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圆锥曲线----极坐标与参数方程(导学案)


2014 届文数专题复习----极坐标与参数方程

圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程
【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化;2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互 化; 3、 会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决; 4、 掌握曲线的参数方程与普通 (直 角坐标)方程的互化;5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。

坐标系
一、知识要点 1. 对于极坐标系内任意一点 M ,用 ? 表示线段 OM 的长度,用 ? 表示从 Ox 到 OM 的角度,则

? 叫做点 M 的

, ? 叫做点 M 的 ,y =

,点 M 的极坐标是 , ?
2

。 , tan ? = 。

2. 极坐标与直角坐标的互化公式: x=

=

3. 特殊的圆的极坐标方程: ? ? r,? ? 2acos? , ? ? 2asin? , ? ? a cos ? ? b sin ? 4. 特殊的直线的极坐标方程: ?sin? ? a,? cos? ? a,? ? ? ( ? ? R), 二、例题与练习 1. 点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则 M 点的极坐标为( )

A.(2, ) 3

?

B.(2, ? ) 3

?

C.(2,

2? ) 3

D.(2, 2k? ? ), ( k ? Z ) 3
. .

?

2. 曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标方程为 3. 4.

? 在极坐标系中,过点 ? ? 2 2, ? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程是 4? ?
在极坐标系中,已知直线过点(1,0) ,且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为 则直线的极坐标方程为______________.

?

? , 3

π? 5. 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ? ? ? ? 。现以极点为原点,以极轴为 x 轴的正半 ? 6?

轴建立直角坐标系,则圆 C 的半径是 6.

,圆心的直角坐标是

。 .

极坐标内曲线 ? ? 2sin ? 的中心 O 与点 D ?1, ? ? 的距离为

7.
8.

在极坐标系中,点 A (1, ) 到直线 ? sin ? ? ?2 的距离是__ _ 4

?

_.

已知圆的极坐标方程 ? ? 2cos ? , 直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2? sin ? ? 7 ? 0 ,则圆心到直 线距离为 . ;

9. 极坐标系中,曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1相交于点 A, B ,则 AB =

-1-

2014 届文数专题复习----极坐标与参数方程

10. 在极坐标系中, 直线 ? ? ( ? ? R ) 与圆 ? ? 4cos? ? 4 3 sin ? 交于 A 、 则 AB ? B 两点,

π 3



? 2 上的动点,则M、N的最小距离是 11. 设M、N分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? s in(? ? ) ? 4 2
12. 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的圆心的极坐标是 的图形的交点的极坐标是 . ,它与方程 ? ?

π ( ? ? 0 )所表示 4

13. 已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3, ? ? 4 cos?( ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , 则曲线 C1 与 2

C 2 交点的极坐标为__
14. 极坐标系下,直线 ? cos( ? ?
π

___.

?
4
?

) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共点个数是_____.


? 15. 在极坐标系中,过点 A ? ? 4 , ? ? 引圆 ? ? 4sin ? 的一条切线,则切线长为 2 ?

参数方程
一、知识要点 1. 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ?

?x ? f (t), ? y ? g(t),

,并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫 做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 (相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 ) 2. 圆心为原点,半径为 r 的圆的参数方程是 圆的参数方程是
2 2 3. 椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的参数方程是 a b

;圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的

。 。 。

4. 过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程是

? x ? 2pt 2 , 5. 抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程可表示为: ? (t为参数) ? y ? 2pt.

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二、例题与练习

x ? cos? ? 1. 1. 曲线 C: ? ( ? 为参数)的普通方程为 ? ? y ? sin ? ? 1
x ? 2 cos? 2. 参数方程 ? ( ? 是参数)表示的曲线的普通方程是_________________. ? ? y ? 2 ? cos 2?
? x ? 2 ? 3t ( t 为参数)的倾斜角的正切值是 3. 直线 ? ? ? ? y ? 3 ? 4t



? x ? cos? ? 1, ? 4. 已知圆 C 的参数方程为 ? ( 为参数),则点 P?4, 4? 与圆 C 上的点的最远距离是 ? y ? sin ?

.

5. 已知动圆: 则圆心的轨迹是____ x 2 ? y 2 ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0 (a, b是正常数, a ? b,?是参数) ,
x ? ?2 6. 曲线 C1 :?x ? 1 ? cos? (?为参数) 上的点,到曲线 C 2 :? ? ?

? ? y ? sin ?

1 2? t 上的点的最短距离为 2 (t为参数) ? 1 ? y ? 1? t ? ? 2



7. 直线 ?

? x ? ?2 ? t 2 2 (t为参数) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦长为 ? y ? 1? t



8. 极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, C1 : ? cos(? ? ? ) ? 2 2 4
? x ? 4u 2 与线 C2 : ? (参数 u ? R ) 交于 A 、B 两点.写出 ?OAB 的外接圆的标准方程 ? y ? 4u

.

x ? 3 ? 4cos ? , 9. 圆 C ? (? 为参数) 的圆心坐标为 ? y ? ? 2 ? 4sin ? ?

,和圆 C 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆 C′

的普通方程是 10. 11.

. .

x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) 若直线 3x+4y+m=0 与圆 ? 没有公共点,则实数 m 的取值范围是 ? ? y ? ?2 ? sin ? ? x ? 2 cos? 在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,则圆 C 的普通方程为 ? y ? 2 ? 2 sin ?

_____ ____,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的圆心极坐标为_____. 12.
? x ? 2 cos ? ? 已知圆锥曲线 ? ( 是参数)和定点 A(0, 3 ),F1、F2 是圆锥曲线的左、右焦点, ? ? ? y ? 3 sin ?

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则直线 AF2 的极坐标方程为
2 2 ?2 2 13.设 a, b ? R, a ? 2b ? 6, 则a ? b 的最小值是 ( ) A.

. D. ?

5 3 B. ? 3

C. -3

7 2

-3-

2014 届文数专题复习----极坐标与参数方程

第十章
参考答案: 1.极径 极角 二、例题与练习 1. 2. 3. C

圆锥曲线------ 坐标系
y x

( ? ,? )

2. ? ? cos?

? ?s i n ?

x2 ? y2

x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

? cos? ? 2

4.

? 3 ? sin( ? ? ) ?
3 2
2

5. 6.

( 3, ?1)

2
2? 8 5 5 2 2

7.

8.

9. 10. 11. 12.

2 3
8

2 ?1
π? ? (1 , 0 ) ? 2 , ? 4? ?

13. 14. 15.

?? ? ? 2 3, ? 6? ?
1

4 2

-4-

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第十章
参考答案: 1. ?

圆锥曲线------参数方程

? x ? r cos? ( ? 是参数) ? y ? r sin ?

? x ? a ? r cos? ( ? 是参数) ? ? y ? b ? r sin ?

2. ?

? x ? a cos? ? y ? b sin ?

( ? 是参数, 0 ? ? ? 2? )

3. ?

? x ? x0 ? t cos ? ? y ? y0 ? t sin ?

( t 是参数)

二、例题与练习 1. (x-1)2+(y-1)2=1

2. y ? ?

x2 ?3 2

| x |? 2

3. 4.

?
6

4 3

5. 椭圆 6. 7. 1

82
2 2

8. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 40 9. (3,-2) 10. 11. 12. 13. (x+2)2+(y-3)2=16

(??,0) ? (10, ??)
. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

(2, ) 2

?

? sin ? ? 3? cos? ? 3
C

-5-


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