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排列组合的综合应用


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题目 第十章排列、组台、二项式定理 排列组合的综合应用 高考要求 1 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综 合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法 解题思路归纳 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对 于元素之间的关系,还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确 使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复 杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可 以从这些特殊的东西入手, 先解决特殊元素或特殊位置, 再去解决其它元素 或位置,这种解法叫做特殊优先法 例如:用 0、1、2、3、4 这 5 个数字, 组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个 (答案:30 个) 科学分类法 对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各 种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现 象发生 例如:从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台,其中至少 有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有_______种 (答案:350) 分组(堆)问题的六个模型:①有序不等分;②有序等分;③有序局部 等分;④无序不等分;⑤无序等分;⑥无序局部等分; 插空法 解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决 例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种 数是______ (答案:3600) 捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻 的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列 例如:6 名同学坐成一 排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种 (答案:240) 排除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知 识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知 识对答案进行取舍 例如:从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素 分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有 _________条 (答案:30) 剪截法(隔板法) 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒 :n 子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1
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个结点剪成 m 段(插入 m-1 块隔板) ,有 Cn?1 种方法

m?1

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错位法: 编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每 个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列 特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44 2 个、3 个、4 个元素的错位排列容易计算 关于 5 个元素的错位排列的 计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题:
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5 ①5 个元素的全排列为: A5 ? 120 ;

②剔除恰好有 5 对球盒同号 1 种、恰好有 3 对球盒同号(2 个错位
3 2 的) C5 ?1 种、恰好有 2 对球盒同号(3 个错位的) C5 ? 2 种、恰好有 1 对 1 球盒同号(4 个错位的) C5 ? 9 种

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3 2 1 ∴ 120-1- C5 ?1 - C5 ? 2 - C5 ? 9 =44

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用此法可以逐步计算:6 个、7 个、8 个、??元素的错位排列问题 容斥法:n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置 的排法种数,宜用容斥法 题型讲解
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例1 将6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本; ⑵分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本; ⑶分给甲、乙、丙3人,每人2本; ⑷分成3堆,一堆3 本,一堆2 本,一堆1 本; ⑸分成3堆,每堆2 本
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⑹分给分给甲、乙、丙3人,其中一人4本,另两人每人1本; ⑺分成3堆,其中一堆4本,另两堆每堆1本
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分析:①分书过程中要分清:是均匀的还是非均匀的;是有序的还是无序的
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②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题
3

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解:⑴是指定人应得数量的非均匀问题:方法数为 C6 C3 C1 ;
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2

1

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3 2 1 ⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题:方法数为 C6 C3 C1 ? P33 ;

2 2 2 ⑶是指定人应得数量的均匀问题:方法数为 C6 C4 C2 ; 3 2 1 ⑷是分堆的非均匀问题(与⑴等价):方法数为 C6 C3 C1 ;
2 2 2 ⑸是分堆的均匀问题:方法数为 C 6 C 4 C 2 ? P33 ;
4 1 1 C 6 C 2 C1 ? P33

⑹是部分均匀地分给人的问题:方法数为

P22



⑺是部分均匀地分堆的问题:方法数为 点评:以上问题归纳为 分给人(有序) 非均匀 均匀
3 2 1 C6 C3 C1 ? P33

4 1 1 C 6 C 2 C1

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P22

分成堆(无序)
3 2 1 C6 C3 C1 2 2 2 C 6 C 4 C 2 ? P33

2 2 2 C6 C 4 C 2
4 1 1 C 6 C 2 C1 ? P33

部分均匀

4 1 1 C 6 C 2 C1

P22

P22

①见上表中的三类六种不同的分书问题的模型; ②要将问题转化为六种分书模型来解决 例 2 求不同的排法种数: (1)6 男 2 女排成一排,2 女相邻; (2)6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻; (3)4 男 4 女排成一排,同性者相邻; (4)4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻. 解:(1)是“相邻”问题,用捆绑法解决: A2 A7
2 7
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(2)是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解.6 男先排实位,再
6 2 在 7 个空位中排 2 女,即用插孔法解决: A6 A7
8 2 7 另法:用捆绑与剔除相结合: A8 ? A2 A7
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4 4 2 (3)是“相邻”问题,应先捆绑后排位: A4 A4 A2

