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辽宁省大连二十中2014-2015学年高二第二学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年辽宁省大连二十中高二(下)期末数学试卷(文 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的) 1.已知 i 是虚数单位,则 =( )

A. 1﹣2i B. 2﹣i C. 2+i D. 1+2i 2.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩B=( A. (﹣1,3) B. (1,3] C. [3,4) D. [﹣1,4) 3. “若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是( 2 2 A. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0 2 2 B. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0 2 2 C. 若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 2 2 D. 若 x,y∈R 且 xy≠0,则 x +y ≠0 4.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则( ) A. p 真 q 真 B. p 假 q 真 C. p 真 q 假 D. p 假 q 假 5.若函数 f( +1)=x ﹣2x,则 f(3)=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2 2 2







6.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则? UP=(



A. [ ,+∞) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞)

7.若θ∈[ A. B.



],cos2θ=﹣ 则 sinθ=( C. D.



8.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 9.已知 p:x≥k,q: (x+1) (2﹣x)<0,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围 是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. (﹣∞,﹣1]

x

10.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+

sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}



≤x≤kπ+π,k∈Z} B. {x|2kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z} D. {x|2kπ+

11.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,|? |< 式为( )

,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达

A. y=﹣4sin( C. y=﹣4sin(

) B. y=4sin( ) D. y=4sin(

) )

12.设函数 g(x)=x ﹣2(x∈R) ,f(x)= 域是( )

2

,则 f(x)的值

A. [﹣ ,0]∪(1,+∞) B. [0,+∞) C. [ ,+∞) D. [﹣ ,0]∪(2,+∞)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) . . 13.已知复数 z=(3+i) (i 为虚数单位) ,则|z|=
2 2



14.若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,则实数 a 的取值范 围是 . 15. 若曲线 y=ln (﹣x) 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐标是 .

16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中ω>0,|φ|<

,cos

? cosφ﹣sin

? sin

φ=0 且函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 移 m 个单位所对应的函数是偶函数.则最小正实数 m 的值为

,函数 f(x)的图象向左平 .

三、解答题(17 题 10,其余每题 12 分)

17.已知函数 f(x)=tan(2x+

) ,求 f(x)的定义域与最小正周期.

18.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) .若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ ,1]上的最大值.

2

19.已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围. 20.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. .

x

21.已知函数 f(x)=

(1)若 a=1,求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)在[﹣1,+∞)上为增函数,求 a 的范围.

22.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;



(Ⅱ)若对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围.

2014-2015 学年辽宁省大连二十中高二 (下) 期末数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的) 1.已知 i 是虚数单位,则 =( )

A. 1﹣2i B. 2﹣i C. 2+i D. 1+2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以 1+i,再由进行计算即可得到答案. 解答: 解: 故选 D 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复 数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握. 2.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩B=( A. (﹣1,3) B. (1,3] C. [3,4) D. [﹣1,4)
2



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集,确定出 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:由 B 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≤0, 解得:﹣1≤x≤3,即 B=[﹣1,3], ∵A=(1,4) , ∴A∩B=(1,3]. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. “若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是( 2 2 A. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0 2 2 B. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0 2 2 C. 若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 2 2 D. 若 x,y∈R 且 xy≠0,则 x +y ≠0 考点: 四种命题. 专题: 计算题.
2 2



分析: 否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的题设,得到否命题的题设,再否 2 2 定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的结论,得到否命题的结论.由此能够得到命 2 2 题“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题. 2 2 解答: 解:先否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的题设, 2 2 得到否命题的题设“若 x,y∈R 且 x +y ≠0” , 2 2 再否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的结论, 得到否命题的结论“则 x,y 不全为 0” . 由此得到命题“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是: 2 2 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0. 故选 B. 点评: 本题考查四种命题的互换,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意全为 0 和否定形式是不全为 0. 4.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则( ) A. p 真 q 真 B. p 假 q 真 C. p 真 q 假 D. p 假 q 假 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据“非 p”为真,得到 p 假,根据命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真,从而得到 答案. 解答: 解:若命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真, 若“非 p”为真,则 p 为假, ∴p 假 q 真, 故选:B. 点评: 本题考查了复合命题的真假的判断,是一道基础题. 5.若函数 f( +1)=x ﹣2x,则 f(3)=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的性质得 f(3)=f( )=2 ﹣2×2=0. 2 解答: 解:∵函数 f( +1)=x ﹣2x, 2 ∴f(3)=f( )=2 ﹣2×2=0. 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用.
2 2 2 2

2

2



6.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则? UP=(



A. [ ,+∞) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞)

考点: 对数函数的单调性与特殊点;补集及其运算. 专题: 计算题.

