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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:选修4-1 几何证明选讲_图文

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高考定位 1.几何证明选讲内容主要是相似三角形的判定定理和 性质定理、平行线截割定理、三角形射影定理以及圆周角定 理、圆的切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理

等.2.主要考查:(1)利用三角形相似或圆中的切割线定理证明比
例关系;(2)三角形或圆中的角度与长度的求解问题.

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[真题感悟] 1.(2014· 广东卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上 △CDF的周长 且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F, 则 =________. △AEF的周长

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解析 易证△AEF∽△CDF,且 3AE=CD, △CDF的周长 CD ∴ = =3. △AEF的周长 AE
答案 3

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2.(2014·湖北卷)如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切
线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两 点.若QC=1,CD=3,则PB=________.

解析

由题意QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,∴QA=2,PA

=4,∵PA=PB,∴PB=4.
答案 4

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3. (2014· 湖南卷)如图, 已知 AB, BC 是⊙O 的两条弦, AO⊥BC, AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________.

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解析

连接 OB,设 OA 与 BC 的交点为 D,半径为 R,则 OD=

R-1,在 Rt△OBD 中,

3 由勾股定理,得 R =2+(R-1) ,∴R=2. 3 答案 2
2 2

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4.(2014·重庆卷)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作 割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB =________.

解析 由切割线定理得 PA2=PB· PC=PB· (PB+BC),即 62= PB· (PB+9),解得 PB=3(负值舍去).由弦切角定理知∠PAB AB AP =∠PCA, 又∠APB=∠CPA, 故△APB∽△CPA, 则CA=CP, 6 AB 即8= ,解得 AB=4. 3+9
答案 4
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[考点整合]
1.(1)相似三角形的判定定理 判定定理 1 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个 角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相 似.

判定定理 2 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边
和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这 两个三角形相似. 判定定理 3 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条 边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形 相似.
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(2)相似三角形的性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比; ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理:直角三角形中,每一条直角边是这 条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项;斜边上的高是两

直角边在斜边上射影的比例中项.

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2.(1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3.(1)圆内接四边形的性质定理: ①圆的内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那

么这个四边形的四个顶点共圆.

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4.(1)圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线. (3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (4)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段 长的积相等. (5)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这

点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

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5.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出
的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换或 等比替换. 6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的 角,找相似三角形,从而得出线段的比.由于圆幂定理涉及 圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.

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热点一 相似三角形的判定及性质
【例1】 如图,BD、CE是△ABC对应边上的高. 求证:△ADE∽△ABC.

证明

∵BD、CE 是△ABC 的高,

∴∠ADB=∠AEC=90° .又∵∠A=∠A, AD AB ∴△ADB∽△AEC,∴ AE =AC. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
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规律方法

(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选

择判定定理,特别要注意对应角和对应边.

(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接
证明线段相等.

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【训练1】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,
F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M.若DB=9,则 BM=________.

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解析

∵E 是 AB 的中点,∴AB=2EB.

又∵AB=2CD,∴CD=EB. 又 AB∥CD,∴四边形 CBED 是平行四边形.
? ?∠DEM=∠BFM, ∴CB∥DE,∴? ? ?∠EDM=∠FBM,

DM DE ∴△EDM∽△FBM.∴ BM = BF . ∵F 是 BC 的中点,∴DE=2BF. 1 ∴DM=2BM,∴BM=3DB=3.

答案 3
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【例 2】 如图,已知圆上的弧 BA 的延长线交于 E 点. 证明:(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD.



,过 C 点的圆的切线与

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证明

(1)因为



,所以∠ABC=∠BCD.

又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 BE= BC ,即 BC2=BE· CD.

规律方法 在证明角或线段相等时,要注意等量代换.在证明

线段的乘积相等时,通常用三角形相似或圆的切割线定理.

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【训练 2】 如图, D , E 分别为△ ABC 边 AB , AC 的中点,直线
DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB. 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

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证明

(1) 如 图 , 因 为 D , E 分 别 为 AB , AC 的 中 点 , 所 以

DE∥BC. 又已知 CF∥AB ,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以

CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四
边形,故CD=AF. 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.

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(2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.

∴∠BGD=∠BDG,由BC=CD知,∠CBD=∠CDB.
又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD.

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热点二

“四定理”——相交弦定理、割线定理、切割线定理、

切线长定理的应用 【例 3】 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 为⊙ O 上的点, AC 是 ∠ BAF 的平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点, CM⊥AB,垂足为点M. 证明:(1)DC是⊙O的切线; (2)AM·MB=DF·DA.

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证明 (1)如图,连接OC,∵OA=OC, ∴ ∠ OCA = ∠ OAC. 又 ∵ AC 是 ∠ BAF 的 平 分 线 , ∴ ∠ DAC =

∠OAC.
∴∠DAC=∠OCA.∴AD∥OC. 又CD⊥AD,∴OC⊥CD, 即DC是⊙O的切线. (2)∵AC是∠BAF的平分线,∠CDA=∠CMA=90°,

∴CD=CM.
由(1)知DC2=DF·DA,又CM2=AM·MB, ∴AM·MB=DF·DA.
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规律方法 已知圆的切线时,第一要考虑过切点和圆心的连线 得直角;第二应考虑弦切角定理;第三涉及线段成比例或线段

的积时要考虑切割线定理.

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【训练3】 如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交
于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.

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证明 因为AE是圆的切线,

所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线, 所以∠BAD=∠CAD. 从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD. 因为∠ADE=∠ABC+∠BAD, ∠DAE=∠CAE+∠CAD, 所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED.

因为EA是圆的切线,
所以由切割线定理知,EA2=EC·EB. 而EA=ED,所以ED2=EC·EB.
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热点三 四点共圆的判定
【例4】 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H, ∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.证明:(1)B、D、H、E四 点共圆; (2)EC平分∠DEF.

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证明
120°.

(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=

因为AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°,

所以B、D、H、E四点共圆.

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(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,
得∠HBD=30°. 由(1)知B、D、H、E四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°, 由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°. 所以EC平分∠DEF.

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规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆;

(2)如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共
圆;(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边 形的四个顶点共圆.

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【训练 4】 如图所示,已知 AP 是⊙ O 的切线, P 为切点, AC 是
⊙ O 的割线,与⊙ O 交于 B 、 C 两点,圆心 O 在∠ PAC 的内 部,点M是BC的中点. (1)证明:A,P,O,M四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM的大小.

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(1)证明 连接OP、OM,
∵AP与⊙O相切于P,∴OP⊥AP, 又∵M是⊙O的弦BC的中点, ∴OM⊥BC, 于是∠OMA+∠OPA=180°, 由圆心O在∠PAC的内部, 可知四边形APOM的对角互补,

∴A,P,O,M四点共圆.

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(2)解

由(1)得A,P,O,M四点共圆,可知∠OAM=∠OPM,

又∵OP⊥AP,由圆心在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM= 90°,

∴∠OAM+∠APM=90°.

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