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浙江省2013年高考模拟试卷 数学(理科)卷


1

浙江省 2013 年高考模拟试卷 数学(理科)卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.请考生按规定用笔 将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式 S ? 4πR 球的体积公式 V ?
2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 棱柱的体积公式 V=Sh 棱锥的体积公式 V=

P( AB) ? P( A) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p

1 Sh 3

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率: 棱台的体积公式:
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P)n ?k (k ? 0,2, ,n) 1, ?

V=

1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 【原创】1.设集合 A, B ,则 A ? B 是 A ? B ? B 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 2. 【原创】已知 i 为虚数单位,则 | (A) 0 (B) 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 3 ? i | =( i (C) 2i

) (D) ? 2i

?y ? 0 ? 3. 【原创】 已知实数 x, y 满足 ? y ? x ? 1 ? 0 ,若 z ? y ?ax 取得最大值时的唯一最优解是 ? y ? 2x ? 4 ? 0 ? (3,2) ,则实数 a 的值范围为 ( )
A.a<1 B.a<2 C. a>1 D. 0<a<1 4. 【根据 2011 宁波一模卷改编】下列命题中,错误的是( .. )

(A)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)如果平面 ? 垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (C)如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线 5. 执行如图所示的程序框图所表示的程序,则所得的结果为( A. 3 B. ? )

1 4

C. ?

4 3
1 / 14

D. ? 3 (第 5 题)

2

6. 【原创】将函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) 的图象向左平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长 6

到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得函数图象的一条对称轴是 A. x ?

?
3

B. x ?

?
6

C. x ? ?

D. x ?

?
2

? 7.设点 G 是 ?ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则 AG 的最小值是

(A)

3 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

3 4

8. 【2012 部分重点中学月考卷改编】设函数 f ( x) ? ax ?

x ( x ? 1) ,若 a 是从 0,1,2 三 x ?1

个数中任取一个, b 是从 1,2,3,4,5 五个数中任取一个,那么 f ( x) ? b 恒成立的概率 为 ( A. )

9 15

B.

7 15

C.

2 5

D.

1 2

x2 y2 9. 【2010 浙江省高考命题解析改编】双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点为 F1 , F2 ,P 是双曲线上 a b
2 2 2 一点,满足 | PF1 |?| F1 F2 | ,直线 PF 1 与圆 x ? y ? a 相切,则双曲线的离心率 e 为
? ?



) (A) 3 (B)

2 3 3

(C)

5 3

(D)

5 4

10 .

【 原 创 】 集 合 S ? {0,1,2,3,4,5} ,A 是 S 的 一 个 子 集 , 当 x ? A 时 , 若 有

x ? 1 ? A, 且 x ?1? A ,则称 x 为 A 的一个“孤立元素” ,那么 S 中无“孤立元素”的非空子
集有( )个 (A)16 (B)17 (C)18 (D)19

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 【原创】设 f (sin ? ? cos? ) ? sin 2? ,则 f ( ) 的值为 ▲
6

1 3

.

m? ? 2 12. 【原创】二项式 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数为 60,则实数 m 等于▲ . x? ?
13. 【2010 年杭二中月考卷改编】 一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积为 ▲ .

2 / 14

3

14. 【2011 年浙江省高考样卷改编】随机变量 ? 的分布列如下:其中 a,2b,

3 c 成等差数列,若 2

E? ?

1 ,则 D? 的值是 4



?
P

?1

0 b
x

1

a

c

15.2012 步步高改编】 【 已知函数 则实数 k 的取值范围是 ▲

x f ( x) ? {2 x?1,2 ?,0x?0 若函数 g ( x) ? 2 ? ? x

f ( x) ? k 有 3 个不零点,

.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,椭圆内一点 M 的坐标为(2, 16. 【原创】已知 F1 , F2 分别为椭圆 100 64
-6) 为椭圆上的一个动点,则 | PM | ? | PF2 | 的最大值是 ,P
3

▲ .

17. 【根据 2011 杭二模改编】已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1, x ? R, , A ? {x | t ? x ? t ? 1} ,

B ? {x || f ( x) |? 1} 集合 A ? B 只含有一个元素,则实数 t 的取值范围是

▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18 . 原 创 】 本 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 【 (

2 sin 2

B?C 1 7 ? cos 2 A ? 2 2 4

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值。

19. 【2012 浙江四校联考卷】 (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的 点,PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2
3 / 14

4

(I)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (II)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC, 试确定 t 的值

P

M D Q

C B

A

20 .【 2011 部 分 重 点 中 学 月 考 卷 改 编 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知

f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? 10( x ? 1) ,数列 {a n } 满足 (a n ?1 ? a n ) g (a n ) ? f (a n ) ? 0 , a1 ? 2 ,

bn ?

9 (n ? 2)( a n ? 1) 10

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 中最大项.

