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《弹性力学》试题参考答案


《弹性力学》试题参考答案(答题时间:100 分钟)
) 一、填空题( 一、填空题(每小题 4 分) 1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中: 平衡微分方程 , 应力边界条件 。 2.一组可能的应力分量应满足: 平衡微分方程 3.等截面直杆扭转问题中, 2 截面内的扭矩 M 。 4. 平面问题的应力函数解法中, Airy 应力函数 ? 在边界上值的物理意义为 到任一点外力的矩 。 5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为: 边界上某一点 (基准点) ,相容方程(变形协调条件) 。

∫∫

D

?dxdy = M 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆

σ ij , j + X i = 0
二、简述题 二、简述题(每小题 6 分)

, ε ij = 1 (u i , j + u j ,i ) 。

2

1.试简述力学中的圣维南原理,并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理:如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力(主矢与主矩 相同) ,则近处的应力分布将有显著的改变,但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用: (1)将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。 (2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2.图示两楔形体,试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数 ? 的分离变量形式。

题二(2)图 (a) ?

? ? ( x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 2 ?? ( r, θ ) = r f (θ )

(b) ?

? ? ( x, y) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 3 ?? ( r, θ ) = r f (θ )

3.图示矩形弹性薄板,沿对角线方向作用一对拉力 P,板的几何尺寸如图,材料的弹性模量 E、泊松 比 ? 已知。试求薄板面积的改变量 ?S 。

1

题二(3)图 设当各边界受均布压力 q 时,两力作用点的相对位移为 ?l 。由 ε = 1 (1 ? ? ) q 得,

E

q a 2 + b2 ?l = ε a + b = (1 ? ? ) E
2 2

设板在力 P 作用下的面积改变为 ?S ,由功的互等定理有:

q ? ?S = P ? ?l
将 ?l 代入得:

?S =

1? ? P a2 + b2 E

显然, ?S 与板的形状无关,仅与 E、 ? 、l 有关。 4.图示曲杆,在 r = b 边界上作用有均布拉应力 q,在自由端作用有水平集中力 P。试写出其边界条 件(除固定端外) 。

题二(4)图 (1) σ r (2) σ r (3)
b r =b

= q, = 0,

τ rθ τ rθ

r =b

= 0; =0

r =a

r =a

∫a σ θ dr = ? P cos θ ∫a σ θ rdr = ? P cosθ
b

∫a τ rθ dr = P sinθ
a +b 2

b

5.试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思 想,并指出各自的适用性 Love、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想: (1)变求多个位移函数 u ( x, y ), v( x, y), w( x, y) 或 u r (r ,θ ), uθ (r, θ ) 为求一些特殊函数,如调和函 数、重调和函数。 (2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数) 。 适用性:Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题; Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。 三、计算题
2

1. 图示半无限平面体在边界上受有两等值反向, 间距为 d 的集中力作用, 单位宽度上集中力的值为 P, 设间 距 d 很小 。试求 其应力 分量, 并讨论 所求解 的适用 范围 。 提 示:取 应力函 数为 (

? = A sin 2θ + Bθ )

(13 分)

题三(1)图 解:∵ d 很小,∴ M = Pd ,可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。 将应力函数 ? (r, θ ) 代入,可求得应力分量:

?? 1 ? 2? σr = 1 + = ? 4 A sin 2θ ; r ?r r 2 ?θ 2 r2 ? ?? ? 1 τ rθ = ? ? ? 1 (2 A cos 2θ + B ) ?= ?r ? r ?θ ? r 2
边界条件: (1)σ θ
θ =0 r ≠0

σθ =

? 2? = 0; ?r 2

= 0, τ rθ

θ =0 r ≠0

= 0;

σθ

θ =π r ≠0

= 0, τ rθ

θ =π r ≠0

=0

代入应力分量式,有

1 (2 A + B) = 0 r2



2A + B = 0

(1)

(2)取一半径为 r 的半圆为脱离体,边界上受有:σ r ,τ rθ ,和 M = Pd 由该脱离体的平衡,得


将τ rθ 代入并积分,有

π 2 ?π 2

τ rθ r 2 dθ + M = 0


π
?

