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高二数学,人教A版选修1-1, 3.1.1&3.1.2,变化率问题导数的概念, 课件_图文

3.1 变化率与导数 3.1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念 平均变化率 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示的平面直 角坐标系.A 是出发点,H 是山顶.爬山路线用函数 y=f(x)表示. 自变量 x 表示某旅游者的水平位置,函数值 y=f(x)表示此时旅 游者所在的高度.设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2). 问题 1:若旅游者从点 A 爬到点 B,且这段山路是平直的,自 变量 x 和函数值 y 的改变量 Δx,Δy 分别是多少? 提示:自变量 x 的改变量为 Δx=x2-x1,函数值的改变量 为 Δy=y2-y1. 问题 2:Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度? 提示:不能. 问题 3:怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢? Δy y2-y1 提示:对山坡 AB 来说, = 可近似地刻画. Δx x2-x1 Δy 问题 4:能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么? Δx Δy 提示:因 表示 A,B 两点所在直线的斜率 k,显然,“线段” Δx 所在直线的斜率越大,山路越陡.这就是说,竖直位移与水平位移 Δy 之比 越大,山路越陡;反之,山路越缓. Δx Δy 问题 5:从点 A 到点 B 和从点 A 到点 C,两者的 相同吗? Δx 提示:不相同. [导入新知] 函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1,x2,当自变量 x 从 f?x2?-f?x1? x2-x1 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),我们把式子____________ 称 为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. x2-x1,可把 Δx 看作是相对 习惯上用 Δx 表示 x2-x1,即 Δx=______ f(x2)- 于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δx 代替 x2.类似地,Δy=_______ Δy f(x1) .于是,平均变化率可表示为_____ Δx . [化解疑难] 1.正确理解增量 Δx 与 Δy Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量,不是 Δ 与 x 的乘积,Δx 的值 可正,可负,但不能为 0.Δy 是函数值的改变量,可正,可负,也可 以是 0.函数的平均变化率为 0,并不一定说明函数 f(x)没有变化. 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是 平均变化率的“视觉化”.利用平均变化率的大小可以刻画变量平 均变化的趋势和快慢程度. 导数的概念 [提出问题] 一质点的运动方程为 s=8-3t2,其中 s 表示位移,t 表示时间. 问题 1:试求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度. 2 2 Δs 8-3?1+Δt? -8+3×1 提示: = =-6-3Δt. Δt Δt 问题 2: 当 Δt 趋近于 0 时, “问题 1”中的平均速度趋近于什么? 如何理解这一速度? Δs 提示:当 Δt 趋近于 0 时, 趋近于-6.这时的平均速度即 Δt 为 t=1 时的瞬时速度. [导入新知] 1.瞬时速度的概念 物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度: 设物体运动的路程与时间的关系是 s=s(t),当 Δt 趋近于 0 时, s?t0+Δt?-s?t0? Δt 函数 s(t)在 t0 到 t0+Δt 之间的平均变化率 趋近于一 个常数,把这个常数称为瞬时速度. 2.导数的定义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率: lim Δy = lim Δx→0 Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? Δx ,我们称它为函数 y=f(x) Δy lim , 即 f′(x0)=Δx→0 Δx 在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′| x=x0 lim =Δ x→0 f?x0+Δx?-f?x0? Δx . [化解疑难] 导数概念的理解 (1)导数是一个局部概念, 它只与函数 y=f(x)在 x=x0 处及其 附近的函数值有关,与 Δx 无关. (2)f′(x0) 是一个常数,即当 Δx→0 时,存在一个常数与 f?x0+Δx?-f?x0? 无限接近. Δx 求函数的平均变化率 [例 1] 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变 化率,并求当 x0=2,Δx=0.1 时平均变化率的值. [解] 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化 f?x0+Δx?-f?x0? 率为 ?x0+Δx?-x0 2 [3?x0+Δx?2+2]-?3x0 +2? 6x0·Δx+3?Δx?2 = = =6x0+3Δx. Δx Δx 当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1 =12.3. [类题通法] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解, 解题的关键是弄 清自变量的增量 Δx 与函数值的增量 Δy.求平均变化率的主要步骤 是: (1)计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1). (2)计算自变量的改变量 Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率 = . Δx x2-x1 [活学活用] 1 已知函数 f(x)=x+x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. f?2?-f?1? 解析: 自变量 x 从 1 变到 2 时, 函数 f(x)的平均变化率为 2-1 1 2+ -?1+1? 2 1 = = ; 1 2 f?5?-f?3? 自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 = 5-3 1 1 5+ -?3+ ? 5 3 14 = . 2 15 1 14 1 因为 < ,所以函数 f(x)=x+x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值 2 15 变

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