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最新高考数学(理)第三章导数及其应用 3-2-2习题及答案

1.设函 f(x)= 3sin 的取值范围是( ) πx m 2 2 .若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x2 则m 0+[f(x0)] <m , 点击观看解答视频 A.(-∞,-6)∪(6,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 解析 C ∵x0 是 f(x)的极值点,∴f′(x0)=0,即 π 2 1 2 π B.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) m · 3·cos πx0 m π =0,得 m x0=kπ+ ,k∈Z,即 x0=mk+ m,k∈Z. 1 ?? 1 ?2 ? π? ? 2 2 3sin ?mk+ m??2<m2,k∈Z, ∴x2 0+[f(x0)] <m 可转为?mk+ m? +? 2 ?? 2 ? ? m? ? 1? 1? 3 ? ? 即?k+ ?2m2+3<m2,k∈Z,即?k+ ?2<1- 2,k∈Z.要使原问题成立,只需存 2? 2? m ? ? 1? 1? 3 ? 1 3 1 ? 在 k∈Z,使 1- 2>?k+ ?2 成立即可.又?k+ ?2 的最小值为 ,∴1- 2> ,解得 2 m ? 2? 4 m 4 ? ? m<-2 或 m>2.故选 C. 2.已知函 f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d 为常),当 x∈(0,1)时,f(x)取 1? ? 得极大值,当 x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则?b+ ?2+(c-3)2 的取值范围是 2? ? ( ) ? 37 ? A.? ,5? ? 2 ? ?37 ? C.? ,25? ?4 ? B.( 5,5) D.(5,25) 答案 D 解析 因为 f′(x)=3x2+2bx+c, f′(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内, ?c>0, 所以 f′(0)>0,f′(1)<0,f′(2)>0,即?3+2b+c<0, ?12+4b+c>0, 作出可行域如图 1? ? 中阴影部分所示 ( 不包括 b 轴 ) , ?b+ ? 2 + (c - 3)2 表示可行域内一点到点 2? ? P?- ,3?的距离的平方,由图象可知,P?- ,3?到直线 3+2b+c=0 的距离最 ?|3-1+3|?2 1? ? ? 1 ? ? 9 ? ? =5, 小, 即?b+ ?2+(c-3)2 的最小值为? P?- ,3?到点 A?- ,6?的 2? 5 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1? ? 距离最大,此时?b+ ?2+(c-3)2=25,因为可行域的临界线为虚线,所以所求 2? ? 范围为(5,25),故选 D. 3. 若函 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实 a 的取值范围是( A.(- 5,1) C.[-2,1) 答案 解析 C 令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=±1,且 x=-1 为函 f(x)的极大值点, B.[- 5,1) D.(-2,1) ) ? ? 1 2 ? ? ? ? 1 2 ? ? x=1 为函 f(x)的极小值点.函 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函 f(x)的 极小值点必在区间(a,6-a2)内, 且左端点的函值不小于 f(1), 即实 a 满足 a<1<6 -a2 且 f(a)=a3-3a≥f(1)=-2,解得- 5<a<1,且 a≥-2.故实 a 的取值范 围是[-2,1). 4.设函 f(x)=(x-1)kcosx(k∈N*),则( ) A.当 k=2013 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 B.当 k=2013 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 C.当 k=2014 时,f(x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2014 时,f(x)在 x=1 处取得极大值 答案 解析 C 当 k=2013 时, f(x)=(x-1)2013cosx, 则 f′(x)=2013(x-1)2012cosx π <x<1 时 , 4 - (x - 1)2013sinx = (x - 1)2012·[2013cosx - (x - 1)sinx] , 当 π 3 f′(x)>0;当 1<x< 时,f′(x)>0,此时函 x=1 不是函 f(x)的极值点,A、B 选项均错误.当 k= 2014 时, f(x)= (x- 1)2014·cosx,则 f′(x)= 2014(x- 1)2013cosx-(x-1)2014sinx=(x-1)2013[2014cosx-(x-1)sinx],当 π 3 π <x<1 时, 4 f′(x)<0;当 1<x< 时,f′(x)>0,此时函 f(x)在 x=1 处取得极小值,故选 C. 5.已知点 M 在曲线 y=3ln 的最小值为________. 答案 解析 2 2 本题考查导的几何意义、点到直线的距离. x-x2 上,点 N 在直线 x-y+2=0 上,则|MN| 当点 M 处的曲线的切线与直线 x-y+2=0 平行时|MN|取得最小值.令 y′ 3 =-2x+ =1,解得 x=1,所以点 M 的坐标为(1,-1),所以点 M 到直线 x-y x +2=0 的距离为 |1+2+1| =2 2,即|MN|的最小值为 2 2. 2 6.函 f(x)=x3-3x2+6 在 x=________时取得极小值. 答案 解析 2 依题意得 f′(x)=3x(x-2).当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0.因此,函 f(x)在 x=2 时取得极小值. 7.设函 f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),其中 a∈R. (1)讨论函 f(x)极值点的个,并说明由; (2)若? x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意知函 f(x)的定义域为(-1,+∞), 1 2ax2+ax-a+1 +a(2x-1)= , x+1 x+1 f′(x)= 令 g(

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