分析: 先求出集合 U 中的函数的值域和 P 中的函数的值域,然后由全集 U,根据补集的定 义可知, 在全集 U 中不属于集合 P 的元素构成的集合为集合 A 的补集, 求出集合 P 的补集即 可. 解答: 解:由集合 U 中的函数 y=log2x,x>1,解得 y>0, 所以全集 U=(0,+∞) , 同样:P=(0, ) , 得到 CUP=[ ,+∞) . 故选 A. 点评: 此题属于以函数的值域为平台,考查了补集的运算,是一道基础题.

7.若θ∈[ A. B.



],cos2θ=﹣ 则 sinθ=( C. D.



考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据余弦函数的倍角公式即可得到结论. 解答: 解:∵cos2θ=﹣ =1﹣2sin θ, ∴sin θ= ∵θ∈[
2 2

, , ],∴sinθ= ,

故选:B 点评: 本题主要考查三角函数求值,根据余弦函数的倍角公式是解决本题的关键. 8.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 解答: 解:由于 f(x)=xe ,可得 f′(x)=(x+1)e , x 令 f′(x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 x 令 f′(x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 x 令 f′(x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选:D
x x x x

点评: 本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤,本题是基础题, 9.已知 p:x≥k,q: (x+1) (2﹣x)<0,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围 是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. (﹣∞,﹣1] 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:由: (x+1) (2﹣x)<0<0 得 x>2 或 x<﹣1,即 q:x>2 或 x<﹣1, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法,求出不等式的等价 条件是解决本题的关键. 10.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+ sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} )

≤x≤kπ+π,k∈Z} B. {x|2kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z} D. {x|2kπ+

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= 形式,根据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 解答: 解:函数 f(x)= ﹣ )≥1,所以,

sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的

sinx﹣cosx=2sin(x﹣

) ,因为 f(x)≥1,所以 2sin(x

所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ+

≤x≤2kπ+π,k∈Z}

故选:B 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常 考题型. 11.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,|? |< 式为( )

,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达

A. y=﹣4sin( C. y=﹣4sin(

) B. y=4sin( ) D. y=4sin(

) )

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析: 先由图象的最高点、最低点的纵坐标确定 A(注意 A 的正负性) ,再通过周期确定ω, 最后通过特殊点的横坐标确定φ,则问题解决. 解答: 解:由图象得 A=±4, =8,∴T=16,∵ω>0,∴ω= ①若 A>0 时,y=4sin( 当 x=6 时, 又|φ|< x+φ) , ,k∈Z; = ,

φ=2kπ,φ=2kπ﹣ ,∴φ∈? ; x+φ) ,

②若 A<0 时,y=﹣4sin( 当 x=﹣2 时, 又|φ|<

φ=2kπ,φ=2kπ+ .

,k∈z;

,∴φ=

综合①②该函数解析式为 y=﹣4sin(

) .

故选 A. 点评: 本题主要考查由三角函数部分图象信息求其解析式的基本方法.

12.设函数 g(x)=x ﹣2(x∈R) ,f(x)= 域是( )

2

,则 f(x)的值

A. [﹣ ,0]∪(1,+∞) B. [0,+∞) C. [ ,+∞) D. [﹣ ,0]∪(2,+∞)

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 当 x<g(x)时,x>2 或 x<﹣1,f(x)=g(x)+x+4=x ﹣2+x+4=x +x+2=(x+0.5) 2 2 +1.75,其值域为: (2,+∞) .当 x≥g(x)时,﹣1≤x≤2,f(x)=g(x)﹣x=x ﹣2﹣x= 2 (x﹣0.5) ﹣2.25,其值域为:[﹣2.25,0].由此能得到函数值域. 2 解答: 解:当 x<g(x) ,即 x<x ﹣2, (x﹣2) (x+1)>0 时,x>2 或 x<﹣1, 2 2 2 f(x)=g(x)+x+4=x ﹣2+x+4=x +x+2=(x+0.5) +1.75, ∴其最小值为 f(﹣1)=2,其最大值为+∞, 因此这个区间的值域为: (2,+∞) . 当 x≥g(x)时,﹣1≤x≤2,
2 2

f(x)=g(x)﹣x=x ﹣2﹣x=(x﹣0.5) ﹣2.25 其最小值为 f(0.5)=﹣2.25,其最大值为 f(2)=0 因此这区间的值域为:[﹣2.25,0]. 综合得:函数值域为:[﹣2.25,0]U(2,+∞) , 故选 D. 点评: 本题考查 f(x)的值域的求法.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) . . 13.已知复数 z=(3+i) (i 为虚数单位) ,则|z|= 10 . 考点: 复数求模;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的模的平方等于复数的模的乘积,直接计算即可. 解答: 解:复数 z=(3+i) (i 为虚数单位) ,则|z|=|3+i||3+i|= 故答案为:10. 点评: 本题考查复数模的求法,复数代数形式的乘除运算,考查计算能力. 14.若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,则实数 a 的取值范 围是 {a| 或 } .
2 2 2