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4 3 1 (4)是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解: A4 A4 A2
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例 3 有 13 名医生,其中女医生 6 人 现从中抽调 5 名医生组成医疗 小组前往灾区,若医疗小组至少有 2 名男医生,同时至多有 3 名女医生,设 不同的选派方法种数为 P,则下列等式
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5 1 4 (1) C13 ? C7C6 ; 2 3 3 2 4 1 5 (2) C7 C6 ? C7 C6 ? C7 C6 ? C7 ; 5 1 4 5 (3) C13 ? C7C6 ? C6 ; 2 3 (4) C7 C11 ;

其中能成为 P 的算式有_________种 分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题 用直接法解:选派5 名医生分为2 男3 女,3 男2 女,4 男1 女,5 男这四类,故(2) 正确;
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5 用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有 C13 种,需剔除的有 1 男 4 女,5 女

两类,故(3)正确 因此结论为: (2)(3) 点评:本例要特别防止误选(4) 例 4 对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品,一一进行测试,到区 分出所有次品为止 若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测 试方法有 种 解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因 此是排列问题 故所有测试方法是 6 件不同正品取出 1 件与 4 件次品排成一列且
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1 1 4 最后一件是次品: C6 A4 A4 =576 种

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例 5 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前有增加了 2 个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______ 解:实质是 7 个节目的排列,因原定的 5 个节目顺序不改变,故排这
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2 5 5 个节目是一个组合,有 C7 种方法,在排新插入的两个节目有 A2 种方法,
5 2 故 C7 A2 ? 42

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点评:分清是排列还是组合问题 排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序 若元素之间交换次序 后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形, 则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题 例 6 从 10 种不同的作物中选出 6 种放入 6 个不同的瓶子中展出,如 果甲、乙两种种子不能放入第 1 号瓶内,那么不同的放法共有( )种
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A

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2 C10 A84

1 5 B C9 A9
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C

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1 5 C8 A9

1 5 D C8 A8
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1 解: 先排第 1 号瓶,从甲、 乙以外的 8 种不同作物种子中选出 1 种有 C8

5 1 5 种方法,再排其余各瓶,有 A9 种方法,故不同的放法共有 C8 A9 故选 C
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点评:这样解分步合理、过程简捷 但本题更容易想到先从 10 种不同的 作物种子中选出 6 种,然后排列 由于选出的 6 种种子中是否含甲、 乙不确定, 导致后继排列也不确定,这时就要分类了 选出的 6 种种子中只含甲或只含乙
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5 1 5 的不同放法都为 C8 A5 A5 种,选出的 6 种种子中,同时含甲与乙的不同放法有 4 C84 A52 A4 种;选出的 6 种种子中,都不含甲与乙的不同放法有 A86 种 故不同的
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放法共有 2C8 A5 A5 ? C8 A5 A4 ? A8 ? C8 A9 种
5 1 5 4 2 4 6 1 5

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例 7 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相 邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种 解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:
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1 (1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有 C3 种,它们只能种在

两端及中间位置,有不同的种植方法 C3 A2 ? 6 种,
1 2

(2)当其中两种作物各种两块时,选取这两种作物有
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C32 种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:
1 4 2 5 3 6

第(1)(2)(5)(6)类的种法都是 2 种; 第(3)类有 1 种种法;第(4)类有 3 种种法,于是这种情况有 C32 (4 ? 2 ? 1 ? 3) ? 36 种种法, 故不同的种植方法共 42 种 例 8 四面体的顶点和各棱中点共10 个点,在其中取4 个不共面的点,不同的 取法共有__种
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4 解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10 个点中取4 个有 C10 种方法,剔除

四点共面的情况有:
4 (1)四个面上的种数为 4C6 ? 60 ;

