当前位置:首页 >> >>

求递推数列的通项公式的九种方法


求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这 一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1 在数列{ a n }中, a1 = 3 , a n +1 = a n + 解:原递推式可化为: a n +1 = a n +

1 ,求通项公式 a n . n(n + 1)

1 1 1 1 1 1 则 a 2 = a1 + ? , a3 = a 2 + ? ? n n +1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a 4 = a 3 + ? ,……, a n = a n ?1 + ? 逐项相加得: a n = a1 + 1 ? .故 a n = 4 ? . 3 4 n ?1 n n n
2 2

二、作商求和法 例 2 设数列{ a n }是首项为 1 的正项数列,且 ( n + 1) a n +1 ? na n + a n +1 a n = 0 (n=1,2,3…) , 则它的通项公式是 a n =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为:

[(n + 1)a n +1 ? na n ](a n +1 + a n ) =0

∵ a n +1 + a n >0,

a n +1 n = an n +1 an 1 1 = ,即 a n = . a1 n n



a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 = , = , = , ……, n = a1 2 a 2 3 a3 4 a n ?1 n

逐项相乘得:

三、换元法 例 3 已知数列{ a n },其中 a1 =

4 13 1 , a 2 = ,且当 n≥3 时, a n ? a n ?1 = (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求 3 9 3

通项公式 a n (1986 年高考文科第八题改编). 解:设 bn ?1 = a n ? a n ?1 ,原递推式可化为:

bn ?1

1 13 4 1 1 bn?1 = bn ?2 , {bn } 是 一 个 等 比 数 列 , b1 = a 2 ? a1 = ? = , 公 比 为 . 故 3 9 3 9 3 1 1 1 1 1 3 1 1 = b1 ? ( ) n ?2 = ( ) n ?2 = ( ) n .故 a n ? a n ?1 = ( ) n .由逐差法可得: a n = ? ( ) n . 3 9 3 3 3 2 2 3
例 4 已知数列{ a n }, 其中 a1 = 1, a 2 = 2 , 且当 n≥3 时,a n ? 2a n ?1 + a n ? 2 = 1 , 求通项公式 a n 。

解 由 a n ? 2a n ?1 + a n ? 2 = 1 得 : (a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) = 1 , 令 bn ?1 = a n ? a n ?1 , 则 上 式 为

bn?1 ? bn? 2 = 1 ,因此 {bn } 是一个等差数列, b1 = a 2 ? a1 = 1 ,公差为 1.故 bn = n .。
由于 b1 + b2 + ? + bn ?1 = a 2 ? a1 + a 3 ? a 2 + ? + a n ? a n ?1 = a n ? 1

又 b1 + b2 + ? + bn ?1 = 所以 a n ? 1 =

n(n ? 1) 2

1 1 n(n ? 1) ,即 a n = (n 2 ? n + 2) 2 2

四、积差相消法 例 5 ( 1993 年 全 国 数 学 联 赛 题 一 试 第 五 题 ) 设 正 数 列 a 0 , a1 , a n … , a n , … 满 足

a n a n ?2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1


(n ≥ 2) 且 a 0 = a1 = 1 ,求 {a n } 的通项公式.

将递推式两边同除以 a n ?1 a n ? 2 整理得:

an a ? 2 n?1 = 1 a n?1 a n?2

设 bn =

an ,则 b1 = a n?1

a1 =1, bn ? 2bn ?1 = 1 ,故有 a0
⑴ b3 ? 2b2 = 1 ⑵

b2 ? 2b1 = 1
… … …

… ( n ?1)
2 n ?1

bn ? 2bn ?1 = 1

由 ⑴ × 2 n ? 2 + ⑵ × 2 n ?3 + … +( n ? 1 ) 2 0 得 bn = 1 + 2 + 2 + ? + 2

= 2n ?1 , 即

an n = 2 ?1. a n?1
逐项相乘得: a n = ( 2 ? 1) 2 ? (2 2 ? 1) 2 ? ? ? ( 2 n ? 1) 2 ,考虑到 a 0 = 1 , 故 an = ?

1 ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)

(n = 0) (n ≥ 1)

.

