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第五届中国西部数学奥林匹克竞赛试题


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第五届中国西部数学奥林匹克竞赛试题 一
一. 已知

? 2005 ? ? 2005 可表示成以 ? ? ? ,?? 为变元的二元多项式, 求这个多项式

的系数之和. 二. 如图, 过圆外一点 P 作圆的两条切线 PA, PB , A, B 为切点, 再过点 P 作圆的一 条割线分别交圆 于 C, D 两点,过切点 B 作 PA 的平 C 行线分别交直线 AC, AD 于 E, F . 求证: BE ? BF . E 三. B F P A

D } 设 S ? {1, 2,?,2005 . 若 S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一 个质数,试求 n 的最小值.

四.

已知实数 x1 , x2 ,?, xn ( n ? 2 )满足

| ? xi |? 1 ,
i ?1

n

| xi |? 1 ( i ? 1, 2, ?, n ).

求证: 存在正整数 k ,

使得 |

? xi ?
i ?1

k

i ? k ?1

?x

n

i

|? 1 .

日本校花:温顺。“住英国房子,用中国厨师,娶日本女人,拿美国工资”这句绝对不是空 穴来风。日本 MM 有一种从骨子里透出来的盲从气质,到你家玩,你要是不给她下命令,她 都不敢坐凳子。 一、 图中的 AOB 是游乐场中的滑道模型, 它位于竖直平面内,由两个半径都是 R 的 1/4 圆周连接而成,它们的圆心 O1 、 O2 与两圆弧的连接点 O 在同一竖直线上. O2 B 沿水池 的水面.一小滑块可由弧 AO 的任意点从静止开始下滑. 1. 若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中, 在两个圆 弧上滑过的弧长相等,则小滑块开始下滑时应在圆弧 AO 上的何处?(用该处到 O1 的连线与竖直线的夹角表示) . 2.凡能在 O 点脱离滑道的小滑块,其落水点到 O2 的 O O2 B A O1

距离如何? 三峡水利枢纽工程是长江流域治理开发的关键工程,建成后将是中国规模最大的水利工程。 6 2 枢纽控制流域面积 1.O×10 km ,占长江流域面积的 56%,坝址处年平均流量为 11 3 Q=4.51×1O m 。水利枢纽的主要任务包括防洪、发电、航运三方面,在发电方面,三峡电
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站安装水轮发电机组 26 台,总装机容量(指 26 台发电机组同时工作时的总发电功率)为 7 10 P=1.82×10 kW,年平均发电量约为 W=8.40×10 kW·h.该工程将于 2009 年全部竣工,电站 主要向华中、华东电网供电,以缓解这两个地区的供电紧张局面.阅读上述材料,解答下列 3 3 问题(水的密度 ρ =1.O×10 kg/m ,g 取 1ON/kg): (1)若三峡电站上、下游水位差按 h=1OOm 计算,试求三峡电站将水流的势能转化为电能的 效率 η 的数值. (2)若 26 台发电机组全部建成并发电,要达到年发电量的要求,每台发电机组平均年发电 时间 t 为多少天? 6 (3)将该发电站的电能输送到华中地区,送电功率为 P1=4.5×10 kW,采用超高压输电,输 电电压为 U=500kV,要使输电线上损耗的功率等于输送电功率的 5%,求:输电线路的总电 阻 一艘帆船在静止中由于风力的推动作匀速航行,已知风速为 v1,航速为 v2(v1>v2),帆面 的截面积为 S,空气的密度为 r,则帆船在匀速前进时帆面受到的平均作用力的大小为 ( ) 2 2 (A)r S(v1-v2) , (B)r S(v1+v2) , 2 2 (C)r S(v1 -v2 ),

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