a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向.

(4)当 θ =90°时,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 知识点三 平面向量数量积的几何意义 思考 1 什么叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影?什么叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影? 答案 如图所示,→OA=a,O→B=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂足为 B1,则 OB1=|b|cosθ . |b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影,|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.

思考 2 向量 b 在向量 a 方向上的投影与向量 a 在向量 b 方向上的投影相同吗?

答案 由投影的定义知,二者不一定相同.

梳理 (1)条件:向量 a 与 b 的夹角为 θ .

(2)投影:

向量 b 在 a 方向上的投影

|b|cos θ

向量 a 在 b 方向上的投影

|a|cos θ

(3)a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 知识点四 平面向量数量积的性质及运算律 思考 1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别? 答案 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积是数量. 思考 2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由什么来决定? 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当 0°≤θ <90°时,非零向量的数量积为正数. 当 θ =90°时,非零向量的数量积为零. 当 90°<θ ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 梳理 (1)数量积性质 ①当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; ②当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|; ③当 a⊥b 时,a·b=0; ④a·a=|a|2 或|a|= a·a. (2)数量积的运算律 ①a·b=b·a;

②(λ a)·b=a·(λ b)=λ (a·b)=λ a·b; ③(a+b)·c=a·c+b·c.
1.向量数量积的运算结果是向量.( × ) 2.向量 a 在向量 b 方向上的投影一定是正数.( × ) 3.在等边△ABC 中,向量→AB与向量→BC夹角为 60°.( × ) 提示 向量A→B与向量B→C夹角为 120°. 4.向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).( × ) 5.λ (a·b)=λ a·b.( √ )
类型一 求两向量的数量积 例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 30°时,分别求 a 与 b 的数量积. 解 (1)a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ =0°, a·b=|a||b|cos0°=4×5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ =180°, ∴a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a·b=|a||b|cos90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,a·b=|a||b|cos30°
3 =4×5× 2 =10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是:(1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0°,180°];(2) 分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即 a·b=|a||b|cosθ ,要特别注意书写时 a 与 b 之间用 实心圆点“·”连结,而不能用“×”连结,也不能省去. 跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则→BD·→CD=________. 答案 32a2 解析 如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°.

∴B→D·C→D=(→BC+→CD)·→CD =B→C·C→D+C→D2 =a·a·cos60°+a2=32a2.

类型二 求向量的模

例 2 已知|a|=|b|=5,向量 a 与 b 的夹角为π3 ,求|a+b|,|a-b|.



a·b=|a||b|cosθ

1 25 =5×5×2= 2 .

|a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a·b+|b|2= 25+2×225+25=5 3.

|a-b|= ?a-b?2= |a|2-2a·b+|b|2=

25 25-2× 2 +25=5.

引申探究 若本例中条件不变,求|2a+b|,|a-2b|. 解 a·b=|a||b|cosθ =5×5×12=225,

|2a+b|= ?2a+b?2= 4|a|2+4a·b+|b|2 25
= 4×25+4× 2 +25=5 7.

|a-2b|= ?a-2b?2= |a|2-4a·b+4|b|2 25
= 25-4× 2 +4×25=5 3.

反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用 a2=|a|2,即|a|= a2,勿忘记开方. 跟踪训练 2 已知|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5,求|3a+b|的值. 解 |3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b, ∵|3a-2b|=5,∴325-12a·b=25, ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2 =9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400, 故|3a+b|=20. 类型三 求向量的夹角 例 3 设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 解 ∵|n|=|m|=1 且 m 与 n 夹角是 60°,

∴m·n=|m||n|cos60°=1×1×12=12.

|a|=|2m+n|= ?2m+n?2= 4×1+1+4m·n

= 4×1+1+4×12= 7,

|b|=|2n-3m|= ?2n-3m?2

= 4×1+9×1-12m·n

= 4×1+9×1-12×12= 7,

a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2

=12-6×1+2×1=-72.

设 a 与 b 的夹角为 θ ,

7

a·b

-2

1

则 cosθ =|a||b|= 7× 7=-2.

又∵θ ∈[0,π ],∴θ =23π ,故 a 与 b 的夹角为23π .

反思与感悟 求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角,注意

向量夹角的范围是[0,π ].

跟踪训练 3 已知|a|=2|b|=2,且 a·b=-1.

