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高中数学必修2直线与圆的位置关系


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高中数学第七章 直线与圆的方程课件

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澄海中学数学组

制作: 制作:黄伟 2010年10月21 年 月 日

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直线与圆的位置关系

1.直线方程的一般式 1.直线方程的一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为零 不同时为零) Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 为:____________________________

(x-a)2+(y-b)2=r2 2.圆的标准方程为 ______________ 圆的标准方程为: 2.圆的标准方程为:(x- +(y(a,b) 圆心为________ 圆心为________ r 半径为______ 半径为______

3.圆的一般方程: 3.圆的一般方程: 圆的一般方程 __________________________________ +Dx+Ey+F=0(其中 其中D x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)
1 D E 圆心为 ( , ) 半径为 2 2 2 D 2 + E 2 4F

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直线与圆的位置关系圆和圆的位置关系 两圆的位 置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 d与R, 公切线 r的关系 的条数
公切线长

d>R+r d=R+r
R-r<d<R+r

4 3 2 1 0

d=R-r
0≤d<R-r

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直线与圆的位置关系

问题1 问题1:你知道直 线和圆的位置关系 有几种? 有几种?

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直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系的判断方法: 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) Ax+By+C=0(A,B不同时为零 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 和圆(x- +(y则圆心(a,b) (a,b)到此直线 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 (x
d= 的距离为 | Aa + Bb + C | A +B
2 2

则 相切 d=r
d r

位置 d与 r 图形 交点个数

相离 d>r
d r

相交 d<r
d r

0个

1个

2个

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例1 如图4.2-2,已知直线L:3x+y-6=0和圆心为C的圆

x 2 + y 2 2 y 4 = 0,判断直线L与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标。

分析:方法一,判
断直线L与圆的位置关 系,就是看由它们的方 程组成的方程有无实数 解 ; 方法二 , 可 以 依据圆心到直线的距离 与半径长的关系,判断 直线与圆的位置关系。

y

L B

C ● 0

A x

图4.2-2

解法一:由直线L与圆的方程,得 ① 3x + y 6 = 0

{x + y 2y 4 = 0
2 2



消去y ,得 因为 ⊿=

x 3x + 2 = 0
2

(3) 4 × 1 × 2 = 1 > 0
2

所以,直线L与圆相交,有两个公共点。

x 2 + y 2 2 y 4 = 0 可化为 x 2 + ( y 1) 2 = 5 ,其 解法二:圆 圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5 ,点C(0,1)到直 线L的距离 | 3× 0 +1 6 | 5 25 d= = = = 2.5 < 5 2 2 10

3 +1

10

所以,直线L与圆相交,有两个公共点. 由 x2 3x + 2 = 0 ,解得

x1 =2

x , 2 =1.

把 x1 =2代入方程①,得 y1 =0; 把 x 2=1代入方程①,得 y 2=3. 所以,直线L圆相交,它们的坐标分别是A(2,0),B (1,3).

巩固练习: ①判断直线4x-3y=50与圆 x 2 果相交,求出交点坐标.

+ y 2 = 100

的位置关系.如

解:因为圆心O(0,0)到直线4x-3y=50

| 0 + 0 50 | 的距离d= = 10 5

而圆的半径长是10,所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0

4x 3y = 50 x = 8 解方程组 , 得 3x + 4 y = 0 y = 6
切点坐标是(8,-6)

②判断直线3x+4y+2=0与圆 x2 + y2- x = 0 的位置关 2 系. 2 2 ( x 1) 2 + y 2 = 1 解:方程 x + y -2 x = 0 经过配方,得 圆心坐标是(1,0),半径长r=`1. 圆心到直线3x+4y+2=0的距离是 d = | 3 + 0 + 2 | = 1

5

因为d=r,所以直线3x+4y+2=0与圆相切. ③已知直线L:y=x+6,圆C: x2 + y2- y 4 = 0 试判断直线L与圆 2 C有无公共点,有几个公共点. 解:圆C的圆心坐标是(0,1),半径长r= 5 2 直线y=x+6的距离 5 ,圆心到

d =

所以直线L与圆C无公共点.

2

>

5

④试解本节引言中的问题. 解:以台风中心为原点,东西方向为x 轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km为单位长度,这样,受 台风影响的圆形区域所对应的圆O方程为 x 2 + y 2 = 9 轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0 问题归结为圆O与直线L有无公共点。 点O到直线L的距离 | 0 + 0 28 | 28
d =

圆O的半径长r=3 因为3.5>3,所以,这艘轮船不必改变航线,不会受 到台风的影响. y B 0 A x

65

=

65

≈ 3 .5

归纳小结:直线与圆的位置关系的判断方法有两种:
① :通过直线 方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组,根据 解的个数来研究,若有两 组不同的实数解,即⊿> 0,则相交;若有两组相 同的实数解,即⊿=0, 则相切;若无实数解,即 ⊿<0,则相离.