(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为 6; (3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有 3 种,
4 故不同的取法共有 C10 ? 60 ? 6 ? 3 ? 141种
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点评:确定用分类法、分步法、还是间接法计数 为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的 方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题 的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数 例 9 从黄瓜,白菜,油菜,扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在 不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有___种
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解:按要求从 4 种蔬菜品种中选出 3 种有 C32 种方法,种在不同土质的三
3 2 3 块土地上有 A3 种方法,不同的种植方法共有 C3 A3 ? 18 种
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例 10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子 不放球的放法总数为 ___ 解:选取两个不放球的盒子,有 C4 ? 6 种选法; 4 个球分成两堆,可分 把
2
2 2 C4 C2 为两堆各为 1,3 个或两堆都有 2 个球这两类,有 C C ? ? 7 种;再把 2 A2 3 4 1 1

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2 两堆分别放入两个盒子里有 A2 ? 2 种,

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所求放法总数为 6 ? 7 ? 2 ? 84 种 点评:如何实施先组合,后排列 对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列,可分为以下两类 例 11 把 9 个相同小球放入其编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个 箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种 解:先给编号为 2、3 的三个箱子里分别放入 1 个、2 个小球,有 1 种方
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2 法;再将剩余的 6 个小球串成一串,截为三段有 C5 ? 10 种截断法,对应

放到编号为 1、2、3 的三个箱子里 因此,不同的放球方法有 1×10=10 种 例 12 某校准备参加 2005 年高中数学联赛,把 10 个选手名额分配到 高三年级的 8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种 解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的 放法种数问题
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7 将 10 个小球串成一串,截为 7 段有 C9 ? 36 种截断法,对应放到 8 个

盒子里 因此,不同的分配方案共有 36 种 点评: 剪截法(隔板法) 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求 :n 每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里
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m 选 m-1 个结点剪成 m 段(插入 m-1 块隔板) ,有 Cn??1 种方法 1

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例 13 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个 盒子放一个小球,其中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有____种
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解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 ? 15 种,其余 4 组球与
2

盒子需错位排列有 9 种放法, 故所求方法有 15? 9 ? 135种 点评:错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒 子里,每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错 位排列 特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44 例 14 将 A、B、C、D、E、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组 成一个电路,如果元件 A 不排在始端,元件 B 不排在末端,那么这六个电子元 件组成不同的电路的种数是_
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6 解:不考虑限制条件共有 A6 种排法,元件 A 排在始端和 B 排在末端各 5 有 A5 种排法,把它们都剔除,则 A 排在始端同时 B 排在末端的总数多减了一 4 6 5 4 次,需补上 A4 种 故组成不同的电路 A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504 种
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点评:容斥法:n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确 定位置的排法种数,宜用容斥法
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小结: ①六种分书模型; ②解决排列、组合问题的一些常用方法:容斥法、错位法、剪截法(隔 板法) 、捆绑法、剔除法、插孔法 学生练习 1 将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则不同的投法的种数是( )
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A3
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4

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B4
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3

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C A4
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3

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D C4
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3

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2 某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得 3 分;平一场,得 1 分;负一 场,得 0 分;一球队打完 15 场,积 33 分,若不考虑顺序,该队胜、负、平 的情况共有( ) A3 种 B4 种 C5 种 D6 种
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3 4 3 若 Am ? 6Cm ,则 m ? (
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A9 B8 C7 D6 4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质 的三块地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( ) A 24 种 B 18 种 C 12 种 D6 种 5 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与 组装计算机各 2 台,则不同的选取法有 种(结果用数值表示) 6 在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种值 A、B 两种作物,每种作物 种植一垄,为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则 不同的选垄方法共有 种 (作数字作答)
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7有n n? N
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?