2

2

=10.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出二次函数的对称轴,由题意知,区间(1,2)在对称轴的左侧或者右侧,列 出不等式解出实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵二次函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 的对称轴为 x=a﹣ , f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,∴区间(1,2)在对称轴的左 侧或者右侧, ∴a﹣ ≥2,或 a﹣ ≤1,∴a≥ ,或 a≤ , 故答案为:{a|a≥ ,或 a≤ }. 点评: 本题考查二次函数的性质,体现了分类讨论的数学思想.
2 2

15.若曲线 y=ln(﹣x)上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 (﹣ , ﹣ln2) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 先设 P(x,y) ,对函数求导,由在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,即斜率相 等,求出 x,最后求出 y.

解答: 解:设 P(x,y) ,则 y=ln(﹣x) , ∵y′= ,在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行, 令 =﹣2,解得 x=﹣ , ∴y=ln(﹣x)=﹣ln2, 故 P(﹣ ,﹣ln2) . 故答案为: (﹣ ,﹣ln2) . 点评: 本题考查了导数的几何意义,即点 P 处的切线的斜率是该点处的导数值,以及切点 在曲线上和切线上的应用.

16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中ω>0,|φ|<

,cos

? cosφ﹣sin

? sin

φ=0 且函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 移 m 个单位所对应的函数是偶函数.则最小正实数 m 的值为

,函数 f(x)的图象向左平 .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用特殊角的三角函数值化简 cos cosφ﹣sin sinφ=0,根据|φ|< 直接

求出φ的值,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

,求出周期,求出

ω,得到函数 f(x)的解析式,函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函 数.推出 m= + (k∈Z) ,可求最小正实数 m. cosφ﹣sin sinφ=0,解得 cos cosφ﹣sin sinφ=0,即 cos

解答: 解:由 cos ( +φ)=0, ,

又∵|φ|< ∴φ=

,可得解析式:f(x)=sin(ωx+ ,又 T= ) ,

) ,

∵依题意, =

,故解得:ω=3,

∴f(x)=sin(3x+

∵函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+

],

∴g(x)是偶函数当且仅当 3m+ 从而解得,最小正实数 m= 故答案为: . .

=kπ+

(k∈Z) ,即 m=

+

(k∈Z) ,

点评: 本题是中档题,考查三角函数的字母变量的求法,三角函数的图象的平移,偶函数 的性质,转化思想的应用,考查计算能力,是常考题. 三、解答题(17 题 10,其余每题 12 分) 17.已知函数 f(x)=tan(2x+ ) ,求 f(x)的定义域与最小正周期.

考点: 正切函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正切函数的定义域和周期性,求得 f(x)的定义域与最小正周期. 解答: 解:由函数 f(x)=tan(2x+ 求得 x≠ + ) ,可得 2x+ + ≠kπ+ ,k∈Z,

,可得 f(x)的定义域为{x|x≠ .

,k∈Z}.

函数 f(x)的最小正周期为

点评: 本题主要考查正切函数的定义域和周期性,属于基础题. 18.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) .若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ ,1]上的最大值.
2

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数求闭区间上函数的最值. 导数的概念及应用. 先求出 a 的值,得到函数 f(x)的单调区间,从而求出区间上的最大值. 解:∵f′(﹣1)=0,∴3﹣2a+1=0,即 a=2,
2

∴f′(x)=3x +4x+1=3(x+ ) (x+1) . 由 f′(x)>0,得 x<﹣1 或 x>﹣ ; 由 f′(x)<0,得﹣1<x<﹣ . 因此,函数 f(x)在[﹣ ,1]上的单调递增区间为[﹣ ,﹣1],[﹣ ,1], 单调递减区间为[﹣1,﹣ ]. ∴f(x)在 x=﹣1 处取得极大值为 f(﹣1)=2; 又∵f(1)=6,

