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2012年辽宁省高考理科数学试题word版含答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(供理科考生使用)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考 生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B= {2,4,5,6,8} , 则 (C U A ) ? (C U B ) 为 (A){5,8} 【答案】B 【解析一】因为全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} , 集 合 B= { 2,4,5,6,8 } 所 以 ,
( C U A ) ? ( C U B ) 为{7,9}。故选 C U A ? ?2 , 4 ,6 ,7 ,9?, C U B ? ?0 ,1,3,7 ,9?

(B){7,9}

(C){0,1,3}

(D){2,4,6}

,所以

B

【解析二】 集合 (C U A ) ? (C U B ) 为即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合

B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选 B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题。采用解 析二能够更快地得到答案。 (2)复数
? 2?i 3 4 (A) ? i 5 5 2?i

(B)

3 5

?

4 5

i

(C)

1?

4 5

i

(D)

1?

3 5

i

【答案】A 【解析】
2?i 2?i ? (2 ? i )(2 ? i ) (2 ? i )(2 ? i ) ? 3 ? 4i 5 ? 3 5 ? 4 5 i ,故选

A

【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题。复数的运 算要做到细心准确。 (3)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的是 (A) a∥b (C){0,1,3} 【答案】B 【解析一】由|a+b|=|a ? b|,平方可得 a ? b=0, 所以 a⊥b,故选 B (B) a⊥b (D)a+b=a ? b

【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a ? b|分别为 以向量 a, 为邻边的平行四边形的两条对角线的长, b 因为|a+b|=|a ? b|, 所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b,故选 B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关 系,属于容易题。解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向 量运算的几何意义来解。 (4)已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是

(A) (B) (C) (D)

? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0
? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0

? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0
? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

【答案】C 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又 (f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题。 (5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的 坐法种数为 (A)3×3! 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有
3! 种排法,三个家庭共有 3!? 3!? 3! ? (3!) 3 种排法;再把三个家庭进行全

(B) 3×(3!)3

(C)(3!)4

(D) 9!

排列有 3! 种排法。因此不同的坐法种数为 (3!) 4 ,答案为 C 【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能 力,属于中档题。 (6)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a 4 ? a8 案为 B
? 16,? s11 ? 11 ? ( a1 ? a11 ) 2 ? 88 ,答

(B)88

(C)143

(D)176

【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式、 性质及其前 n 项和公式, 同时考查运算求解能力,属于中档题。解答时利用等差数列的性质快 速又准确。 (7)已知 sin ? ? cos ? (A)
?1
? 2

, ? ? (0,π),则 tan ? = (B)
? 2 2

(C)

2 2

(D) 1

【答案】A 【解析一】? sin ? ? cos ?
? ? ? (0, ? ),? ? ? 3? 4 ? 2 ,? 2 sin(? ?

?
4

)?

2 ,? sin(? ?

?
4

) ?1

,? tan ? ? ? 1 ,故选
?

A
2

【解析二】? sin ? ? cos ?

2 ,? (sin ? ? cos ? ) ? 2,? sin 2? ? ? 1,

? ? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

3? 2

,? ? ?

3? 4

,? tan ? ? ? 1 ,故选

A

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数 的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中。 (8)设变量 x,y
? x ? y ? 10 ? 满足 ? 0 ? x ? y ? 20 , 则 2 x ? 3 y ? 0 ? y ? 15 ?

的最大值为

(A) 20 【答案】D

(B) 35

(C) 45

(D) 55

【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最 大值为 55,故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中。该类题通常可 以先作图, 找到最优解求出最值, 也可以直接求出可行域的顶点坐标, 代入目标函数进行验证确定出最值。

(9)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 (A) (C)
?1
3 2

(B)

2 3

(D) 4

【答案】D 【 解 析 】 根 据 程 序 框 图 可 计 算 得
s ? 4, i ? 1; s ? ? 1, i ? 2; s ? s? 3 2 2 3 , i ? 3;

, i ? 4; s ? 4, i ? 5, 由此可知

S 的值呈周期出现,其周期为 4,输出时

i?9

因此输出的值与 i ? 1 时相同,故选 D 【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运 算求解能力, 属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期(如果数值较少也可 直接算出结果) ,再根据周期确定最后的结果。

(10)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别 等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A) (D)
4 5 1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为(12 ? x )cm,那么矩 形的面积为 x (12 ? x ) cm2, 由 x (12 ? x ) ? 32 ,解得 x ? 4或 x ? 8 。又 0 ? x ? 1 2 ,所以该矩形面积小于

