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高中数学第二章空间向量与立体几何3.3空间向量运算的坐标表示课件北师大版选修2_1_图文

§3 向量 的坐 标表 示和 空间 向量 基本 定理 3.3 空间 向量 运算 的坐 标表 示 理解教材 新知 考点一 考点二 考点三 第 二 章 把握热点 考向 应用创新 演练 § 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.3 空间向量运算的坐标表示 2014 年 2 月,济青高速临沂段发生交通事故,一辆中型车 严重变形,驾驶员被困车内,消防官兵紧急破拆施救.为防止 救援造成的二次伤害,现从 3 个方向用力拉动驾驶室门,这 3 个力两两垂直,其大小分别为|F1|=300 N,|F2|=200 N,|F3|= 200 3 N. 问题 1:若以 F1,F2,F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴建立空间直角坐标系,驾驶室门受到的力的坐标是什么? 提示:(300,200,200 3). 问题 2:驾驶室门受到的合力有多大? 提示:|F|=500 N. 空间向量的坐标运算 若 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a+b= (x1+x2,y1+y2,z1+z2) ; (2)a-b= (x1-x2,y1-y2,z1-z2) ; (3)λa= (λx1,λy1,λz1) ; (4)a· b= x1x2+y1y2+z1z2 ; (5)a∥b?a=λb? x1=λx2 , y1=λy2 , z1=λz2 (λ∈R); (6)a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2+z1z2=0 ; 2 2 2 x + y + z 1 1 1 ; (7)|a|= a· a= x1x2+y1y2+z1z2 2 2 2 2 2 2 a· b x + y + z x + y + z 1 1 1 2 2 2 (8)cos〈a,b〉= = |a||b| . ??? ? 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB =(x2-x1,y2-y1, z2-z1). 1.空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标,数量积的 运算是实数. 2.利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平 行与垂直等问题. 空间向量的坐标运算 [例 1] 已知 a=(3,5, -4), b=(2,2,8), 求 2a+3b,3a-2b, a· b. 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、 [思路点拨] 减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标乘积的 和. [精解详析] 2a+3b=(6,10,-8)+(6,6,24)=(12,16,16), 3a-2b=(9,15,-12)-(4,4,16)=(5,11,-28), a· b=3×2+5×2-4×8=-16. [一点通] 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似,两个向 量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分 别进行加、减、数乘运算;空间两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积之和. 1.已知 a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么 向量 a-b+2c= A.(0,1,2) C.(-4,8,-5) B.(4,-5,5) D.(2,-5,4) ( ) 解析:a-b+2c=(1-1-2×2,0+2+6,-1-2-2)=(- 4,8,-5). 答案:C 2. 已知 A, B, C 三点的坐标分别为(2, -1,2), (4,5, -1), (-2,2,3), 求 P 点坐标,使 ? ??? ??? ? 1 ??? ? (1) OP = ( AB - AC ); 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? (2) AP = ( AB - AC ). 2 ??? ? ??? ? 解: AB =(2,6,-3), AC =(-4,3,1). ??? ? 1 ? ? 3 (1) OP = (6,3,-4)=?3,2,-2?, 2 ? ? 则P ? ? 3 点坐标为?3,2,-2?; ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? (2)设 P 为(x,y,z),则 AP =(x-2,y+1,z-2)= ( AB - AC )= 2 ? ? 3 ?3, ,-2?, 2 ? ? 1 所以 x=5,y= ,z=0, 2 即P ? ? 1 点坐标为?5,2,0?. ? ? 3.已知向量 a=(1,-2,4),求同时满足以下三个条件的向量 c: (1)a· c=0;(2)|c|=10;(3)c 与向量 b=(1,0,0)垂直. 解:设 c=(x,y,z), ?x-2y+4z=0, ? 2 2 2 由三个条件得?x +y +z =100, ?x=0, ? ?x=0, ? 解得?y=4 5, ? ?z=2 5 ?x=0, ? 或?y=-4 5, ? ?z=-2 5. ∴c=(0,4 5,2 5)或(0,-4 5,-2 5). 用坐标运算解决向量的平行与垂直问题 [例 2] 如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系.过 B 作 BM⊥AC1 于 M,求点 M 的坐标. [思路点拨] 写出 A,B,C1 的坐标,设出 M 的坐标,利用条件 BM⊥AC1 及 M 在 AC1 上建立方程组,求解. [精解详析] 法一:设 M(x,y,z),由图可知:A(a,0,0),B(a, ???? ? ???? ???? ? a,0),C1(0,a,a),则 AC1 =(-a,a,a), AM =(x-a,y,z),BM ???? ???? ???? ???? ? ? =(x-a,y-a,z).∵ BM ⊥ AC1 ,∴ BM · AC1 =0, ∴-a(x-a)+a(y-a)+az=0,即 x-y-z=0.① ? ???? ? ???? 又∵ AC1 ∥ AM ,∴x-a=-λa,y=λa,z=λa, 即 x=a-λa,y=λa,z=

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