代数法

② :由圆心 到直线的距离d与半径r 的大小来判断:当d<r时, 直线与圆相交;当d=r时, 直线与圆相切;当d>r时, 直线与圆相离.

几何法

直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系的方法2 判断直线与圆的位置关系的方法2 代数法): (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 利用消元法消去一个元后, 利用消元法消去一个元后,得到关于另一 个元的一元二次方程,求出其Δ的值, 个元的一元二次方程,求出其Δ的值,然 后比较判别式Δ 的大小关系, 后比较判别式Δ与0的大小关系, 若Δ<0 则直线与圆相离 若Δ=0 则直线与圆相切 若Δ>0 则直线与圆相交
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反之成立

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系判断方法: 直线与圆的位置关系判断方法:
几何方法。主要步骤: 一、几何方法。主要步骤: 把直线方程化为一般式, 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: d>r时 直线与圆相离; d=r时 作判断: 当d>r时,直线与圆相离;当d=r时, 直线与圆相切; d<r时 直线与圆相切;当d<r时,直线与圆相交
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直线与圆的位置关系

二、代数方法。主要步骤: 代数方法。主要步骤:
把直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法, 利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程 求出其Δ 求出其Δ的值 比较Δ 的大小: 比较Δ与0的大小: Δ<0时 直线与圆相离; Δ=0时 当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时, 直线与圆相 Δ>0时 直线与圆相交。 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系

已知直线l:kx-y+3=0和圆C: 已知直线 :kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1, 和圆 试问: 为何值时,直线l与圆 相交? 与圆C 试问:k为何值时,直线 与圆C相交?

问题:你还能用什么方法求解呢? 问题:你还能用什么方法求解呢?

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直线与圆的位置关系

一只小老鼠在圆(x- +(y- =9上环 一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 老鼠在圆(x 行,它走到哪个位置时与直线l : 3x+4y-2=0的距离最短, 3x+4y-2=0的距离最短,请你帮小老鼠找 的距离最短 的距离。 到这个点并计算这个点到直线l的距离。

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直线与圆的位置关系

直线l过点(2,2)且与圆 过点(2,2)且与圆x 例1:直线 过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0 相切,求直线 的方程 的方程. 相切,求直线l的方程.

3 y 2 = (x 2)或 = 2 x 4

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直线与圆的位置关系

例2:一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上, 一圆与y轴相切,圆心在直线x y=0 一圆与 y=x上截得弦长为 在y=x上截得弦长为2 7,求此圆的方 程。 设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2, 解:设该圆的方程是 圆心( b,b)到直线 y=0 到直线x 圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是
d=
2

| 3b b | 2
2

= 2 |b|
2

r=|3b|

r d = ( 7 ) b = ±1
故所求圆的方程是(x- +(y故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9 (x 或(x+3)2+(y+1)2=9。 (x+3 +(y+1
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练习: 练习:
判定直线L:3x +4y-12=0 与圆C:(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系 代数法: 代数法: 3x +4y-12=0 (x-3)2 + (y-2)2=4 消去y得:25x2-120x+96=0 =1202-100×96=4800>0 所以方程组有两解, 直线L与圆C相交 几何法: 几何法: 圆心C(3,2)到直线L的距离 d r

| 3× 3 + 4 × 2 12 | = 1 d=
32 + 4 2

因为r=2,d<r 所以直线L与圆C相交

比较:几何法比代数法运算量少,简便。 比较:几何法比代数法运算量少,简便。

例1:过点P(1,-1)的直线L与圆M: : (x-3)2+(y-4)2=4 (1)当直线和圆相切时,求切线方程和 切线长; (2)若直线的斜率为2,求直线被圆截 得的弦AB的长; (3)若圆的方程加上条件x≥3,直线与 圆有且只有一个交点,求直线的斜率的取值 范围.
培养学生用数形结合的思想 优化解题程序, 优化解题程序,用运动变化的观 点分析解决问题的能力。 点分析解决问题的能力。
演示

运用点到直线的距离解决直 线与圆的关系问题, 线与圆的关系问题,将学生 思维引向更高层次。 思维引向更高层次。

例2: 在圆(x+1)2+(y+2)2=8上到直线x+y +1=0的距离为 2 的点有_____个.