π 2 ?π 2

1 (2 A cos 2θ + B )r 2 dθ + M = 0 r2
得 Bπ + M = 0 (2)

A sin 2θ + B 2π + M = 0
2

联立式(1)(2)求得: 、

B = ? M = ? Pd , A = Pd π π 2π
代入应力分量式,得
3

2 σ r == ? 2 Pd sin 22θ ; σ θ = 0 ; τ rθ = ? 2 Pd sin 2 θ 。 π π r r

结果的适用性:由于在原点附近应用了圣维南原理,故此结果在原点附近误差较大,离原点较远 处可适用。 2.图示悬臂梁,受三角形分布载荷作用,若梁的正应力σ x 由材料力学公式给出,试由平衡微分方程 求出τ xy , σ y ,并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。 (12 分)

题三(2)图 解: (1)求横截面上正应力 σ x 任意截面的弯矩为 M = ?
3 q0 3 x ,截面惯性矩为 I = h ,由材料力学计算公式有 6l 12

σx =
(2)由平衡微分方程求 τ xy 、 σ y

2q 0 My = ? 3 x3 y I lh

(1)

平衡微分方程:

? ?σ x ?τ xy ? ?x + ?y + X = 0 ? ? ?τ ?σ y ? yx + +Y = 0 ? ?y ? ?x

(2) (3)

其中, X = 0, Y = 0 。将式(1)代入式(2) ,有

?τ xy 6 q0 2 = 3 x y ?y lh
积分上式,得

τ xy =
利用边界条件: τ xy
y =± h 2

3q 0 2 2 x y + f1 ( x ) lh 3

= 0 ,有 3q 0 2 2 x h 4lh 3

3q 0 2 2 x h + f 1 ( x) = 0 4lh 3



f 1 ( x) = ?

4

τ xy =
将式(4)代入式(3) ,有

3q 0 2 2 1 2 x (y ? h ) 4 lh 3

(4)

?σ y 6 q0 x( y 2 ? 1 h 2 ) + =0 3 4 ?y lh
积分得



?σ y 6 q0 = ? 3 x( y 2 ? 1 h 2 ) ?y 4 lh

σy =?
利用边界条件:

6q 0 y3 1 2 x( ? h y ) + f 2 ( x) 3 4 lh 3

σy
得:

y =? h 2

=?

q0 x ,σ y l

y =+ h 2

=0

3 q ? 6q 0 ? 3 x( ? h + 1 h 3 ) + f 2 ( x) = ? 0 x ? lh 24 8 l ? 6q 3 0 ?? 3 x ( h ? 1 h 3 ) + f 2 ( x ) = 0 24 8 ? lh

由第二式,得

f2 (x) = ?
将其代入第一式,得

q0 x 2l
自然成立。

?

q0 q q x? 0 x=? 0 x 2l 2l l

将 f 2 ( x) 代入 σ y 的表达式,有

σy =?
所求应力分量的结果:

6q0 y 3 1 2 q0 3 x( 3 ? 4 h y) ? 2l x lh

(5)

σx =

2q 0 My = ? 3 x3 y I lh 3q 0 2 2 1 2 x (y ? h ) 4 lh 3 6q0 y 3 1 2 q0 3 x( 3 ? 4 h y) ? 2l x lh
(6)

τ xy =

σy =?
校核梁端部的边界条件: (1)梁左端的边界(x = 0) :

5


h 2 h ? 2 h 2 h ? 2

h 2 h ? 2

h

σx

dy = 0 , ∫ 2h τ xy x =0
? 2

x =0

dy = 0

代入后可见:自然满足。

(2)梁右端的边界(x = l) :

∫ ∫ ∫

σx

x =l

dy = ∫

h 2 h ? 2 h

2 q0 x 3 ? y dy = 0 lh3 x =l 3q 0 x 2
2 ql ( y 2 ? h ) dy = 0 4 x =l 2

τ xy

dy = ∫ 2h x =l
? 2

lh

3

h h 2 ?h 2

σx

x =l

ydy = ∫

h 2 ?h 2

2q x3 ? 03 y 2 lh

2 2q l 3 q l2 dy = ? 0 3 y 3 = ? 0 = M 6 3lh x =l ?h 2

可见,所有边界条件均满足。 检验应力分量σ x ,τ xy , σ y 是否满足应力相容方程: 常体力下的应力相容方程为
2 2 ? 2 (σ x + σ y ) = ( ? 2 + ? 2 )(σ x + σ y ) = 0 ?x ?y

将应力分量 σ x , τ xy , σ y 式(6)代入应力相容方程,有

? 2 (σ + σ ) = ? 12 q0 xy , ? 2 (σ + σ ) = ? 12q0 xy y y ?x 2 x lh3 ?y 2 x lh3
2 2 24q ? 2 (σ x + σ y ) = ( ? 2 + ? 2 )(σ x + σ y ) = ? 3 0 xy ≠ 0 ?x ?y lh