(1)求 a 与 b 的夹角 θ ;

(2)求(a-2b)·b;

(3)当 λ 为何值时,向量 λ a+b 与向量 a-3b 互相垂直?

解 (1)∵|a|=2|b|=2,

∴|a|=2,|b|=1,

∴a·b=|a||b|cosθ =-1,

∴cosθ

1 =-2,又∵θ

∈[0,π

],∴θ

=23π

.

(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.

(3)∵λ a+b 与 a-3b 互相垂直,

∴(λ a+b)·(a-3b)=λ a2-3λ a·b+b·a-3b2

=4λ +3λ -1-3=7λ -4=0,∴λ =47.

1.已知|a|=8,|b|=4,〈a,b〉=120°,则向量 b 在 a 方向上的投影为________. 答案 -2 解析 向量 b 在 a 方向上的投影为 |b|cos〈a,b〉=4×cos120°=-2. 2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=________. 答案 1 解析 ∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,① |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,② 由①-②得 4a·b=4, ∴a·b=1. 3.若 a⊥b,c 与 a 及与 b 的夹角均为 60°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2= ________. 答案 11 解析 (a+2b-c)2=a2+4b2+c2+4a·b-2a·c-4b·c=12+4×22+32+4×0-2×1 ×3×cos60°-4×2×3×cos60°=11. 4.在△ABC 中,|→AB|=13,|B→C|=5,|→CA|=12,则A→B·B→C的值是________. 答案 -25 解析 易知|→AB|2=|B→C|2+|→CA|2,C=90°. ∴cosB=153, 又 cos〈→AB,→BC〉=cos(180°-B), ∴A→B·B→C=|→AB||→BC|cos(180°-B) =13×5×???-153???=-25. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: (1)→AB·→AC;(2)A→B·B→C;(3)B→C·A→C. 解 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°, ∴A→B·A→C=|→AB||→AC|cos60°=1×1×12=12. (2)∵A→B与B→C的夹角为 120°, ∴A→B·B→C=|→AB||→BC|cos120° =1×1×???-12???=-12.

(3)∵B→C与A→C的夹角为 60°, ∴B→C·A→C=|→BC||→AC|cos60°=1×1×12=12.
1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当 a≠0,b≠0,0° ≤θ <90°时),也可以为负(当 a≠0,b≠0,90°<θ ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b =0 或 θ =90°时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算 是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆. 3.a·b=|a||b|cosθ 中,|b|cosθ 和|a|cosθ 分别叫做 b 在 a 方向上的投影和 a 在 b 方 向上的投影,要结合图形严格区分. 4.求投影有两种方法 (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cosθ (θ 为 a,b 的夹角),a 在 b 方向上的投影为|a|cosθ . (2)b 在 a 方向上的投影为a|·a|b,a 在 b 方向上的投影为a|·b|b. 5.两非零向量 a,b,a⊥b?a·b=0,求向量模时要灵活运用公式|a|= a2.

一、填空题

1.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|= 19,则|a-b|=________.

答案 7 解析 因为|a+b|2=19, 所以 a2+2a·b+b2=19, 所以 2a·b=19-4-9=6,

于是|a-b|= |a-b|2= 4-6+9= 7. 2.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角 θ =150°,则 a·b=________.

答案 -6 3

3.已知|a|=9,|b|=6 2,a·b=-54,则 a 与 b 的夹角 θ 为________. 答案 135°

解析

∵cosθ

=|aa·||bb|=9×-654

=- 2

22,

∵0°≤θ ≤180°,∴θ =135°. 4.若|a|=2,|b|=4,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,则向量 a 在向量 b 方向上的投影

为________. 答案 -1 解析 向量 a 在向量 b 方向上的投影是|a|cosθ =2×cos120°=-1. 5.已知 a,b 是非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是________.

答案

π 3

解析 由(a-2b)·a=0 及(b-2a)·b=0,得 a2=b2=2|a||b|cosθ ,所以 cosθ =12,0

∈[0,π ],所以 θ =π3 .

6.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,则(a+2b)·(a-3b)=________.

答案 -48

解析 由题意,得 a·b=|a||b|cos120°=-12,

则(a+2b)·(a-3b)=a2-6b2-a·b=62-6×42-(-12)=-48.

7.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连结 DE 并延长

到点 F,使得 DE=2EF,则→AF·→BC的值为________.

