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www356com:【成才之路】2015-2016学年高中数学(人教A版)必修三课件:2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征_图文

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成才之路 ·数学
人教A版 ·必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
统计

第二章

统计

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第二章
2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征

第二章

统计

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1

优 效 预 习

3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

第二章

2.2

2.2.2

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优效预习

第二章

2.2

2.2.2

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●知识衔接
平均 水 1 .在初中,我们已经学过平均数描述了数据的 ______ 平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.我们也知道可 以用样本的平均数去估计总体的平均水平,而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度.方差或标准差越 小 ,数据越集中,总体越均衡;方差或标准差越______ 大 , ______ 数据越分散,总体越不均衡.而中位数则是指样本数据按从小 中间 位置的一个量, 到大(或从大到小 )的顺序排列后,处于______ 中间一个数据 就是中位数,它 当样本数据个数为奇数时,________________

是样本数据;
第二章 2.2 2.2.2

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当样本数据个数为偶数时,中位数则是中间两个数据的 平均数,当这两个数据相等时,中位数是样本数据,否则它不 ______ 最多 的数 是样本数据,众数则是指在样本数据中出现次数 ______ 唯一 . 据,众数不一定______

第二章

2.2

2.2.2

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2.(2015·江苏卷)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据 的平均数为________. [答案] 6

[解析]

4+6+5-8+7+6 x= =6. 6

第二章

2.2

2.2.2

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3.(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行
统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众 数、极差分别是( A.46、45、56 C.47、45、56 ) B.46、45、53 D.45、47、53

[答案] A
[解析] 本题考查样本数据的中位数、众数及极差.根据 茎叶图可知样本总共有30个数据,中位数为46,出现次数最多 的是45,最大数与最小数的差为68-12=56,故选A.

第二章

2.2

2.2.2

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●自主预习 1.众数
最多 的数称为这组数据的 (1)定义:一组数据中出现次数______ 众数. 不止 一个,也可能没 (2) 特征:一组数据中的众数可能 ______ 集中趋势 . 有,反映了该组数据的____________ [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其 他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征.

第二章

2.2

2.2.2

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2.中位数
(1) 定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列 ,处于 中间 位置的数称为这组数据的中位数. ______ 唯一 的,反映了该组数 (2)特征:一组数据中的中位数是______ 集中趋势 据的______________ .在频率分布直方图中,中位数左边和右 相等 . 边的直方图的面积______ [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些 情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.

第二章

2.2

2.2.2

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3.平均数 (1)定义: 一组数据的和与这组数据的个数的商. 数据 x1, x1+x2+?+xn x2,?,xn 的平均数为 x n=_________________. n (2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数

平均水平 .任何一个数据的改变都会引起平均数 据的_____________
的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、 中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全

信息 ,但平均数受数据中 _________ 极端值 的影响较大,使 体的______
平均数在估计总体时可靠性降低.
第二章 2.2 2.2.2

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4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一 般用s表示,通常用以下公式来计算 1 2 2 2 s=__________________________. [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n 可以用计算器或计算机计算标准差.

(2)特征:标准差描述一组数据围绕平均数 ______波动的大小,反
映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较大,数 大 ;标准差较小,数据的离散程度较 据 的 离 散 程 度 较 ______ 小 . ______

第二章

2.2

2.2.2

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5.方差
(1)定义:标准差的平方, 1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ] 2 1 2 n 即s =________________________________________ . n 标准差 (2)特征:与____________ 的作用相同,描述一组数据围绕 平均数波动程度的大小. [0,+∞) (3)取值范围:___________ .
[知识拓展] 数据组 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差

为 s2,标准差为 s,则数据组 ax1+b,ax2+b,?,axn+b(a, b 为常数)的平均数为 a x +b,方差为 a2s2,标准差为 as.

第二章

2.2

2.2.2

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6.用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数、 众数、中位数、 标准差、方差是不知道的 , 因此,通常用 样本 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计.这与 ______ 样本 的 频 率 分 布 来 近 似 地 代 替 总 体 分 布 是 类 似 上 一 节 用 ______

的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受
的. [规律总结] 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两 类:用样本平均数估计总体平均数;用样本标准差估计总体标 准差,样本容量越大,估计就越精确.
第二章 2.2 2.2.2

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●预习自测 1.下列刻画一组数据离散程度的是( A.平均数 C.中位数 [答案] B 2.下列判断正确的是( ) B.方差 D.众数 )

A.样本平均数一定小于总体平均数
B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平均数 [答案] D
第二章 2.2 2.2.2

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3 . 在 某 次 考 试 中 , 10 名 同 学 得 分 如 下 : 84,77,84,83,68,78,70,85,79,95. 则这一组数据的众数和中位数分 别为( ) B.84,78 A.84,68

