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江苏省启东中学2018届高三数学周周练(十一)


江苏省启东中学 2018 届高三周周练(十一)
姓名: 一.填空题: 1.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是________. 答案 4 解析 根据已知,满足条件的集合 B 为{1,3},{3},{2,3},{1,2,3}. 2.若“x2-2x-3>0”是“x<a”的必要不充分条件,则实数 a 的最大值为________. 答案 -1 解析 由 x2-2x-3>0,解得 x<-1 或 x>3.由题意知,{x|x<a}?{x|x<-1,或 x>3},所以 a ≤-1,故 a 的最大值为-1. 3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为________. 答案 9 10 学号:

解析 由题意知,从五位大学毕业生中录用三人, 所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲, 乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙, 丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同 的可能结果只有(丙,丁,戊)这 1 种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有 9 种, 9 所求概率 P= . 10 4.下列命题中,p 是 q 的充要条件的是________.(填序号) f?-x? ①p:m<-2 或 m>6,q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点;②p: =1,q:y=f(x) f?x? 是偶函数;③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:?UB??UA. 答案 ①④ 解析 ①中,函数有两个不同的零点,则 Δ=m2-4m-12>0,解得 m>6 或 m<-2,所以 p 是 q 的充要条件;②中,p 是 q 的充分不必要条件;③中,p 是 q 的既不充分也不必要条件; ④中,p 是 q 的充要条件. 5.已知△ABC 中,∠ABC=60° ,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使△ABD 为钝 角三角形的概率为______. 答案 1 2

解析 如图, 当 BE=1 时, ∠AEB 为直角, 则点 D 在线段 BE(不包含 B、 E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当 BF=4 时,∠BAF 为直角,则点

D 在线段 CF(不包含 C、F 点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概 1+2 1 率为 = . 6 2 6.已知函数 y= log 1 (3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是________.
2

答案 (-8,-6] 解析 依题意, 得 μ(x)=3x2-ax+5 在[-1, +∞)上是增函数, 且在[-1, +∞)上恒大于 0, a ? ?6≤-1, 即? 解得-8<a≤-6. ? ?μ?-1?=3+a+5>0, 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a) +f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是________.
2

解:由题意知 a>0,又 log 1 a=log2a 1=-log2a.


2

∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f( log 1 a).
2

∵f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1).
2

1 ? 又因 f (x)在[0,+∞)上递增.∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈? ?2,2?. 8.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾 斜角互补,则 a 的值为________. 解析 设切点坐标为(t,t3-at+a). 由题意知,f′(x)=3x2-a,切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a,① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).② 将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 3 解得,t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入①式, 2 2 27 27 得 k1=-a 和 k2= -a,由题意,它们互为相反数得 a= . 4 8 9.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取值范围 是________. 答案 (-1,0) 解析 当 a=0 时,则 f′(x)=0,函数 f(x)不存在极值. 当 a≠0 时,令 f′(x)=0,则 x1=-1,x2=a. 若 a=-1,则 f′(x)=-(x+1)2≤0,函数 f(x)不存在极值;若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′ (x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,不符合题意;

若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x =a 处取得极大值;若 a<-1,当 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,不符合题意,所以 a∈(-1,0). 10..某驾驶员喝了 1000mL 某种酒后,血液中的酒精含量 f ( x) (mg/mL)随时间 x(h)变化的规
? 5x-2,≤ 0 x ≤ 1, ? 律近似满足表达式 f ( x) = ? 3 ? 1 ? x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规 ? ? ? ? ,x>1. ?5 ? 3 ?

定为驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02mg/mL,据此可知,此驾驶员至少要过________h 后才能开车.(精确到 1h)

3 ?1? 1 x-2 1 解析 当 0≤x≤1 时, ≤5 ≤ ,此时不宜开车;由 ? ? ? ≤0.02,得 x≥4. 25 5 5 ? 3?
x?m ?| x |, 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f ? x ? 2mx ? 4m, x ? m

x

(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________________. 【答案】 ? 3, ??? 【解析】 试题分析: 画出函数图象如右图所示: 由图所示,要 f ? x ? ? b 有三个不同的根, 需要红色部分图像在深蓝色图像的下方, 即 m ? m2 ? 2m ? m ? 4m, m2 ? 3m ? 0 , 解得 m ? 3 12. 已 知 实 数 a, b, c, d 满 足

a ? 2e a 1 ? c ? ?1 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 , 则 b d ?1


