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第六章 第二节 算术平均数与几何平均数


100 第六章

第二节

算术平均数与几何平均数

题组一 1.设 x、y 均为正实数,且 A.4 C.9 解析:由

利用均值不等式求最值 ( )

3 3 + =1,则 xy 的最小值为 2+x 2+y B.4 3 D.16

3 3 + =1 可得 xy=8+x+y. 2+x 2+y

∵x,y 均为正实数, ∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 xy-2 xy-8≥0, 可解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 答案:D 1 1 2.(2009· 天津高考)设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 C.1 B.4 1 D. 4 )

解析:∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项,∴( 3)2=3a·b. 3 即 3=3a b,∴a+b=1. 1 1 a+b a+b b a 1 此时 + = + =2+( + )≥2+2=4(当且仅当 a=b= 取等号). a b a b a b 2 答案:B 1 a 3. 已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x, 恒成立, y 则正实数 a 的最小值为( x y A.8 C.4 1 a x y 解析:(x+y)( + )=1+a·+ +a x y y x ≥a+1+2 xy a··=a+2 yx a+1, B.6 D.2 )


x y 当且仅当 a·= 等号成立, y x 所以( a)2+2 a+1≥9, 即( a)2+2 a-8≥0,得 a≥2 或 a≤-4(舍),
1

所以 a≥4,即 a 的最小值为 4. 答案:C 4.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=ax 1+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过同一 1 1 个定点,则当 + 取最小值时,函数 f(x)的解析式是________. a b 1 1 1 1 1 1 3 + 解析:函数 f(x)=ax 1+1 的图象恒过(-1,2),故 a+b=1, + =( a+b)( + )= 2 a b 2 a b 2 b a 3 2 2 1 + + ≥ + 2.当且仅当 b= a 时取等号, b= a 代入 a+b=1 得 a=2 2- 将 a 2b 2 2 2 2 2,故 f(x)=(2 2-2)x 1+1. 答案:f(x)=(2 2-2)x 1+1
+ + +

题组二

利用均值不等式证明不等式 ( )

5.(2010· 佛山模拟)已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则 1 A.ab≤ 2 C.a2+b2≥2 1 B.ab≥ 2 D.a2+b2≤3

a+b a+b 2 解析:法一:由 ≥ ab得 ab≤( ) =1,又 a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2 2 2 ?a2+b2≥2. 法二:(特值法)取 a=0,b=2 满足 a+b=2,代入选项可排除 B、D.又取 a=b=1 满足 a+b=2.但 ab=1,可排除 A. 答案:C 6.设 a、b 是正实数, 以下不等式 2ab ① ab> ②a>|a-b|-b a+b 2 ③a2+b2>4ab-3b2 ④ab+ >2 恒成立的序号为 ab ( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ )

2 ab 2ab 解析:∵a、b 是正实数,∴①a+b≥2 ab?1≥ ? ab≥ .当且仅当 a=b 时 a+b a+b 取等号,∴①不恒成立;②a+b>|a-b|?a>|a-b|-b 恒成立;③a2+b2-4ab+3b2 2 =(a-2b)2≥0,当 a=2b 时,取等号,∴③不恒成立;④ab+ ≥2 ab >2 恒成立. 答案:D 2 ab· =2 ab 2

2

7.已知关于 x 的不等式 2x+ ________.

2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a

2 2 解析:因为 x>a,所以 2x+ =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 2a+4, 3 3 即 2a+4≥7,所以 a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2 3 答案: 2

2 2(x-a)· +2a= x-a

1 1 1 + 8.已知 a、b、c∈R 且 a+b+c=1,求证:( -1)( -1)· -1)≥8. ( a b c 证明:∵a、b、c∈R 且 a+b+c=1, (1-a)(1-b)(1-c) 1 1 1 ∴( -1)( -1)( -1)= a b c abc (b+c)(a+c)(a+b) 2 bc· ac· ab 2 2 = ≥ =8. abc abc 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3


题组三

均值不等式的实际应用

9.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车 站________千米处. 解析:设仓库建在离车站 d 千米处, k1 20 由已知 y1=2= ,得 k1=20,∴y1= , 10 d 4 4 y2=8=k2· 10,得 k2= ,∴y2= d, 5 5 20 4d ∴y1+y2= + ≥2 d 5 20 4d · =8, d 5

20 4d 当且仅当 = ,即 d=5 时,费用之和最小. d 5 答案:5 10. (文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方 x 米的三级污水处理池,池 的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙 建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底 建造单价为 80 元/米 2,水池所有墙的厚度忽略不计.
3

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低总造价. 162 解:(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米. x 则总造价 f(x)=400×(2x+ 960 100 =1 296(x+ )+12 960 x ≥1 296×2 100 x· +12 960=38 880(元), x 2×162 1 296×100 )+248×2x+80×162=1 296x+ +12 x x

100 当且仅当 x= (x>0),即 x=10 时取等号. x ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.

?0<x≤16 ? 1 (2)由限制条件知? 162 ,∴10 ≤x≤16. 8 0< ≤16 ? x ?
100 1 设 g(x)=x+ (10 ≤x≤16), x 8 1 由函数性质易知 g(x)在[10 ,16]上是增函数, 8 1 162 ∴当 x=10 时(此时 =16), 8 x g(x)有最小值,即 f(x)有最小值 1 800 1 296×(10 + )+12 960=38 882(元). 8 81 1 ∴当长为 16 米,宽为 10 米时,总造价最低,为 38 882 元. 8 (理)为了提高产品的年产量,某企业拟在 2010 年进行技术改革.经调查测算,产品 k 当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3- (k 为常数). 如 m+1 果不搞技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2010 年生产该产品的固 定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂 家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示 为技术改革费用 m 万元的函数; (2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
4

解:(1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件), 2 ∴1=3-k,∴k=2,∴x=3- , m+1 8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× (元), x ∴2010 年的利润 8+16x y=x· [1.5× ]-(8+16x)-m x 16 =-[ +(m+1)]+29(元)(m≥0). m+1 16 (2)∵m≥0,∴ +(m+1)≥2 16=8, m+1 ∴y≤29-8=21, 16 当 =m+1,即 m=3,ymax=21. m+1 ∴该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大.

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