*

? 件不同的产品排成一排,若其中 A、B 两件产品排在一起的

不同排法有 48 种,则 n ? 8 将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验
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田不能种植同一作物,不同的种植方法共有

种(以数字作答)

9 把 6 名同学排成前后两排,每排 3 人,则不同排法的种类( ) A 36 B 120 C 720 D 1440 10 6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是( ) A 288 B 480 C 600 D 640 11 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人, 则不同的分配方案共有( )
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4 4 4 A C12 C8 C4 种
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4 4 4 B 3 C12 C8 C4 种
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4 4 3 C C12 C8 A3 种 D
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4 4 C12 C84 C4 种 3 A3

12 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工 作,其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有()种 A 280 B 240 C 80 D 96 13 用 1,2,3,4,5 这五个数字组成比 20000 大,且百位数不是 3 的,无重复数 字的个数是( ) A 64 B 72 C 78 D 96 14 从某班学生中,选出四个组长的不同选法有 m 种,选出正、副组长各一 名的不同选法有 n 种,若 m:n=13:2,则该班的学生人数是( ) A 10 B 15 C 20 D 22 15 如图所示,为某市的四个小镇,现欲修建三条公路,将这四个镇连接起 来,则不同的修路方案种数为( ) A6 B 12 C 16 D 24 16 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中每次取出两个不重复的数字分别 作为对数式中的底和真数,共可得到不同的对数值( ) A 53 个 B 55 个 C 57 个 D 59 个 17 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组 各 4 人,分别进行了单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一 组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3,4 名,大师赛 共有 场比赛(用数字作答) 18 平面上有 4 条平行线与另外 5 条平行直线相互垂直,则可围成 个 矩形(用数字作答) 19 设编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个 球放入这五个盒内, 要求每个盒内投放一个球, 并且恰好有两个球的编号与
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盒子的编号相同,则不同的投放方法有 种(用数字作答) 20 楼道里有 10 盏灯,为节约用电,在一定时间可关掉其中的 3 盏灯,但关 掉的灯不能相邻,而且不在楼道两端,则不同的关灯方法共有 种 21 如图,一个地区分 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使 用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方 ② ⑤ 法共有 种(用数字作答) ① 22 将 10 个相同的小球装入 3 个编号分别为 1,2,3 的盒子 ③ ④ (每次要把 10 个球装完) ,要求盒子里球的个数不小于 盒子的编号数,这样的装法种数是 (用数字作答)
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23 某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1、a2、a3、a4、a5 , 4 种退烧药
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b1、b2、b3、b4 ,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效
实验, 但又知 a1、a 2 两种药必须同时使用, a3、b4 两种药不能同时使用, 且 则不同的实验方案有 种 24 对于任意正整数 n,定义“n 的双阶乘 n!”如下: !
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当 n 是偶数时, n !!? n ? ?n ? 2? ? ?n ? 4??6 ? 4 ? 2 当 n 是奇数时, n !!? n ? ?n ? 2? ? ?n ? 4??5 ? 3 ?1 现有如下四个命题: ① ?2004!!? ? ?2003!!? ? 2004!;② 2004!!? 2 ③ 2004!! 的个位数是 0 ;
1002

? 1002! ;

④ 2003!!的个位数是 5

其中正确的命题有 参考答案: 1 B 2 A 3 C 4 B 5 350 6 12 75 8 42 9 C 10 B 11 A 12 B 13 C 14 B 15 C 16 A 17 16 18 60 19 20 20 20 21 72 22 15 23 14 24 ①②③④ 课前后备注 1 从 6 名男生和 4 名女生中,选出 3 名代表,要求至少包含 1 名女生,则不 同的选法有 100 种
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2 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方 向跳 1 个单位,经过 5 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,
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则质点不同的运动方法共有 5 种(左四右-) 3 从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形,直角三角形的个数为
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( C ) A.56
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B.52

C.48

D.40

4 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的
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两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为(B )
2 2 A A6 C4
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B

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1 2 2 A6 C 4 2

2 2 C A6 A4
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2 D 2A6
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5 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分配方
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案共有( C ) A.12 种
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B. 24 种

C 36 种

D. 48 种

6 北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每
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天排早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同 的排班种数为(A )
12 4 4 A C14 C12C8
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12 4 4 B C14 A12 A8
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C

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12 4 C14 C12C84 3 A3

12 4 4 3 D C14 C12C8 A3
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7 将 9 个人(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分法的 种数为( A ) A.70 B.140 C.280 D.840 8 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,
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有多少种方法?( C8 )

4

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