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高考数学一轮复习专题09指数函数教学案理(数学教案)

专题 09 指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景; 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算; 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为 2,3, 1 1 10, , 的指数函数的图象;4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 2 3 1.根式的性质 (1)( a) =a. (2)当 n 为奇数时 a =a. 当 n 为偶数时 a ={a n n n n n n a -a a . 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:a =a·a·…·na (n∈N ). 个 ②零指数幂:a =1(a≠0). 1 -p * ③负整数指数幂:a = p(a≠0,p∈N ). 0 n * a ④正分数指数幂:a = a (a>0,m、n∈N ,且 n>1). m n n m * m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- = = n m a n n am (a>0,m、n∈N ,且 n>1). * ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a a =a r s r s r+s (a>0,r、s∈Q); ②(a ) =a (a>0,r、s∈Q); ③(ab) =a b (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 r r r rs -1- y=ax a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 (1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; (5)当 x>0 时,0<y<1; 性质 x<0 时,0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数 x<0 时,y>1 (7) 在 ( -∞,+∞)上是减函 数 高频考点一 指数幂的运算 3 a3b2 ab2 1 4 例 1、化简:(1) b 1 2 ? 1 3 b 1 3 (a>0,b>0); (2) (- 1 27 ? 2 ? ) 3 +? 0.002 ? 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0 . 8 【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法 -2- 则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【方法规律】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法 则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 1 5 2 3 3 - 3 【 变 式 探 究 】 (1)[(0.064 ) - 2.5] 3 - π0 = 8 _______________________________. 1 ?2 (2)( ) · 4 - 8 答案 (1)0 (2) 5 1 4ab-1 - 1 2 =________. ?? 64 1 ? ? 5 ? 27? 3 ?? 4 ?3? 5 ?( ? 2 )? 3 -??3?3? 3 -1=5-3- ? 5 ? 2 ? 3 -? 解析 (1)原式=??? - 1 = ? ? ??10? ? ??2? ? ? ? 2 2 ?8? ?? ? ? ?? ? ? ???1000? ? ? 1=0. 2×4 ×a b (2)原式= 3 3 10a b 高频考点二 2 ? 2 3 2 3 2 ? 3 2 2 1 1 5 2 1 8 = . 5 指数函数的图象及应用 |x| 例 2、(1)函数 f(x)=1-e 的图象大致是( ) (2)若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. 解析 (1)f(x)=1-e 是偶函数,图象关于 y 轴对称, 又 e ≥1,∴f(x)的值域为(-∞,0], 因此排除 B、C、D,只有 A 满足. (2)曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2 +1 与直线 y -3x x |x| |x| x =b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 答案 (1)A (2) [-1,1] 【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意 分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【变式探究】 (1)定义运算 a⊕b=? ? ?a,a≤b, ?b,a>b, ? 则函数 f(x)=1⊕2 的图象是( x ) (2)方程 2 =2-x 的解的个数是________. 解析 (1)因为当 x≤0 时,2 ≤1;当 x>0 时,2 >1. 则 f(x)=1⊕2 =? x x x x ?2 ,x≤0, ? ? ?1,x>0, x 图象 A 满足. x (2)方程的解可看作函数 y=2 和 y=2-x 的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图 象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1 -4- 高频考点三 指数函数的图象和性质 ) 例 3、(1)下列各式比较大小正确的是( A.1.72.5>1.73B.0.6-1>0.62 C.0.8-0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 ?3? 5 ?2? 5 ?2? 5 (2)设 a=? ? ,b=? ? ,c=? ? ,则 a,b,c 的大小关系是________. ?5? ?5? ?5? 答案 (1)B (2)a

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