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常用逻辑用语测试题(含答案)

《常用逻辑用语》单元测试题
一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) : 1.命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( ) A.p 或 q B.p 且 q C.非 p

D.简单命题 )

2.若命题 p:2n-1 是奇数,q:2n+1 是偶数, n ? Z 则下列说法中正确的是( A.p 或 q 为真 B.p 且 q 为真 C. 非 p 为真 D. 非 q 为假 ) 3.对命题 p:A∩ ? = ? ,命题 q:A∪ ? =A,下列说法正确的是( A.p 且 q 为假 B.p 或 q 为假? ) C.非 p 为真

D.非 p 为假

4.“至多四个”的否定为(

A.至少有四个 B.至少有五个 C.有四个 D.有五个 5.下列存在性命题中,假命题是( ) A. ? x∈Z,x2-2x-3=0 B.至少有一个 x∈Z,x 能被 2 和 3 整除 C.存在两个相交平面垂直于同一条直线 D. ? x∈{x 是无理数} 2 是有理数 ,x 6.A、B、C 三个命题,如果 A 是 B 的充要条件,C 是 B 的充分不必要条件,则 C 是 A 的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.下列命题: ①至少有一个 x 使 x2+2x+1=0 成立; ②对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 成立; ③对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 不成立; ④存在 x 使 x2+2x+1=0 成立; 其中是全称命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 8.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定( ) A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被 5 整除 9.使四边形为菱形的充分条件是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线垂直平分 10.给出命题: ①?x∈R, x3<1; ②?x∈Q, x2=2; ③?x∈N, x3>x2; 使 使 有 其中的真命题是( ) ④?x∈R, x2+1>0. 有

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,共 25 分) : 11.由命题 p:“矩形有外接圆”,q:“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或 q”“p 且 q”“非 p” 形式的命题中真命题是__________. 12.命题“不等式 x2+x-6>0 的解是 x<-3 或 x>2”的逆否命题是__________.
? 13.已知:对 ?x ? R , a ? x ?

1 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. x

14.命题“?x∈R,x2-x+3>0”的否定是__________. 15.设 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},写出 B A 的一个充分不必要条件__________. 三、解答题(共 6 大题,共 75 分) : 16(12 分) .写出下列命题的非命题 (1)p:方程 x2-x-6=0 的解是 x=3; (2)q:四边相等的四边形是正方形; (3)r:不论 m 取何实数,方程 x2+x+m=0 必有实数根; (4)s:存在一个实数 x,使得 x2+x+1≤0.

17(12 分) .为使命题 p(x): 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x 为真,求 x 的取值范围。

18(12 分) .已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无 实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围.

19(12 分) .已知集合 M ? {x | x ? 3或x ? 5} , P ? {x | ( x ? a)(x ? 8) ? 0} . (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个充分但不必要条件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个必要但不充分条件.

20(13 分) .已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a ? b ? ab ? a ? b ? 0
3 3 2 2

21(14 分) .设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数 x 均成立, 则称 f(x)为 F 函数.给出下列函数: ①f(x)=0;②f(x)=2x;③f(x)= 2 (sin x ? cos x) ; ④ f ( x ) ? 你认为上述四个函数中,哪几个是 F 函数,请说明理由.

x . x ? x ?1
2

《常用逻辑用语》单元测试题
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.D 10.A 14.?x∈R,x2-x+3≤0 11.p 或 q 12.若 x ? ?3且x ? 2 ,则 x2+x-6 ? 0 13. a ? 2 15. m=0。 16. (1)?p:方程 x2-x-6=0 的解不是 x=3; (2)?q:四边相等的四边形不是正方形; (3)?r:存在实数 m,使得方程 x2+x+m=0 没有实数根; (4)?s:对所有实数 x,都有 x2+x+1>0; 17. 1 ? sin 2 x ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ?

(sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x
2

命题 p 等价于: sin x ? cos x ? 0 ,即 x ? 2k? ?

? ? ?

?
4

, 2 k? ?

5? ?

,k ?Z 4 ? ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 18.若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,则 ? 解得 m>2 ?m ? 0
即 p:m>2? 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真,又“p 且 q”为假,所以 p、q 至少有一为假, 因此,p、q 两命题应一真一假,即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真.? ∴?

?m ? 2 ?m ? 2 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得:m≥3 或 1<m≤2.? 19.略 20.证明:必要性:

? a ? b ? 1,即b ? 1 ? a, ? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? a 3 ? ?1 ? a ? ? a?1 ? a ? ? a 2 ? ?1 ? a ? ? .... ? 0
3 2
3 3 2 2 充分性:? a ? b ? ab ? a ? b ? 0

?a ? b ??a 2 ? ab ? b 2 ? ? ?a 2 ? ab ? b 2 ? ? 0 ?a 2 ? ab ? b 2 ??a ? b ? 1? ? 0.
即 又ab ? 0, 即a ? 0, 且b ? 0,

b? 3b 2 ? a ? ab ? b ? ? a ? ? ? ? 0, 只有a ? b ? 1. 2? 4 ? 综上可知,当ab ? 0, a ? b ? 1的充要条件是 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0 a
2 2

2

21. 对于①,显然 m 是任意正数时都有0≤m|x|,f(x)=0 是 F 函数;

对于②,显然 m≥2 时,都有|2x |≤m|x|,f(x)= 2x 是 F 函数; 对于③,当 x=0时,|f(0)|= 2 ,不可能有|f(0)| ≤m|0|=0 故 f(x)= 2 (sin x ? cos x) 不是 F 函数; 对于④,要使|f(x)|≤m|x|成立,即

x x ? x ?1
2

?m x

当 x=0时,m 可取任意正数;当 x≠0时,只须 m≥

1 x ? x ?1
2

的最大值;

3 3 4 ? ,所以 m≥ 4 4 3 4 x 因此,当 m≥ 时, f ( x ) ? 2 是 F 函数; 3 x ? x ?1
2 因为 x2+x+1= ( x ? ) ?

1 2


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