32cm2 的概率为 ,故选 C
3

2

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的 计算,以及分析问题的能力,属于中档题。 (11)设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] 时, f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x ) |, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [ ? 个数为 (A)5 (D)8 【答案】B
] 【解析】因为当 x ? [ 0 , 1 ]时,f(x)=x3. 所以当 x ? [1, 2时 , (2 x? [ 0 ,, ) 1]
1 3 , ] 上的零点 2 2

(B)6

(C)7

f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x)3, 当 x ? [0, 到函数
1 3 ] 时,g(x)=xcos (? x ) ;当 x ? [ , ] 时,g(x)= ? xcos (? x ) ,注意 2 2 2 1 3 g f(x)、g(x)都是偶函数, f(0)= g(0),f(1)= g(1), ( ) ? g ( ) ? 0 , 且 2 2 1

作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象, 函数 h(x)除了 0、 这两个零点之外, 1 分别在区间 [ ? 选B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转 化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合 思想,难度较大。 (12)若 x ? [0, ?? ) ,则下列不等式恒成立的是 (A) e x? 1 ? x ? x 2 (B)
1 1? x ? 1? 1 2 x? 1 4 x
2

1

1 1 3 , 0]、 [ 0, ]、 ,1]、, ] 上各有一个零点,共有 [ [1 2 2 2 2

6 个零点,故

(C) cos x…1 ? 【答案】C

1 2

x

2

(D) ln(1 ? x )…x ?

1 8

x

2

【解析】设 f ( x ) ? cos x ? (1 ? 所
g(

1 2

x ) ? cos x ? 1 ?
2

1 2

x

2

,则 g (x )
0

? ? f (x ) ? ? x ?x sin ,



g ?(

? x)

?

≥ ,o c x?
?
2

所 s
f (

以1 当
x)

x ? [0, ?? )
0 ) 0


,



为x ) 函 数 , 所 以 增

? ? g ( ≥ x)

g(

? 同理 f ( x )≥ f (0) ? 0, cos x ? (1 ?

1 2

x )≥ 0, cos x… ? 1 即

1 2

x

2

,故选 C

【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性 与最值来证明不等式, 考查转化思想、 推理论证能力、 以及运算能力, 难度较大。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要 求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ______________。

【答案】38

【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高 的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径 为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减 去圆柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1) ? 2? ? 1 ? 1 ? 2?
? 38

【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空 间想象能力、运算求解能力,属于容易题。本题解决的关键是根据三 视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计 算出表面积。 (14)已知等比数列{an}为递增数列,且 a52 列{an}的 通项公式 an =______________。 【答案】 2 n 【解析】? a52
? a10 ,? ( a1 q ) ? a1 q ,? a1 ? q ,? a n ? q ,
4 2 9 n

? a10 , 2( a n ? a n ? 2 ) ? 5 a n ?1 ,则数

? 2( a n ? a n ? 2 ) ? 5 a n ?1 ,? 2 a n (1 ? q ) ? 5 a n q ,? 2(1 ? q ) ? 5 q , 解 得 q ? 2 或 q ?
2 2

1 2

(舍 去 ) , an ? 2 ?

n

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能 力,属于中档题。 (15)已知 P,Q 为抛物线 x 2
? 2,过
? 2 y 上两点,点

P,Q 的横坐标分别为 4,

P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标

为__________。 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4,? 2,代人抛物线方程得 P,

Q 的纵坐标分别为 8,2. 由 x2
? 2 y, 则 y ? 1 2 x ,? y ? ? x , 所以过点
2

P,Q 的抛物线的切线的斜率分别

为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为
y ? 4 x ? 8, y ? ? 2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ? 4, 故点

A 的纵坐标为 ? 4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两 条直线的交点的求法,属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率, 从而把点的坐标与直线的斜率 联系到一起,这是写出切线方程的关键。 (16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 若 PA, PB, 两两互相垂直, PC 则球心到截面 ABC 的距离为________。 【答案】
3 3

3

的求面上,

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两 互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的 一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的 直径,球心为正方体对角线的中点。 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的 高。已知球的半径为
P ? ABC

3

,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥
2 3 3

在面 ABC 上的高为

,所以球心到截面 ABC 的距离为

3?

2 3 3

?

3 3

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象 能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该 题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把 三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成 等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案及解析】

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和 定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于

容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系, 也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。 (18)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A / B / C / , ? BAC
AB ? AC ? ? AA , 点
/

? 90

?