C.84,81
[答案] C

D.78,81

第二章

2.2

2.2.2

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4 .在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如
下: 90 89 差分别为( 90 ) 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方

A.92,2
C.93,2 [答案] B

B.92,2.8
D.93,2.8

第二章

2.2

2.2.2

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[解析] 去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后,所得 的 5 个 数 分 别 为 = 90,90,93,94,93 , 所 以 x = 460 5 = 92 , s2 =

90+90+93+94+93 5

2×?90-92?2+2×?93-92?2+?94-92?2 14 = 5 =2.8,故选 B. 5

第二章

2.2

2.2.2

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高效课堂

第二章

2.2

2.2.2

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●互动探究
中位数、众数、平均数的应用

据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单
位)如下:

职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 1 1 2 1 5 3 20 人数 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 工资 5 500 (1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数;

第二章

2.2

2.2.2

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(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长 的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、 众数又是什么?(精确到1元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平?
结合此问题谈一谈你的看法. [探究] 平均数、中位数、众数的定义分别是什么?

第二章

2.2

2.2.2

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[解析] (1)平均数是 x =1 500+
4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33

≈1 500+591=2 091(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (2)平均数是 x ′=1 500+
28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33

≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.
第二章 2.2 2.2.2

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(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的工 资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别 较大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个公

司职工的工资水平.

第二章

2.2

2.2.2

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[规律总结] 关于众数、中位数、平均数的几个问题
(1)一组数据中的众数可能不止一个,如果两个数据出现的 次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这两个数据 都是这组数据的众数. (2)一组数据中的中位数是唯一的,求中位数时,必须先将

这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样 本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不 具备的性质.

第二章

2.2

2.2.2

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某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民
的年龄如下(单位:岁): 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17; 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其 中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其 中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征?

第二章

2.2

2.2.2

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[解析] (1)甲群市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17 =15(岁), 10 中位数为 15 岁,众数为 15 岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映 甲群市民的年龄特征.

第二章

2.2

2.2.2

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(2)乙群市民年龄的平均数为 54+3+4+4+5+5+6+6+6+57 =15(岁), 10 中位数为 5 岁,众数为 6 岁. 由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好 地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.

第二章

2.2

2.2.2

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标准差、方差的应用 从甲、乙两种玉米的苗中各抽 10 株,分别测它

们的株高如下:(单位:cm)
甲:25 41 乙:27 16 40 37 44 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

问:(1)哪种玉米的苗长得高?
(2)哪种玉米的苗长得齐? [探究] 1.求方差的第一步求什么?其公式是什么? 2.什么是标准差?如何求? 3.判断数据波动大小的特征数是什么?如何判断?
第二章 2.2 2.2.2

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[解析]

看哪种玉米的苗长得高,只要比较甲、乙两种

玉米的苗的均高即可;要比较哪种玉米的苗长得齐,只要看 两种玉米的苗高的方差即可,因为方差是体现一组数据波动 大小的特征数. 1 (1) x 甲=10(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42) 1 =10×300=30(cm),

第二章

2.2

2.2.2

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1 x 乙 = 10 (27 + 16 + 44 + 27 + 44 + 16 + 40 + 40 + 16 + 40) 1 =10×310=31(cm). 所以 x 甲< x 乙.

第二章

2.2

2.2.2

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1 (2)s甲 =10 [(25 - 30)2 + (41- 30)2 + (40- 30)2 + (37- 30)2
2

+ (22 - 30)2 + (14 - 30)2 + (19 - 30)2 + (39 - 30)2 + (21 - 30)2 1 +(42-30) ]=10(25+121+100+49+64+256+121+81+
2

1 81+144)=10×1042=104.2(cm2), 1 s乙=10[(2×272+3×162+3×402+2×442)-10×312]=
2

1 2 2 2 × 1288 = 128.8(cm ) .所以 s < s 甲 乙. 10 [答案] (1)乙种玉米的苗长得高,(2)甲种玉米的苗长得

齐.
第二章 2.2 2.2.2

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甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三
人的测试成绩如下表: 甲的成绩 7 8 5 5

环数 频数

9 5

10 5

环数 频数

乙的成绩 7 8 6 4

9 4

10 6

第二章

2.2

2.2.2

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环数 频数

丙的成绩 7 8 4 6

9 6

10 4

s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的 标准差,则有( A.s3>s1>s2 ) B.s2>s1>s3

C.s1>s2>s3
[答案] B

D.s2>s3>s1

第二章

2.2

2.2.2

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[解析] 设甲、 乙、 丙三人的平均成绩分别为 x1 , x2 , x3 , 5×7+5×8+5×9+5×10 计算得 x1 = =8.5, 20 同理, x2 = x3 =8.5.
s1 = =
1 2 2 2 2 [5 × ? 7 - 8.5 ? + 5 × ? 8 - 8.5 ? + 5 × ? 9 - 8.5 ? + 5 × ? 10 - 8.5 ? ] 20

25 20,

同理,s2=

29 20,s3=

21 20,所以 s2>s1>s3.