21.根据镇海中学 2011 月考卷改编】本题满分 15 分) 【 ( 如图, 已知直线 l1 : y ? 2 x ? m( m ? 0) 与抛物线 C1 : y ? ax ( a ? 0) 和圆 C 2 : x ? ( y ? 1) ? 5 都相切,
2 2 2

F 是 C1 的焦点.
(1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l ,直 线 l 交 y 轴于点 B , F ,B 以 AF 点 M 在一条定直线上; 为邻边作平行四边形 FAMB , 证明:

4 / 14

5

22.【瑞安中学 2011 期末卷】本题满分 15 分) k ?R , ( 设 函数 f ( x) ? e ? (1 ? x ? kx )( x ? 0) .
x 2

(Ⅰ)若 k ? 1 ,试求函数 f ( x) 的导函数 f ? (x) 的极小值; (Ⅱ)若对任意的 t ? 0 ,存在 s ? 0 ,使得当 x ? (0,s) 时,都有 f ( x ) ? tx ,求实数 k
2

的取值范围.

5 / 14

6

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分。把答案填在每题的横线上. 11. 12.

13.

14.

15.

16.

17. 三.解答题: 本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 得分 评卷人

19. (本小题满分 14 分) 得分
6 / 14

评卷人

P

7

20. (本小题满分 14 分) 得分 评卷人

19. (本小题满分 14 分) 得分
7 / 14

评卷人

A

8

21. (本小题满分 15 分) 得分 评卷人

8 / 14

9

22. (本小题满分 15 分) 得分 评卷人

9 / 14

10

2013 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: 本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,共 50 分. (1)C (6)C (2)B (7)B (3)A (8)B (4)D (9)B (5)C (10)A

二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,共 28 分. (11) ?

8 9

(12) ? 2 (16)30

(13)32

(14)

11 16

(15)0<k<1

(17)(0, 3 ? 1 )

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 解: (1)由 2 sin

B?C 1 7 ? cos 2 A ? 及 A ? B ? C ? ? ,得 2 2 4 7 2 2 [1 ? cos(B ? C )] ? 2 cos A ? 1 ? , ???3 分 2
2

即 4(1 ? cos A) ? 4 cos A ? 5
2

10 / 14

11

? 4 cos2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,
? cos A ? 1 ? ,A? 。 2 3

???5 分 ???7 分

(2)由余弦定理 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ,得 b 2 ? c 2 ? bc ? 3 ,???9 分 2bc

又? b ? c ? 2bc ,得 bc ? 3 ,
2 2

???12 分

所以 S ?ABC ?

1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 3 ? ? 2 2 2 4
3 3 4

所以 ?ABC 面积的最大值为 19. (本题满分 14 分) (1)由题意: (a n ?1

???14 分

? a n ) ? 10(a n ? 1) ? (a n ? 1) 2 ? 0
? 1)(10 an?1 ? 9an ? 1) ? 0
………3 分

经化简变形得: (an

? a n ? 1,
?10 an?1 ? 9a n ? 1 ? 0
变形得: ………5 分

a n ?1 ? 1 9 ? a n ? 1 10
9 为公比的等比数列。 10
?1
………7 分

所以 {a n ? 1} 是以 1 为首项,

9 ? 可求得: a n ? ? ? ? ? 10 ?

n ?1

(2) bn ?

9 由(1)可求得 (n ? 2)( a n ? 1) 10 9 ………9 分 ? bn ? (n ? 2)( ) n 10 9 ( ) n ?1 (n ? 3) bn ?1 9 n?3 得 n ? 7, ? ? 10 ? ? 1, 9 n bn 10 n ? 2 ( ) (n ? 2) 10

11 / 14

12

9 ( ) n (n ? 2) bn 9 n?2 ? ? 10 ? ? 1, 9 n ?1 bn ?1 10 n ? 1 ( ) (n ? 1) 10


得n ?8,

………12 分

? a 6 ? a 7 ? a8 ? a 9 ? ,

98 所以:n=7 或 n=8 时 b n 最大, b7 ? b8 ? 10 7
20. (本题满分 14 分) (I)∵AD // BC,BC=

………14 分

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ……………………5 分 (II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; Q(0,0,0) , P (0, 0, 3) ,

?

B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .
设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) , ∵ PM ? tMC ,

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

…………7 分

t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ∴ ? y ? 1? t ? ? z ? 3 ? t (? z) ? ? 3 ?z ? 1? t ?
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .

……………………10 分

??? ?

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

12 / 14

13

∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ t ? 3. 21. (本题满分 15 分)

? ?? n?m t 3 , cos30 ? ? ?? ? ? 2 2 n m 3? 0?t
?

