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2019-2020学年高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3.3 已知三角函数值求角学案 新人教B版必修4

2019-2020 学年高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3.3 已知三 角函数值求角学案 新人教 B 版必修 4 [学习目标] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号 arcsin x,arccos x, arctan x 的含义,并能用这些符号表示非特殊角. [知识链接] 已知角 x 的一个三角函数值,所求得的角一定只有一个吗?为什么? 答 不一定, 这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定, 如果在给定的范围内有已知三 角函数值的角不止一个,则所求的角也就不止一个. [预习导引] 1.arcsin y 的含义 ? π π? 一般地,对于正弦函数 y=sin x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在?- , ?上有 ? 2 2? π π? ? 唯一的 x 值和它对应,记为 x = arcsin_y ?其中-1≤y≤1,- ≤x≤ ? ,即 arcsin 2 2? ? ? π π? y(|y|≤1)表示?- , ?上正弦值等于 y 的一个角. ? 2 2? 2.arccos y 的含义 一般的对于余弦函数 y=cos x,如果已知函数值 y(y∈[-1,1],那么在[0,π ]上有唯一的 x 值和它对应,记作 x=arccos_y(-1≤y ≤1,0≤x≤π ). 3.arctan y 的含义 ? π π? 一般地,如果正切函数 y=tan x(y∈R)且 x∈?- , ?,那么对每一个正切值,在开区间 ? 2 2? ?-π ,π ? 内 有 且 只 有 一 个 角 ? 2 2? ? ? arctan_y. x , 使 tan x = y , 记 作 x = 要点一 已知正弦值,求角 1 ? π? 例 1 已知 sin?x- ?=- ,求 x. 3? 4 ? π 1 解 设 x- =t,则有 sin t=- . 3 4 1 ? π π? ? 1? t∈?- , ?时,t=arcsin?- ?,又 sin t=- , ? 2 2? ? 4? 4 ? 1? 所以 t 是第三、四象限角,且 t1=arcsin?- ?是第四象限角. ? 4? 1 ? ? 1?? ? ? 1?? 又 sin?π -arcsin?- ??=sin?arcsin?- ??=- , 4 ? ? 4?? ? ? 4?? ? 1? 且 π -arcsin?- ?是第三象限角, ? 4? ? 1? 所以 t2=π -arcsin?- ?. ? 4? 由正弦函数周期性可知 1 4 t=2kπ +t1 或 t=2kπ +t2(k∈Z)时,sin x=- . ? 1? 所以 t=2kπ +arcsin?- ?(k∈Z), ? 4? ? 1? 或 t=2kπ +π -arcsin?- ?(k∈Z). ? 4? ? π ? 1? 因此 x 的集合为?x|x=2kπ + +arcsin?- ? 3 ? 4? ? ? 4π ? 1? 或x=2kπ + -arcsin?- ?,k∈Z?. 4 3 ? ? ? , 规律方法 方程 y=sin x=a,|a|≤1 的解集可写为{x|x=2kπ +arcsin a,或(2k+1)π -arcsin a,k∈Z}.也可化简为{x|x=kπ +(-1) arcsin a,k∈Z}. 跟踪演练 1 已知 sin x= 3 . 2 k ? π π? (1)当 x∈?- , ?时,求 x 的取值集合; ? 2 2? (2)当 x∈[0,2π ]时,求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. π 3 π ? π π? 解 (1)∵y=sin x 在?- , ?上是增函数, 且知 sin = .∴满足条件的角只有 x= . 3 2 3 ? 2 2? ?π ? ∴x 的取值集合为? ?. ?3? (2)∵sin x= 3 >0, 2 π? π 3 ? ∴x 为第一或第二象限角且 sin =sin?π - ?= . 3? 2 3 ? π 2π ∴在[0,2π ]上符合条件的角 x= 或 x= . 3 3 ?π 2π ? ∴x 的取值集合为? , ?. 3 3 ? ? (3)当 x∈R 时,x 的取值集合为 ? ? π 2π ?x|x=2kπ + 或x=2kπ + ,k∈Z?. 3 3 ? ? 要点二 已知余弦值,求角 1 例 2 已知 cos x=- . 3 (1)当 x∈[0,π ]时,求 x; (2)当 x∈[0,2π ]时,求 x; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. 1 解 (1)∵cos x=- ,且 x∈[0,π ], 3 1 ? 1? ∴x=arccos?- ?=π -arccos . 3 ? 3? 1 (2)∵x∈[0,2π ]且 cos x=- <0. 3 ∴x 为第二象限角或第三象限角. 1 1 ∴x=π -arccos 或 x=π +arccos . 3 3 1 1 (3)当 x∈R 时,x 与 π -arccos 终边相同或者与 π +arccos 终边相同. 3 3 1 ∴x=2kπ +π -arccos (k∈Z) 3 1 或 x=2kπ +π +arccos (k∈Z). 3 ∴x 的取值集合是?x|x= ? ? k+ ? 1 π ±arccos ,k∈Z?. 3 ? 规律方法 方程 cos x=a,|a|≤1 的解集可写成{x|x=2kπ ±arccos a,k∈Z}. 1 π 跟踪演练 2 若 cos 2x= ,其中 <x<π ,则 x 的值为( 2 2 π A. 6 5π B. 6 2π C. 3 5π D. 3 ) 答案 B π 解析 ∵ <x<π ,∴ 2 π <2x<2π x= >0?? ? 1 ? ?3π <2x<2π , 2 ? ? 2 x= 5π . 3 5π ∴x= . 6 要点三 已知正切值,求角 ? π π? 例 3 (1)已知 tan

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