?a ? c ?2 ? ?b ? d ?2 的最小值为
答案 解析

2 2


a ? 2e a 1 ? c ? ? 1 , ?b ? a ? 2e a , d ? 2 ? c , ? 点 ( a , b ) 在 曲 线 b d ?1
2 2

y ? x ? 2e x 上,点(a,b)在曲线 y ? 2 ? x 上, ?a ? c ? ? ?b ? d ? 的几何意义就是曲线
x 求 y ? x ? 2e 上和直线 y ? 2 ? x y ? x ? 2e x 到曲线 y ? 2 ? x 上点的距离最小值的平方,

平行的切线方程,可求出切点(0,-2) ,该点到直线 y ? 2 ? x 的距离为 d ? 2 2
2 ? ?a ? ab, a ? b a ? b ? 13.对于实数 a 和 b ,定义运算“*”: , 设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , ? 2 ? ?b ? ab, a ? b

且 关 于 x 的 方 程 为 f ( x) ? m ( m ? R ) 恰 有 三 个 互 不 相 等 的 实 数 根 x1、x2、x3 , 则

x1 ? x2 ? x3的取值范围是_____________.
答案

5? 3 ? x1 ? x 2 ? x 3? 1 . 4

解析 由新定义得 f ( x) ? ?

?(2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)(x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 . ?? 2 2 ? ( x ? 1) ? (2 x ? 1)(x ? 1), 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ?? x ? x, x ? 0

画出函数 f ( x ) 的图象, 可知若方程 f ( x ) ? m 有三个根, 则0 ? m ? 则当 x ? 0 时方程可化为 ? x ? x ? m ? 0 ,易知 x2 ? x3 ? 1 ;
2

1 , 不妨设 x1 < x2 < x3 . 4

当 x ? 0 时方程可化为 2 x ? x ? m ? 0 ,可解得 x1 ?
2

1 ? 1 ? 8m , 4

所以 x1 ? x2 ? x3 ?

1 ? 1 ? 8m ? 1. 4
, 所 以





0?m?

1 4

5 ? 3 1 ? 1 ? 8m ? ?1 ? 1 4 4





5? 3 ? x1 ? x ? . 2 x ? 13 4
1 14.用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值.已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-lnx, 设函数 h(x) 4 =min{f(x),g(x)}(x>0),若 h(x)有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

考点:函数零点 二.解答题 15. 已知集合 A 是函数 y=lg(20+8x-x2)的定义域, 集合 B 是不等式 x2-2x+1-a2≥0(a>0) 的解集,p:x∈A,q:x∈B. (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)若 ? p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意得 A={x|-2<x<10},B={x|x≥1+a 或 x≤1-a}. 1+a≥10, ? ? 若 A∩B=?,则必须满足?1-a≤-2, ? ?a>0, ∴a 的取值范围为[9,+∞). (2)易得綈 p:x≥10 或 x≤-2. ∵綈 p 是 q 的充分不必要条件, 10≥1+a ? ? ∴{x|x≥10 或 x≤-2}是 B={x|x≥1+a 或 x≤1-a}的真子集,则?-2≤1-a ,解得 0<a ? ?a>0 ≤3,∴a 的取值范围是(0,3]. 16.已知关于 x 的一次函数 y=ax+b. (1)设集合 A={-2,-1,1,2}和 B={-2,2},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为 a,b, 求函数 y=ax+b 是增函数的概率; a-b+1≥0, ? ? (2)若实数 a,b 满足条件?-1≤a≤1, ? ?-1≤b≤1,

解得 a≥9.

求函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率.

解 抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2,-2),(-2,2),(-1,-2),(-1,2),(1,

-2),(1,2),(2,-2),(2,2),共 8 个. 1 设函数是增函数为事件 A,需 a>0,有 4 个,故所求概率为 P(A)= . 2 a-b+1≥0, ? ? (2)实数 a,b 满足条件?-1≤a≤1, ? ?-1≤b≤1,

要函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限,

?a≥0, ?0≤a≤1, ? ? 则需使 a,b 满足? 即? 对应的图形为正方形,面积为 1, ?b≥0, ?0≤b≤1, ? ?

作出不等式组对应的平面区域如图:

则根据几何概型的概率公式可得函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率为 1 2 = . 7 7 2

S正方形OFBC = S多边形ABCDE

17.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).

又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.