……………………14 分

(1)由已知,圆 C 2 : x ? ( y ? 1) ? 5 的圆心(0,-1) ,
2 2

圆心到直线 l1 : y ? 2 x ? m 的距离 d ? 解得 m ? ?6 ( m ? 4 舍去) , 设 l1 与抛物线的相切点为 A0 ( x 0 , y 0 ) ,

|1? m | 22 ? 1

? 5,
………………3 分

1 1 1 2 1 , y 0 ? ,代入直线方程得: ? ? 6,? a ? , a a 6 a a 1 所以 m ? ?6 , a ? ………………6 分 6 1 2 3 1 2 (2)由(1)知抛物线 C1 方程为 y ? x ,焦点 F (0, ) ,设 A( x1 , x1 ) , 6 2 6 1 1 2 由(1)知以 A 为切线 l 的方程为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? x1 ,………………8 分 3 6 1 2 令 x ? 0 ,得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为(0, ? x1 ) , 6
得 2ax0 ? 2,即x0 ? 所以 FA ? ( x1 ,
?

1 2 3 ? 1 2 3 x1 ? ), FB ? (0,? x1 ? ), 6 2 6 2

………………10 分

?四边形 FAMB 是以 FA, FB 为邻边作平行四边形,
? FM ? FA? FB ? ( x1 ,?3)
因为 F 是定点,所以点 M 在定直线 y ? ? 22. (本小题满分15 分) 解: (Ⅰ)当 k ? 1 时,函数 f ( x) ? e ? (1 ? x ? x ) ,
x 2
? ? ?

………………13 分

3 x 上。 2

………………15 分

则 f ( x) 的导数 f ?( x) ? e ? (1 ? 2 x) , f ?( x) 的导数 f ??( x) ? e ? 2 .
x x

………………2 分

显然 f ??(ln 2) ? 0 ,当 0 ? x ? ln 2 时, f ??( x) ? 0 ;当 x ? ln 2 时, f ??( x) ? 0 , 从而 f ?( x) 在 (0, 2) 内递减,在 (ln 2, ?) 内递增. ln ? 故导数 f ?( x) 的极小值为 f ?(ln 2) ? 1? 2 ln 2 分 ( Ⅱ ) 解 法 1 : 对 任 意 的 ……………………4 分 ……………………6

t ?0









13 / 14

14

Ft ( x) ? f ( x) ? tx 2 ? e x ? ?1 ? x ? (k ? t ) x 2 ? ( x ? 0) , ? ?
根据题意,存在 s ? 0 ,使得当 x ? (0,s) 时, Ft ( x) ? 0 . 易得 Ft ( x) 的导数 Ft ?( x) ? e ? ?1 ? 2(k ? t ) x ? , Ft ?( x) 的导数 Ft ?? ( x ) ? e ? 2( k ? t ) ……9 分
x
x

①若 Ft?? (0) ? 0 ,因 Ft?? ( x ) 在 (0,s) 上递增,故当 x ? (0,s) 时, Ft?? ( x ) > Ft ?? (0) ≥0, 于是 Ft ?( x) 在 (0,s) 上递增,则当 x ? (0,s) 时, Ft ?( x) > Ft ?(0) ? 0 ,从而 Ft ( x) 在 (0,s) 上 递增,故当 x ? (0,s) 时, Ft ( x) ? Ft (0) ? 0 ,与已知矛盾 …………………………………… 11 分 ②若 Ft?? (0) ? 0 , 注意到 Ft?? ( x ) 在 [0,s) 上连续且递增, 故存在 s ? 0 , 使得当 x ? (0,s)

Ft?? ( x) ? 0 ,从而 Ft?( x) 在 (0,s) 上递减,于是当 x ? (0,s) 时, Ft?( x) ? Ft?(0) ? 0 ,
因此 Ft ( x) 在 (0,s) 上递减,故当 x ? (0,s) 时, Ft ( x ) ? Ft (0) ? 0 ,满足已知条件……13 分 综上所述,对任意的 t ? 0 ,都有 Ft?? (0) ? 0 ,即 1 ? 2(k ? t ) ? 0 ,亦即 k ? 再由 t 的任意性,得 k ?

1 ?t , 2

1 1 1 ,经检验 k ? 不满足条件,所以 k ? …………………15 分 2 2 2 f ( x) 解法 2:由题意知,对任意的 t ? 0 ,存在 s ? 0 ,使得当 x ? (0,s) 时,都有 2 ? t 成 x f ( x) ? 0 成立,则存在 s ? 0 ,使得当 x ? (0,s) 时, f ( x) ? 0 成立, x2

立,即

又 f (0) ? 0 ,则存在 s0 ? 0 ,使得当 x ? (0, s0 ) 时, f ( x) 为减函数,即当 x ? (0, s0 ) 时 使 f ?( x) ? e ? 1 ? 2kx ? 0 成立,
x

又 f ?(0) ? 0 ,故存在 s0 ? s ? 0 ,使得当 x ? (0,s) 时 f ?( x) 为减函数,

e 1 x ? . 则当 x ? (0,s) 时 f ?? ( x) ? 0 成立,即 e ? 2k ? 0 ,得 k ? 2 2

x

14 / 14


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