M,N 分别为 A / B 和 B / C / 的中

点。 (Ⅰ)证明: M N ∥平面 A / ACC / ; (Ⅱ)若二面角 A / ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的 值。 【答案及解析】

【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借 助空间直角坐标系求平面的法向量的方法, 并利用法向量判定平面的 垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度 适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平 行来证明。 (19)(本小题满分 12 分)

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情 况,随机抽取了 100 名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观 众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” 。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为 “体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视 观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体 育迷”人数为 X。若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列, 期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) 。

附: ? 2

?

n ( n11 n 22 ? n12 n 21 ) n1? n 2 ? n ? 1 n ? 2

2

,

【答案及解析】

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散 型随机变量的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) ,考查分析解决问题的 能力、运算求解能力,难度适中。准确读取频率分布直方图中的数据 是解题的关键。

(20)(本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C 0 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ,a,b

为常数),

动圆 C1 : x 2 ? y 2 ? t12 , b ? t1 ? a 。点 A1 , A2 分别为 C 0 的左, 右顶点, C1 与 C 0 相交于 A,B,C,D 四点。 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆
b ? t ? a, 2 t1 ? t 2 。若矩形 ABCD 与矩形 A B C D
/ / / /

C 2 : x ? y ? t2
2 2

2

与 C0 相 交 于

A , B , C , D四 点 , 其 中
/ / / /

的面积相等,证明:t12 ? t 22 为定值。

【答案及解析】

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性 质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的 运用。 本题考查综合性较强, 运算量较大。 在求解点 M 的轨迹方程时,

要注意首先写出直线 AA 1 和直线 A 2 B 的方程,然后求解。属于中档题, 难度适中。

(21)(本小题满分 12 分) 设 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? 直线 y ?
3 2

x ? 1 ? ax ? b ( a , b ? R , a , b 为 常 数 ) ,曲线 y ? f ( x ) 与

x 在(0,0)点相切。

(Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? 【答案及解析】
9x x?6



【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调 性与最值中的运用。本题容易忽略函数 f ( x ) 的定义域,根据条件曲线
y ? f ( x ) 与直线 y ?

3 2

x 在(0,0)点相切,求出 a , b 的值,然后,利用函数 9x x?6

的单调性或者均值不等式证明 f ( x ) ?

即可。从近几年的高考命题

趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练。 本题属于中档题。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做 的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下 方的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙ O / 相交于 A , B 两点,过 A

作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E。证明 (Ⅰ) AC ? BD ? (Ⅱ)
AD ? AB ;

AC ? AE 。

【答案及解析】

【点评】本题主要考查圆的基本性质,等弧所对的圆周角相等,同时 结合三角形相似这一知识点考查.本题属于选讲部分,涉及到圆的性 质的运用,考查的主要思想方法为等量代换法,属于中低档题,难度 较小,从这几年的选讲部分命题趋势看,考查圆的基本性质的题目居 多,在练习时,要有所侧重. (23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程

在直角坐标 xO y 中,圆 C1 : x 2 ? y 2

? 4 ,圆 C 2 : ( x ? 2) ? y ? 4 。
2 2

(Ⅰ)在以 O 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, x 分别写出圆 并求出圆 C1 , C 2 的交点坐标(用极坐标表示); C 1 , C 2 的极坐标方程, (Ⅱ)求出 C1与 C 2 的公共弦的参数方程。 【答案及解析】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程 与参数方程的互化、极坐标系的组成.本题要注意圆 C1 : x 2 ? y 2 圆心为 ( 0 ,0 ) 半径为 r1
? 2 ,圆 C 2 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4
?4



的圆心为 ( 2 ,0 ) 半径为

r2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两圆的公共弦,可以先求

出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式 写出。 对于极坐标和参数方程的考查, 主要集中在常见曲线的考查上, 题目以中低档题为主. (24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知 f ( x ) ?| ax ? 1 | ( a ? R ) ,不等式 f ( x )? 3 的解集为 { x | ? 2剎 x? 1 } 。 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 |
x f ( x) ? 2 f ( ) | ? k 2

恒成立,求 k 的取值范围。

【答案及解析】

【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式 及其运用,考查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真 对 a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对 f ( x ) ? 2 f (
x 2 ) 的正负进行讨

论从而用分段函数表示,进而求出 k 的取值范围。本题属于中档题, 难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运 用。


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