18. 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线, 现要通过技术改造来提高该生产线的生产 能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值 y 万元与技术改造投入的 x 万元之 间满足:① y 与(a-x)和 x2 的乘积成正比;② x∈ (0, y=a3. (1) 求产品增加值 y 关于 x 的表达式; (2) 求产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值. a 解析 (1) 设 y= f ( x) =k(a-x)x2,因为当 x= 时,y=a3,所以 k=8, 2 所以 f ( x) =8(a-x)x2,x∈ (0,

2am a ] ,其中 m 是常数.若 x=2时, 2m ? 1

2am ]. 2m ? 1

2a (2) 因为 f ?( x ) =-24x2+16ax,令 f ?( x ) =0,则 x=0(舍),x= . 3 ① 当

2 2 2am 2a > ,即 m>1 时,当 x∈ (0, a ) 时, f ?( x ) >0,所以 f ( x) 在 (0, a ) 上是增函 2m+1 3 3 3 2 3 2am 2 2am ] 时, f ?( x ) <0,所以 f ( x) 在 ( a, ] 上是减函数, 2m ? 1 3 2m ? 1

数,当 x∈ ( a , 所以 ymax= f ( ② 当

2a 32 ) =27a3; 3

2am 2am 2a ≤ ,即 0<m ≤ 1 时,当 x∈ (0, ] 时, f ?( x ) >0, 2m+1 3 2m ? 1 2am 2am 32m2 3 ] 上是增函数,所以 ymax= f ( )= 3a . ( 2 m + 1 ) 2m ? 1 2m ? 1

所以 f ( x) 在 (0,

2a 32 综上,当 m≥1 时,投入 万元,最大增加值 a3; 3 27 2am 32m2 当 0<m<1 时,投入 万元,最大增加值 a3. 2m+1 (2m+1)3 19.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x . (1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图 象的下方;

(3)若存在 a ? [?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围.

? x2 ? (2 ? a) x, x ≥ a, ? 解 (1) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a,
2?a ? a≥? , ? ? 2 由 f ( x) 在 R 上是增函数,则 ? 即 ?2 ≤ a ≤ 2 ,所以 a 的取值范围为 ?2 ≤ a ≤ 2 . 2 ? a ?a ≤ , ? 2 ?
(2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x ) 恒成立,即 x x ? a ? 1 ,当 x ?[1, 2] 恒 成立,

1 1 1 1 1 , ? ? x ? a ? ,得 x ? ? a ? x ? , x x x x x 1 1 故只要 x ? ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可, x x
即 x?a ?

1? 3 1 ?? 1 1 ? ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? ; x ?max 2 x? x x ? ? 1? 1 ?? 1 1 3 ? ? 当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? 2 ,所以 ? a ? 2 . x x x x 2 ? ?min ? ?
(3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个不 等的实数根; 则当 a ? (2 , 4] 时,由 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a

得在 x ≥ a 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ? 此时 f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) , 在 x ? a 时, f ( x) ? ? x2 ? (2 ? a ) x 对称轴 x ?

a?2 ? a ,则 f ( x) 在 x ? [a, ? ?) 为增函数, 2

a ? 2? a?2 ? 为增函 ? a ,则 f ( x) 在 x ? ? ??, 2 ? 2 ? ?

? (a ? 2) 2 ? ?a ? 2 数,此时 f ( x) 的值域为 ? ??, ? , f ( x) 在 x ? ? 2 , 4 ? ? ? ? (a ? 2)2 ? 域为 ? 2a, ?; 4 ? ?

? a ? 为减函数,此时 f ( x) 的值 ?

? (a ? 2)2 ? 由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 2ta ? ? 2a, ?, 4 ? ? ? (a ? 2) 2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? ? ? a ? ? 4? , 即存在 a ? (2 , 4] ,使得 t ? ?1, ? 即可,令 g (a) ? 8a 8? a 8a ? ? ?
只要使 t ? ? g (a) ?max 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数, ? g (a) ?max ? g (4) ?

9 , 8

? 9? 故实数 t 的取值范围为 ? 1, ? ; ? 8? ? 9? 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ? 1, ? ; ? 8? ? 9? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ? 1, ? . ? 8?
20. 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , a ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? e ,解不等式: f ( x) ? 2 ; (3)求证:当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点.
2 解: (1)函数的定义域为 (0, ??) , f ( x) ? 2ln x ? x ? ax , f ?( x) ?

2 ? 2x ? a , x

由题意,对任意的 x ? 0 ,都有 f ?( x) ?

2 2 ? 2 x ? a ? 0 ,只要 ( ? 2 x) min ? a , x x

由基本不等式得

2 2 ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 4 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x x
???4 分

所以 a ? 4 ,即实数 a 的取值范围是 ( ??, 4] .
2 (2)当 a ? e 时, f ( x) ? 2ln x ? x ? ex , f ?( x) ?