演示

开放性问题: 在(x+1)2+(y-1)2=R2的圆上是否存在四 个点到直线AB:3x-4y-3=0的距离等于1。

给出这个问题的用意是开拓学 生的思维, 生的思维,让学生从多角度思 考问题,培养学生的创新能力。 考问题,培养学生的创新能力。
演示

直线与圆部分练习题
1、从点P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长度的最 小值是( ) B A. 4 B.

2 6

C.5

D. 5.5

2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过点M最长的弦所 在的直线方程是( C ) A.x+y-3=0 A.相交 D.2x+y-6=0 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是( B ) B.相切 C. 相离 D.不能确定 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0

4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点,则以P为中点的弦 x+y-5=0 所在的直线方程是________________________

5、直线 x+y+a=0与 y= 1 x2 有两个不同的交点,则a的 取值范围是( D ) A. [1, 2 ) B.[1, 2 ] C.[ 2 , -1] D ( 2, -1]

6、一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上 截得的弦长为 2 7 ,求此圆方程。 答: (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9

高考荟萃 ①(2000年全国理)过原点的直线与圆 x2 + y2 + 4x + 3 = 0相切, 若切点在第三象限,则该直线的方程是( ) C A. y =

3x

④(2002 年全国文)若直线(1+a)x+y+1=0与圆 x 相切,则a的值为( D) A.1,-1 B.2,-2

3 3 y x y x D. = B. = 3 x C. = y 3 3 2 2

+ y 2x = 0

C.1

D.-1

例2. 已知圆的方程是

x +y =r
2 2

2

,求经过圆上一点

M(x0 , y0 ) 的切线的方程。 的切线的方程。
解:当M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,则k =

1 kOM

kOM =

y0 x0

,

经过点M 的切线方程是

x0 k = . y0

y

.

x0 y y0 = y (x x0 ), 0
2 0 2 0

M(x0 , y0 )
O

+ y0 y = r 2 . 所求的切线方程是 x0 x
当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用 当点 在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用. 在坐标轴上时

x0 x + y0 y = x + y . 2 2 = r2, 因为点M在圆上, 因为点 在圆上,所以 x 0 + y 0
整理得

x

例2. 已知圆的方程是 x + y = r,求经过圆上一 的切线的方程。 点 M(x0 , y0 )的切线的方程。
2 2 2

解法二: 解法二:①当点 M 不在坐标轴上时, y 设切线方程为

y-y0=k(x-x0)
整理成一般式,利用 整理成一般式, 点到直线的距离公式求k, 点到直线的距离公式求 代入所设方程即可. 代入所设方程即可 在坐标轴上时, ②当点 M 在坐标轴上时, 同解法一一样可以验证. 同解法一一样可以验证
O

M(x0 , y0 )
x

例2 已知圆的方程是 x + y = r ,求经过圆 的切线的方程。 上一点 M(x0 , y0 ) 的切线的方程。 y
2 2 2

解法三: 解法三:利用平面几何知 识,按求曲线方程的一般 步骤求解. 步骤求解 如图, Rt△OMP中 如图,在Rt△OMP中 由勾股定理: 由勾股定理: |OM|2+|MP|2=|OP|2

P(x,y)

M(x0 , y0 )

O

x

x0x +y0 y = r2

小结: 小结
1:过圆 2+y2=r2上一点 o,yo)的切线方程为 ox+yoy=r2 过圆x 上一点(x 的切线方程为x 过圆 的切线方程为 2:过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 o,yo)的切线方程为 上一点(x 过圆 的切线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2 3:过圆 2+y2=r2外一点(xo,yo)的作圆的切线,两切点的 过圆x 外一点 的作圆的切线, 过圆 的作圆的切线 连线的直线方程为x 连线的直线方程为 ox+yoy=r2 4:过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点 o,yo)的作圆的切线, 外一点(x 的作圆的切线, 过圆 的作圆的切线 两切点的连线的直线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2

1.已知点 已知点P(x,y)是圆 2+y2=4上任意一点,求(1)2x+3 是圆x 上任意一点, 已知点 是圆 上任意一点 (2)(x-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范围 的取值范围 2.已知一个圆 与y轴相切,圆心 在直线 1:x-3=0上,且 已知一个圆C与 轴相切 圆心C在直线 轴相切, 在直线l 已知一个圆 上 求圆C的方程 在直线l 上截得的弦长为 求圆 在直线 2:x-y=0上截得的弦长为 2 7,求圆 的方程 3.已知圆 x2+(y+4)2=4,求在两坐标轴上截距相等的圆 已知圆C: 已知圆 , 的切线方程 4.已知点 是圆 2+y2=4上一动点,点Q(4,0),求线段 中点 已知点P是圆 上一动点, 求线段PQ中点 已知点 是圆x 上一动点 求线段 的轨迹 截得弦长为2, 的斜率 5.直线 过点 直线l过点 且被圆x 直线 过点P(0,2)且被圆 2+y2=4截得弦长为 ,求l的斜率 且被圆 截得弦长为

1.圆 x 2 3)2 + ( y 2)2 = 16 与y轴交于 ,B两点,与x轴 ( 轴交于A, 两点 两点, 轴交于 轴

的一个交点为P, 的一个交点为 ,求∠APB的大小 APB的大小 2.已知圆 已知圆(x-3)2+(y+4)2=4与直线 与直线y=kx相交于 相交于P,Q两点,则 两点, 已知圆 与直线 相交于 两点 |OP||OQ|= |OQ|= .

