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黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学(文)试题

大庆实验中学 2012-2013 学年下学期开学考试

高三年级数学试题(文)

一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四

个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合,集合,则( )

A.

B.

C.

D.

3.某中学高一年级 560 人,高二年级 540 人,高三年级 520 人,用分层抽样的方法抽取容量

为 81 的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是( )

A.28、27、26

B.28、26、24

C.26、27、28 D.27、26、25

4.某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的实数的值为( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

5.双曲线的离心率为,则它的渐近线方程是( )

A.

B.

C.

D.

6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为( )

7.等比数列满足,且,则当时,( )

A.

B.

C.

D.

8.已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题的个数为( )

①//, ,则//;

②//,则;

③//, //,则;

④若与是异面直线, //,//,则//。

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知函数和的图象的对称中心完全相同,若,则的最小值是( )

A.

B.

C.

D.1

10. 点 P 是双曲线左支上的一点,其右焦点为,若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为,则

双曲线的离心率的取值范围是 ( )

A.

B.

C.

D.

11.现有四个函数①②③④的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数

序号排列正确的一组是 ( )

A.①④②③

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

12.在直角梯形中,, ,动点在内运动(含边界),设,则的最大值是( )

A.

B.

C.1

D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.在中,角所对边长分别为,,.则的面积为 14.已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为 15.设为等差数列的前项和,且,则 16.设定义域为的函数, 若关于的方程有 7 个不同的实数根,则实数__________
三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.
17.(本题满分 12 分) 已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)当时,求函数的最大值.
18.(本题满分 12 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但 可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求全班人数,并计算频率分布直方图中间的矩形的高; (2)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,则在抽取的试卷中,求至少有 一份分数在之间的概率.
19.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥中,平面平面, //,是等边三角形, 其中. (1)求证:; (2)求三棱锥的体积.
20. (本题满分 12 分) 已知定点及椭圆,过点的动直线与该椭圆相交于两点 (1)若线段中点的横坐标是,求直线的方程; (2)在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本题满分 12 分) 设函数(). (1) 当时,求函数在点处的切线方程; (2) 对任意的,恒成立,求实数的取值范围.

(本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑)
P

22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,圆的直径,弦于点,. (1)求的长; (2)延长到,过作圆的切线,切点为,若 ,求的长.

C D

A

H

B

O

E

23.选修 4—4:极坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、相交于点. (1)将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求弦的长.
24.选修 4—5:不等式选讲 已知不等式. (1)如果不等式当时恒成立,求实数的范围; (2)如果不等式当时恒成立,求实数的范围.

答案

1-5 ABAAA 6-10 DCABB 11-12 AB

13. 14.

15. -2008 16. 2

17.解:(1) 的最小正周期为

(2), 当时,函数的最大值为 1
18.解(1)由茎叶图知,分数在之间的频数为,频率为, 全班人数为. 所以分数在之间的频数为

频率分布直方图中间的矩形的高为.

(2)将之间的个分数编号为,之间的个分数编号为,在之间的试卷中任取两份的基本事件为: ,,,,,,,,,,,

,,共个,

其中,至少有一个在之间的基本事件有个,

故至少有一份分数在之间的频率是.

19 (1)证明:因为, ,,所以 又因为平面平面,交线为,又有平面,所以平面 又因为平面,所以

(2). 20 (1)直线斜率不存在时显然不成立 设直线,

将代入椭圆的方程,

消去整理得,

设,



因为线段的中点的横坐标为,解得

所以直线的方程为

(2)假设在轴上存在点,使得为常数, (1)当直线与轴不垂直时,由(1)知,

所以= ,

因为是与无关的常数,从而有,

此时,

(2)当直线与轴垂直时,此时结论成立, 综上可知,在轴上存在定点,使为实数。

21 (1)当时,,,则
所以函数在点处的切线方程为,即。

(2),易知,, 则. 当时,即时,由得恒成立,

在上单调递增,符合题意,所以;

当时,由得,恒成立,在上单调递减,

,显然不合题意,舍去;

当时,由得,即

则,

因为,所以,所以时,恒成立,

在上单调递减,,显然不合题意,舍去。

综上可得,的取值范围是

22.(Ⅰ) ……5 分 23.(Ⅰ) …5 分 24.(Ⅰ) ……5 分

(Ⅱ)

……10 分

(Ⅱ) …10 分

(Ⅱ)

…10 分