第二章

2.2

2.2.2

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[点评]

本题通过三名运动员的一次测试成绩的抽样数据

表,将样本数据以表格形式统计出来,考查了平均数、标准差 的计算,及统计公式的掌握.通过计算得知,运动员丙的成绩 相比而言,比甲、乙运动员稳定.

第二章

2.2

2.2.2

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●探索延拓 频率分布直方图与数字特征的综合应用 (1)(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛 中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )

第二章

2.2

2.2.2

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A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
第二章 2.2 2.2.2

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(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学
生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

①求这次测试数学成绩的众数. ②求这次测试数学成绩的中位数. ③求这次测试数学成绩的平均分.
第二章 2.2 2.2.2

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[探究] 1.如何利用条形图求众数、中位数、平均数?

2.如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数? 1 [解析] (1) x 甲=5(4+5+6+7+8)=6,
1 x 乙=5(5×3+6+9)=6, 甲的中位数是 6, 乙的中位数是 5. 1 2 甲的成绩的方差为5(2 ×2+12×2)=2, 1 2 乙的成绩的方差为5(1 ×3+32×1)=2.4.
第二章 2.2 2.2.2

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甲的极差是 4,乙的极差是 4. 所以 A,B,D 错误,C 正确. 70+80 (2)①由图知众数为 2 =75. ②由图知,设中位数为 x,由于前三个矩形面积之和为 0.4,第四个矩形面积为 0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于 第四个矩形内,得 0.1=0.03(x-70),所以 x≈73.3.

第二章

2.2

2.2.2

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③由图知这次数学成绩的平均分为: 40+50 50+60 60+70 ×0.005×10 + ×0.015×10 + 2 2 2 70+80 80+90 ×0.02×10 + ×0.03×10 + ×0.025×10 + 2 2 90+100 ×0.005×10=72. 2

[答案] (1)C

第二章

2.2

2.2.2

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[规律总结]

众数、中位数、平均数与频率分布表、频率

分布直方图的关系 (1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组 中值来表示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的 底边中点的横坐标.

(2) 中位数:在频率分布表中,中位数是累计频率 ( 样本数
据小于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率 ) 为 0.5时所对 应的样本数据的值,而在样本中有50%的个体小于或等于中位 数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直 方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
第二章 2.2 2.2.2

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(3)平均数: 平均数在频率分布表中等于组中值与对应频 率之积的和.又平均数是频率分布直方图的“重心”.我们 1 知道,n 个样本数据 x1,x2,?,xn 的平均数 x =n(x1+x2+? +xn), 则有 n x =x1+x2+?+xn, 也就是把每个 xi(i=1,2, ?, n)都用 x 取代后, 数据总和保持不变, 所以平均数 x 对数据有 “取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平,在频率 分布直方图中,平均数是直方图的平衡点.

第二章

2.2

2.2.2

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(2015·山东淄博高三模拟)参加市数学调研抽测的某校高三 学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的 破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题: 求参加数学抽测的人数 n,抽测成绩的中位数及分数分布 在[80,90),[90,100]内的人数.

第二章

2.2

2.2.2

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[探究]

从茎叶图和频率分布直方图的共同数字特征(如频

数等)入手. [解析] 分数在[50,60)内的频率为 2, 由频率分布直方图
可以看出,分数在[90,100]内的同样有 2 人. 2 由n=10×0.008,得 n=25. 由茎叶图可知抽测成绩的中位数为 73. ∴分数在[80,90)之间的人数为 25-(2+7+10+2)=4. 参加数学竞赛人数 n=25, 中位数为 73, 分数在[80,90), [90,100]内的人数分别为 4 人,2 人.
第二章 2.2 2.2.2

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[点评]

由茎叶图、频率分布直方图估计样本的数字特征

的问题相互借用,样本的信息很重要.

第二章

2.2

2.2.2

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●误区警示 小明是班里的优秀学生,他的历次数学成绩是

96,98,95,93分,但最近的一次考试成绩只有 45分,原因是他带
病参加了考试.期末评价时,怎样给小明评价?
[ 错 解 ] 这 五 次 数 学 考 试 的 平 均 分 是

96+98+95+93+45 = 85.4 ,则按平均分给小明一个“良 5 好”.