3.已知 已知A(1,2)是圆 是圆(x-2)2+(y-4)2=10内的一个点,求过点 内的一个点, 已知 是圆 内的一个点 求过点A 且被A平分的圆的弦所在直线 的方程 且被 平分的圆的弦所在直线l的方程 平分的圆的弦所在直线 4. 已知圆 满足 ①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段 已知圆C满足 满足:① 轴所得弦长为2; 2;② 圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离 圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离 3:1; l:x 为
5 ,求这个圆的方程 5

1.若实数 满足等式 若实数x,y满足等式 若实数 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 ,

y 的最大值 x

2.已知 已知P(2,0),Q(8,0),点M到点 的距离是它到点 的距离 到点P的距离是它到点 已知 , 到点 的距离是它到点Q的距离 的轨迹方程, 的1/5,求M的轨迹方程,并求轨迹上的点到直线 , 的轨迹方程 并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知 已知P(x,y)为圆 2+y2-6x-4y+12=0上的点 为圆x 已知 为圆 上的点 (1)求 y 的最小值 求 x (2)求x2+y2的最大值与最小值 求 4.已知圆 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为 的直线 已知圆 问 是否存在斜率为1的直线 被圆C截得得弦 为直径的圆过原点, 使l被圆 截得得弦 为直径的圆过原点,若存在,写出 被圆 截得得弦AB为直径的圆过原点 若存在, 直线方程

二.例题讲解
作圆C: 例1.过点 .过点P(-2,-3)作圆 :(x-4)2+(y-2)2=9的两条 , 作圆 的两条 切线,切点分别为 切线,切点分别为A、B.求: 求 (1)经过圆心 ,切点 、B这三点的圆的方程; 经过圆心C,切点A 这三点的圆的方程; 经过圆心 这三点的圆的方程 (2)直线 的方程; 直线AB的方程 直线 的方程; (3)线段 的长 线段AB的长 线段 的长.

3. 过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0 的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是 C ) 上的圆方程是( 的交点且圆心在直线 上的圆方程是 (A) x2+y2+x-5y+2=0 (C) x2+y2-x+7y-32=0 (B) x2+y2-x-5y-2=0 (D) x2+y2+x+7y+32=0

4.已知圆 :(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 :x-y+3=0当直线 已知圆C: > 及直线l: 当直线l 已知圆 及直线 当直线 被C截得的弦长为2 3时,则a=( C ) 截得的弦长为 (A) 2 (B) 2- 2 (C) 2 -1 (D) 2 +1

己知圆C: 例2.己知圆 x2+y2-2x-4y-20=0, 己知圆 - - 直线l: 直线 (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R) - - ∈ (1)证明 无论 取何值 直线 与圆 恒相交 证明: 无论m取何值 直线l与圆 恒相交. 与圆C恒相交 证明 (2)求直线 被圆 截得的最短弦长 及此时 求直线l被圆 截得的最短弦长,及此时 求直线 被圆C截得的最短弦长 直线l的方程 直线 的方程. 的方程 分析: 分析: 若直线经过圆内 的一定点, 的一定点,那么该直线 必与圆交于两点, 必与圆交于两点,因此 可以从直线过定点的角 度去考虑问题. 度去考虑问题.

将直线l的方程变形 解 (1)将直线 的方程变形,得 将直线 的方程变形, m(2x+y-7)+(x+y-4)=0. . ∵对于任意的实数m, 方程都成立, 对于任意的实数

此时l方程 y -1 = 2 (x - 3),即 2x-y-5=0

Q AC =

5 , 圆的半径 r = 5

∴ 最短弦长 BD = 2 AB = BC
2

+ AC

2

= 4 5.

练、圆( x 1) + ( y 1) = 4上到直线3 x 4 y + 6 = 0 3 的距离为1的点共有 ____ 个。
2 2

解答

圆( x 1) 2 + ( y 1) 2 = 4上到直线3 x 4 y + 6 = 0 的距离为2的点共有 ____ 个。 2

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