答案

1 8

解析 如图所示,∵A→F=A→D+D→F=12→AB+34→AC,

→BC=→AC-→AB,

∴A→F·B→C=???12A→B+34A→C???·(A→C-A→B)

=-12|A→B|2-14A→B·A→C+34|→AC|2

=-12×1-14×1×1×12+34=18.

8.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为________.

答案 120°

9.已知单位向量

e1 与

e2 的夹角为

α

,且

cosα

1 =3,若向量

a=3e1-2e2 与

b=3e1-e2 的夹

角为 β ,则 cosβ =________.

答案

22 3

解析 ∵|a|= ?3e1-2e2?2= 9+4-12×1×1×13=3,

|b|= ?3e1-e2?2=

1 9+1-6×1×1×3=2 2,

∴a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e21-9e1·e2+2e22

=9-9×1×1×13+2=8,

∴cosβ =|aa·||bb|=3×82

=2 2

3

2.

10.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________.

答案 2 2

解析 |2a-b|2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=8,所以|2a-b|=2 2. 11.已知点 A,B,C 满足|→AB|=3,|→BC|=4,|C→A|=5,则→AB·→BC+→BC·→CA+→CA·→AB的值是 ________. 答案 -25 解析 ∵|C→A|2=|→AB|2+|B→C|2, ∴∠B=90°,∴→AB·→BC=0. ∵cosC=45,cosA=35,

∴B→C·C→A=|→BC||→CA|cos (180°-C)=4×5×???-45???=-16. →CA·→AB=|C→A||A→B|cos(180°-A)=5×3×???-35???=-9. ∴A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B=-25.
二、解答题 12.已知非零向量 a,b,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹 角. 解 由向量垂直得

???a+3b?·?7a-5b?=0, ????a-4b?·?7a-2b?=0,

即?????77aa22+-1360aa··bb==1-5b8b2,2,

化简得???a·b=12|b|2, ??|a|=|b|,

∴cos〈a,b〉=|aa·||bb|=12||bb||22=12, 又∵〈a,b〉∈[0,π ], ∴a 与 b 的夹角为π3 . 13.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 60°,计算: (1)(2a+b)·(2a-b);(2)|4a-2b|. 解 (1)(2a+b)·(2a-b)=(2a)2-b2 =4|a|2-|b|2=4×42-82=0. (2)∵|4a-2b|2=(4a-2b)2 =16a2-16a·b+4b2 =16×42-16×4×8×cos60°+4×82 =256. ∴|4a-2b|=16. 三、探究与拓展

14.已知向量 a,b 满足|a|=1,a 与 b 的夹角为π3 ,若对一切实数 x,|xa+2b|≥|a+b| 恒成立,则|b|的取值范围为__________. 答案 [1,+∞) 解析 对不等式|xa+2b|≥|a+b|两边平方得,(xa+2b)2≥(a+b)2,所以 x2·|a|2+4a·bx

+4|b|2≥|a|2+2a·b+|b|2,又 a 与 b 的夹角为π3 ,且|a|=1,则有 a·b=|a|·|b|·cosπ3

=12|b|,所以有 x2+4x·12|b|+4|b|2≥1+|b|+|b|2,即 x2+2|b|x+3|b|2-1-|b|≥0,

此式对一切实数 x 恒成立,所以有 Δ =4|b|2-4(3|b|2-1-|b|)≤0,即有 2|b|2-|b|-1

≥0,所以(2|b|+1)(|b|-1)≥0,所以???2|b|+1≥0, 或???2|b|+1≤0, 所以|b|≥1

??|b|-1≥0

??|b|-1≤0,

或|b|≤-12(舍去).

15.已知非零向量 a,b,满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=12,且 a·b=12. (1)求向量 a,b 的夹角; (2)求|a-b|. 解 (1)设向量 a,b 的夹角为 θ . ∵(a-b)·(a+b)=12,∴a2-b2=12,即|a|2-|b|2=12.

又∵|a|=1,∴|b|= 22.

又∵a·b=12,∴|a||b|cosθ =12,∴cosθ = 22,

又∵θ ∈[0°,180°], ∴向量 a,b 的夹角为 45°. (2)∵|a-b|2=(a-b)2 =|a|2-2|a||b|cosθ +|b|2=12,

∴|a-b|=

2 2.


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