∴f(x)在[﹣ ,1]上的最大值为 f(1)=6 点评: 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题. 19.已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 f(0)=0,解得 a=0,可得函数 f(x)=ln(e )=x,经检验满足条件,故 所求实数 a 的值为 0. (2)根据 f(x)=x,g(x)=λx,可得λ≤log2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求出函数 y=log2x 在 x∈[2,3]上的最小值为 log22=1,可得λ的取值范围. x 解答: 解: (1)函数 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数, x 令 f(0)=0,即 ln(1+a)=0,解得 a=0,故函数 f(x)=ln(e )=x. …(4 分) 显然有 f(﹣x)=﹣f(x) ,函数 f(x)=x 是奇函数,满足条件,所求实数 a 的值为 0.… (6 分) (2)f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x 在 x∈ [2,3]上恒成立,…(8 分) ∵函数 y=log2x 在 x∈[2,3]上的最小值为 log22=1,…(11 分) ∴λ≤1,即λ的取值范围为(﹣∞,1].…(12 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,对数函数的图象和性质,属于中档题.
x x

20.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ)求 f(x)在区间



上的最大值和最小值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函 数的性质求得函数的最小正周期. (Ⅱ) 利用 x 的范围确定 2x+ 值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ =4cosx( = = sin2x+2cos x﹣1 sin2x+cos2x
2

的范围, 进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小

, )﹣1

=2sin(2x+

) ,

所以函数的最小正周期为π;

(Ⅱ)∵﹣ ∴﹣ ≤2x+ = =﹣

≤x≤ ≤

, , 时,f(x)取最大值 2, 时,f(x)取得最小值﹣1.

∴当 2x+ 当 2x+

,即 x=

时,即 x=﹣

点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值.解题的关键是对函 数解析式的化简整理.

21.已知函数 f(x)=

(1)若 a=1,求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)在[﹣1,+∞)上为增函数,求 a 的范围. 考点: 函数零点的判定定理;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)由 f(x)=0,可得①

,或②

,分别解①和②,求得 x 的

值,即为所求. (2)显然,函数 g(x)=x﹣ 在[ +∞)上递增,且 g( )=﹣ ;h(x)=x +2x+a﹣1 在[﹣ 1 ]也递增,且 h( )=a+ ,则由题意可得 a+ ≤﹣ ,由此求得 a 的范围.
2

解答: 解: (1)若 a=1,由 f(x)=0,可得①

,或②



解①求得 x= ,解②求得 x=0,或 x=﹣2. 综上可得,函数 f(x)的零点为 ,0,﹣2. (2)显然,函数 g(x)=x﹣ 在[ +∞)上递增,且 g( )=﹣ ; 函数 h(x)=x +2x+a﹣1 在[﹣1
2

]也递增,且 h( )=a+ ,

故若函数 f(x)在[﹣1+∞)上为增函数,

则 a+ ≤﹣ , 即 a≤﹣ .

点评: 本题主要考查求函数的零点,函数的单调性的判断以及性质应用,体现了分类讨论 的数学思想,属于基础题

22.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;



(Ⅱ)若对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (I)求导,令导数等于零,解方程,跟据 f′(x) ,f(x)随 x 的变化情况即可求 出函数的单调区间; (Ⅱ)根据若对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤ ,利用导数求函数 f(x)在区间 (0,+∞)的最大值,即可求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ) 令 f′(x)=0,得 x=±k 当 k>0 时,f′(x)f(x)随 x 的变化情况如下: x (﹣∞,﹣k) ﹣k (﹣k,k) k (k,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + F(x) 递增 4k e 递减 0 递增 所以,f(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣k) ,和(k,+∞) ,单调递减区间是(﹣k,k) ; 当 k<0 时,f′(x)f(x)随 x 的变化情况如下: x (﹣∞,k) k (k,﹣k) ﹣k (﹣k,+∞) f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ F(x) 递减 0 递增 4k e 递减 所以,f(x)的单调递减区间是(﹣∞,k) ,和(﹣k,+∞) ,单调递增区间是(k,﹣k) ; (Ⅱ)当 k>0 时,有 f(k+1)= ,不合题意, ,
2 ﹣1 2 ﹣1

=



当 k<0 时,由(I)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值是 f(﹣k)= ∴任意的 x∈(0,+∞) ,f(x)≤ ,?f(﹣k)= 解得﹣ , ≤ ,

故对于任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤ ,k 的取值范围是﹣



点评: 此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题,对方程 f'(x)=0 根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,特别是(II)的设置,有关恒成 立问题一般转化为求函数 的最值问题,体现了转化的思想,增加了题目的难度.


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