第二章

2.2

2.2.2

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[错因分析]

这种评价是不合理的,尽管平均分是反映一

组数据平均水平的重要特征,但任何一个数据的改变都会引起 它的变化,而中位数则不受某些极端值的影响.本题中的 5个 成绩从小到大排列为: 45,93,95,96,98;中位数是95,较为合理 地反映了小明的数学水平,因而应该用中位数来衡量小明的数

学成绩.
[正解] 小明5次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96,98,中位数是95,应评定为“优秀”.

第二章

2.2

2.2.2

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(2015·天津高一检测)一次数学知识竞赛中,两组学生成绩 如下表: 分数 人 甲组 数 乙组 50 2 60 5 70 10 80 13 90 14 100 6

4

4

16

2

12

12

已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统 计知识,进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说 明理由.

第二章

2.2

2.2.2

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[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分, 乙组成绩的众数为 70 分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些. 1 (2)s 甲 = ×[2×(50 - 80)2 + 5×(60 2+5+10+13+14+6
2

- 80)2 + 10×(70 - 80)2 + 13×(80 - 80)2 + 14×(90 - 80)2 + 1 6×(100-80) ]=50×(2×900+5×400+10×100+13×0+
2

14×100+6×400)=172. 1 s 乙 = 50 ×(4×900 + 4×400 + 16×100 + 2×0 + 12×100
2

+12×400)=256.
2 因为 s2 甲<s乙,所以甲组成绩较乙组成绩稳定.

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(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组
成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80 分)的有26人,从这一角度看,甲组成绩总体较好.

(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20
人,乙组成绩大于或等于90分的人数为24人,所以乙组成绩在 高分阶段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多 6 人,从这一角度看,乙组成绩较好.

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当堂检测

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1 .甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等,但他们的
方差不相等,正确评价他们的学习情况是( ) A.因为他们平均分相等,所以学习水平一样 B.成绩平均分虽然一样,方差较大的,说明潜力大,学 习态度端正

C.表面上看这两个学生平均成绩一样,但方差小的成绩
稳定 D.平均分相等,方差不等,说明学习不一样,方差较小 的同学,学习成绩不稳定,忽高忽低 [答案] C
第二章 2.2 2.2.2

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2.在某次测量中得到的 A样本数据如下 :
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88 ,若样本 B 数据恰好是样本 A 都加 上2后所得数据,则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) A.众数 B.平均数

C.中位数
[答案] D [ 解析 ]

D.标准差

B 样本数据恰好是 A 样本数据加上 2 后所得的众

数、中位数、平均数比原来的都多2,而标准差不变.

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3 .如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分
的茎叶图,则得分的中位数与众数分别为( )

A.3与3 C.3与23 [答案] D

B.23与3 D.23与23

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[ 解析 ]

中位数是指一组数据按从小到大 ( 或从大到小 ) 的

顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平 均数),从茎叶图中可知中位数为23;众数是指一组数据中出现 次数最多的数,从茎叶图中可知 23 出现了 3 次,次数最多,因

此众数也是23,所以选D.

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4.(2015·沈阳铁路实验中学期末考试)已知样本9,10,11,
x,y的平均数是10,方差是2,则xy=( A.98 C.76 [答案] D
[解析] 本题考查样本平均数与方差的计算公式,由平

)

B.88 D.96

均数与方差的公式可得, ?1?9+10+11+x+y?=10 ?5 ?1 ?5[?9-10?2+?10-10?2+?11-10?2+?x-10?2+?y-10?2]=2 ?
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化简得
? ?x=12 ? ? ?y=8

? ?x+y=20 ? 2 2 ? ??x-10? +?y-10? =8

,解得

? ?x=8 ? ? ?y=12



,所以 xy=96,故选 D.

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5 .从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本,考查竞
赛的成绩分布,将样本分成 6 组,得到频率分布直方图如图, 从左到右各小组的小长方形的高的比为 1?1?3?6?4?2,最 右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息,解答下列问题:

(1)样本容量是多少?
(2) 成绩落在哪个范围的人 数最多?并求出该小组的频数 和频率. (3) 估计这次数学竞赛成绩 的众数、中位数和平均数.
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1 1 3 6 [解析] (1)从左到右各小组的频率分别为17, 17, 17, 17, 4 2 17,17 8 样本容量为 2 =68. 17 6 (2)成绩落在 70~80 之间的人数最多;频率为17;频数 6 为 68×17=24.

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(3)众数的估计值是 75,中位数的估计值是 1 1 1 3 2-17-17-17 70+ ×10 6 17 455 = 6 ≈75.83. 平均数的估计值是 1 1 3 6 4 2 17 ×45 + 17 ×55 + 17 ×65 + 17 ×75 + 17 ×85 + 17 ×95 =75.
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课时作业
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