显然,应力分量 σ x ,τ xy , σ y 不满足应力相容方程,因而式(6)并不是该该问题的正确解。 3.一端固定,另一端弹性支承的梁, 其跨度为 l,抗弯刚度 EI 为常数,梁端支承弹簧的刚度系数为 k。 梁受有均匀分布载荷 q 作用,如图所示。试: (1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数 w ( x) ; (2)用最小势能原理或 Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解(取 1 项待定系数) 。 (13 分)

题二(3)图

6

解:两种形式的梁挠度试函数可取为

w( x) = x 2 ( A1 + A2 x + A3 x 2 + ??)
n

—— 多项式函数形式

w( x) = ∑ Am (1 ? cos
m=1

2 mπ x ) l

—— 三角函数形式

此时有:

w( x) = x 2 ( A1 + A 2 x + A3 x 2 + ??) x =0 = 0 w ′( x) = 2 x ( A1 + A 2 x + A3 x 2 + ??) + x 2 ( A 2 + A 3 x + ??) x =0 = 0
n

w( x) = ∑ Am (1 ? cos
m=1 n

2mπ x ) =0 l x =0 =0
x =0

w ′( x) = ∑ A m
m=1

l 2mπ x sin 2mπ l

即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为
l 1 l ? d 2w ? 1 Π = ∫ EI ? 2 ? dx ? ∫ qw( x) dx + k [w(l) ]2 ? dx ? 0 0 2 2 ? ?
2

取: w ( x) = A1 x 2 ,有

d 2w = 2 A1 , w(l ) = A1l 2 2 dx
代入总势能计算式,有
l 1 l 1 EI (2 A1 ) 2 dx ? ∫ qx 2 A1dx + k ( A1l 2 ) 2 ∫0 0 2 2

Π=

= 2 EIlA12 ?
由 δΠ = 0 ,有

qA1 3 1 2 4 l + kA1 l 3 2 q 3 l =0 3

4 EIlA1 + kA1l 4 ?

q0 l 3 A1 = 3( 4EIl + kl 4 )
代入梁的挠度试函数表达式,得一次近似解为

w ( x) =

q0l 3 x2 4 3(4 EIl + kl )

4. 已知受力物体内某一点的应力分量为: σ x = 0 , σ y = 2MPa , σ z = 1MPa , τ xy = 1MPa , τ yz = 0 ,
7

τ zx = 2 MPa , 试 求 经 过 该 点 的 平 面 x + 3 y + z = 1 上 的 正 应 力 。
(12 分)

解:由平面方程 x + 3 y + z = 1 ,得其法线方向单位矢量的方向余弦为

l=

1 12 + 3 2 + 12

=

1 11

,m =

3 12 + 32 + 12

=

3 11

,n =

1 12 + 3 2 + 12

=

1 11

?0 1 2? ?l ? ?1? ?1 2 0? , {L} = ?m? = 1 ?3? σ ij = ? ? ? ? ? ? 11 ? ? ?n ? ?2 0 1 ? ? ? ? ? ?1?

σN

?0 1 2 ??1? 1 = [L ] [σ ][L] = [1 3 1]?1 2 0 ??3? 1 ? ?? ? 11 11 ?2 0 1 ??1? ? ?? ?
T

?1? ? ? 1 29 = [5 7 3]?3? = = 2.64 MPa 11 11 ?1? ? ?

《弹性力学》课程考试试卷
学号: 题号 得分
考试时间:120 分钟 考试方式:开卷 任课教师:杨静 日期:2007 年 4 月 28 日

姓名: 一 二 三

工程领域: 建筑与土木工程 四 五 总分

一、简述题(40 分)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征,并指出两类平面问题中弹性常 数间的转换关系。 弹性力学问题按应力和位移求解,分别应满足什么方程? 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件? 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。 求解弹性力学问题时,为什么需要利用圣维南原理? 试叙述位移变分方程和最小势能原理,并指出他们与弹性力学基本方程的等价性? 试判断下列应变场是否为可能的应变场?(需写出判断过程)

ε x = C ( x 2 + y 2 ) , ε y = Cy 2 , γ xy = 2Cxy 。

8

8.