2 2 x 2 ? ex ? 2 ? 2x ? e ? ?0, x x

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,
2 又因为 f (e) ? 2ln e ? e ? e ? e = 2 ,所以 f ( x) ? 2 ? f ( x) ? f (e) ,因此 0 ? x ? e ,

故不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (0, e) .

???9 分

(3) f ?( x) ?

2 2 x 2 ? ax ? 2 ? 2x ? a ? , x ? (0, ??) ,令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 , x x

2 当 a ? 4 时,因为 ? ? a ? 16 ? 0 ,所以 g ( x) ? 2 x 2 ? ax ? 2 一定有两个零点,

设为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,又因为 x1 x2 ? 1 ,所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 则 f ( x ) 在区间 (0, x1 ) 或 ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减, ???12 分

因为 g ( x1 ) ? 2x12 ? ax1 ? 2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? 2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 2ln x1 ? x12 ? 2 , 因为 0 ? x1 ? 1,所以 f ( x1 ) ? 2ln x1 ? x12 ? 2 ? 2ln1 ? x12 ? 2 ? 0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,又 f ( x) ? 2ln x ? x( x ? a) ,则 f (a) ? 2ln a ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上只有一个零点. ???16 分

附加题 2.一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,还有 3 个空位子,求: (1)至少有两人坐在一起,有多少种不同的坐法? (2)三个空位不都相邻,有多少种不同的坐法?
4 解 (1)利用间接法,没有限制的坐法 A4 7=840 种,其中 4 个人都不相邻的有 A4=24 种,故

至少有两个坐在一起,有 840-24=816(种)不同的坐法.
5 (2)利用间接法,没有限制的坐法 A4 7=840 种,其中三个空位都相邻的有 A5=120 种,故三

个空位不都相邻,有 840-120=720(种)不同的坐法.
3

10.( x 2 -

3 n ) 的展开式中各项的二项式系数之和为 256. x

(1)求展开式中各项系数之和; (2)求展开式中含 x6 的项; (3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
3

解 ( x2 -

3 n ) 的展开式中各项的二项式系数之和 2n=256?n=8. x

3 (1)令 x=1 得:各项系数和 S=(1- )8=256. 1 (2)设第 k+1 项为
12 =(-3)kCk 8x
-2k

Tk+1=Ck 8(

x )

3 2 8-k

-3 ( )k x

(0≤k≤8,且 k∈Z).

当 k=3 时,即为展开式中含 x6 的项:T4=-1512x6.

(3)设第 k+1 项展开式系数的绝对值为 3kCk 8最大,
k 1 k 1 ?3kCk C8 ? 8≥3 则? k k k+1 k+1 ? ?3 C8≥3 C8 ?
- -

?k≤ 4 ? 23 ?k≥ 4

27

?

23 27 ≤k≤ , 4 4

又 k∈N,所以 k=6.
6 所以系数绝对值最大的是第七项 T7=(-3)6C6 8=(-3) ×28=20412.

2 3 3.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之 3 4 间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概 率是多少? (3)设甲连续射击 3 次,用 ξ 表示甲击中目标时射击的次数,求 ξ 的均值 E(ξ).(结果可以用 分数表示) 解 (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1, 由题意,射击 3 次,相当于 3 次独立重复试验, 2 19 故 P(A1)=1-P( A1 )=1-( )3= . 3 27 19 答 甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为 . 27 (2)记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立, 1 3 1 1 3 3 1 1 3 故 P(A2)= × × × + × × × = . 4 4 4 4 4 4 4 4 64 3 答 乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 . 64 2 (3)方法一 根据题意 ξ 服从二项分布,E(ξ)=3× =2. 3 1 1 2 12 6 方法二 P(ξ=0)=C0 ( )3= ,P(ξ=1)=C1 ( )· ( )= , 3· 3· 3 27 3 3 27 2 1 1 12 2 10 8 P(ξ=2)=C2 ( )2· ( ) = ,P(ξ=3)=C3 ( )3· ( )= , 3· 3· 3 3 27 3 3 27 所以 ξ 的概率分布如下表: ξ P 0 1 27 1 6 27 2 12 27 3 8 27

1 6 12 8 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× =2. 27 27 27 27 4.求函数 y=ln (x+

1 ? x2

)的导数。

解: y? ? [ln(x ? x 2 ? 1)]? ?

1 x ? x ?1
2

( x ? x 2 ? 1)? ? 1

1 x ? x ?1
2

[1 ? ( x 2 ? 1)?] 1 x ?1
2

?

1 x ? x ?1
2

[1 ?

1 2 x ?1
2

( x 2 ? 1)?] ?

x ? x ?1
2

[1 ?

x x ?1
2

]?

.


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