试写出应力边界条件: (1) a )图用极坐标形式写出; ( (2) b )图用直角坐标形式写出。 (

P α

q O
y

O
h 2 γy

α
p

x x θ
r x

h

h y

( a )图

( b)图

二、计算题(15 分)
已知受力物体中某点的应力分量为: σ x = 0 , σ y = 2a , σ z = a , τ xy = a , τ yz = 0 , τ zx = 2a 。 试求作用在过此点的平面 x + 3 y + z = 1 上的沿坐标轴方向的应力分量, 以及该平面上的正应力和 切应力。

三、计算题(15 分)
图示矩形截面悬臂梁,长为 l ,高为 h ,在左端面受力 P 作用。不计体力,试求梁的应力分量。 (试 取应力函数 ? = Axy 3 + Bxy )

P

O l

h x

四、计算题(15 分)

y

图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为 d 的集中力作用,单位宽度上集中力的值为

P , 设 间距 d 很 小 。试 求 其 应力 分 量 ,并 讨 论 所求 解 的 适用 范 围 。 试 取应 力 函 数 (

? = A sin 2θ + Bθ )

五、计算题(15 分)
如图所示的悬臂梁,其跨度为 l 。抗弯刚度为 EI ,在自由端受集中力 P 作用。试用最小势能原
9

理求最大挠度。 (设梁的挠度曲线 w = A (1 ? cos

πx )) 2l

P

《弹性力学》试题(答题时间:120 分钟)
班级 姓名 三 (1) (2) (3) (4) 学号

题号 得分 一、填空题( ) 一、填空题(每小题 4 分)





总 分

1.用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足: 2.弹性多连体问题的应力分量应满足 3.拉甫 (Love)位移 函数法适用 空间问题。 4.圣维南原理的基本要点有 5.有限差分法的基本思想为: 二、简述题 二、简述题(每小题 5 分) 1.试比较两类平面问题的特点,并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。 2.试就下列公式说明下列问题: (1)单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关; (2)多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。 , , , , , ,

。 。

空间问 题;伽辽金( Galerkin )位移 函数法适用于 。 。

? ′ ′ ′ ?σ x + σ y = 2 ? 1 ( z) + ?1 ( z ) = 4 Re ? 1 ( z) ? ′ ′ ?σ y ? σ x + 2iτ xy = 2[z? 1 ( z ) + ψ 1 ( z )] ? 1? ? m ? ?1 ( z) = ? ∑ ( X k + iY k ) ln( z ? z k ) + ? 1? ( z ) ? ? 8π k =1 ? m ?ψ 1 ( z ) = ? 3 ? ? ∑ ( X k ? iY k ) ln( z ? z k ) + ψ 1? ( z ) ? 8π k =1 ?
式中: ? 1 ( z ),ψ 1 ( z) 均为解析函数; ? 1? ( z),ψ 1? ( z ) 均为单值解析函数。

[

]

10

3.试列写图示半无限平面问题的边界条件。

τ

α

τ
θ

题二(3)图 4. 图示弹性薄板,作用一对拉力 P。试由功的互等定理证明:薄板的面积改变量 ?S 与板的形状无关, 仅与材料的弹性模量 E、泊松比 ? 、两力 P 作用点间的距离 l 有关。

题二(4)图 5.下面给出平面问题(单连通域)的一组应变分量,试判断它们是否可能。

ε x = C ( x 2 + y 2 ), ε y = Cy 2 , γ xy = 2Cxy 。
6.等截面直杆扭转问题的应力函数解法中,应力函数 ? ( x, y ) 应满足:

? 2? = ?2GK
式中:G 为剪切弹性模量;K 为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。 三、计算题 1. 图示无限大薄板, 在夹角为 90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力 q。 已知其应力函数为:

? = r 2 ( A cos 2θ + B )
不计体力,试求其应力分量。 (13 分)

θ
题三(1)图 2.图示矩形截面杆,长为 l,截面高为 h,宽为单位 1,受偏心拉力 N,偏心距为 e,不计杆的体力。

11

试 用 应 力 函 数 ? = Ay 3 + By 2 求 杆 的 应 力 分 量 , 并 与 材 料 力 学 结 果 比 较 。 (12 分)

题三(2)图 3.图示简支梁,其跨度为 l,抗弯刚度 EI 为常数,受有线性分布载荷 q 作用。试求: (1)用三角函数形式和多项式写出梁挠度(w)近似函数的表达式; (2)在上述梁挠度(w)近似函数中任选一种,用最小势能原理或 Ritz 法求梁挠度(w)的 近似解(取 2 项待定系数) 。 (13 分)

题三(3)图 4.图示微小四面体 OABC,OA = OB = OC,D 为 AB 的中点。设 O 点的应变张量为:

? 0.005 0 ? ? 0.01 ? ? 0.005 ε ij = ? 0.02 0.01 ? ? ? 0 0.01 ? 0.03? ? ?
试求 D 点处单位矢量 v、t 方向的线应变。 (12 分)

题三(4)图

12


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