五、取倒数法 例 6 已知数列{ a n }中,其中 a1 = 1, ,且当 n≥2 时, a n =

a n ?1 ,求通项公式 a n 。 2a n ?1 + 1



将 an =

a n ?1 1 1 1 两边取倒数得: ? = 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项是 2a n ?1 + 1 a n a n ?1 an

1 1 1 = 1 ,公差为 2,所以 = 1 + (n ? 1) × 2 = 2n ? 1 ,即 a n = . a1 an 2n ? 1
六、取对数法 例 7 若数列{ a n }中, a1 =3 且 a n +1 = a n (n 是正整数) ,则它的通项公式是 a n =▁▁▁(2002
2

年上海高考题).



由题意知 a n >0,将 a n +1 = a n 两边取对数得 lg a n +1 = 2 lg a n ,即
2

lg a n+1 = 2 ,所以数列 lg a n
n ?1

n ?1 {lg a n } 是以 lg a1 = lg 3 为首项, 公比为 2 的等比数列,lg a n = lg a1 ? 2 = lg 3 2

, an = 3 即

2 n ?1

.

七、平方(开方)法 例 8 若数列{ a n }中, a1 =2 且 a n = 解 将 an =
2

2 3 + a n ?1 (n ≥ 2 ) ,求它的通项公式是 a n .

2 2 2 2 3 + a n ?1 两边平方整理得 a n ? a n ?1 = 3 。数列{ a n }是以 a12 =4 为首项,3 为公差
2

的等差数列。 a n = a1 + ( n ? 1) × 3 = 3n + 1 。因为 a n >0,所以 a n =

3n + 1 。

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列, 可以少走弯路.其变 换的基本形式如下: 1、 a n +1 = Aa n + B (A、B 为常数)型,可化为 a n +1 + λ =A( a n + λ )的形式. 例 9 若数列{ a n }中, a1 =1, S n 是数列{ a n }的前 n 项之和,且 S n +1 = 列{ a n }的通项公式是 a n . 解 递推式 S n +1 =

Sn (n ≥ 1 ) ,求数 3 + 4S n

Sn 1 1 可变形为 = 3? +4 3 + 4S n S n +1 Sn
+ λ = 3( 1 + λ) Sn
1

(1)

设(1)式可化为

1 S n +1

(2)

比较(1)式与(2)式的系数可得 λ = 2 ,则有

S n +1

+ 2 = 3(

1 1 + 2) 。故数列{ + 2 }是以 Sn Sn

1 1 1 + 2 = 3 为首项,3 为公比的等比数列。 + 2 = 3 ? 3 n ?1 = 3 n 。所以 S n = n 。 S1 Sn 3 ?1
当 n ≥ 2 , a n = S n ? S n ?1 =

1 1 ? 2 ? 3n ? n ?1 = 2n 。 3 n ? 2 3 ? 2 3 ? 8 ? 3 n + 12

数列{ a n }的通项公式是 a n = ?

?1 ? ? 32 n ?

? 2 ? 3n ? 8 ? 3 n + 12

(n = 1) (n ≥ 2)



2、 a n +1 = Aa n + B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,可化为 a n +1 + λ ? C
n

n +1

= A( a n + λ ? C )
n

的形式.

例 10 在数列{ a n }中, a1 = ?1, a n +1 = 2a n + 4 ? 3 解:原递推式可化为:

n ?1

, 求通项公式 a n 。

a n+1 + λ ? 3 n = 2(a n + λ ? 3 n ?1 )
n


n ?1

比较系数得 λ =-4,①式即是: a n +1 ? 4 ? 3 = 2( a n ? 4 ? 3 则数列 {a n ? 4 ? 3 ∴ an ? 4 ? 3
n ?1 n ?1

).

} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 31?1 = ?5 ,公比是 2.

= ?5 ? 2 n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 .

即 an = 4 ? 3

n ?1

3、 a n + 2 = A ? a n +1 + B ? a n 型,可化为 a n + 2 + λa n +1 = ( A + λ ) ? ( a n +1 + λa n ) 的形式。 例 11 在数列{ a n }中,a1 = ?1, a 2 = 2 , n ∈ N ,a n + 2 = 5a n +1 ? 6a n ① 当 解:①式可化为: 求通项公式 a n .

a n+ 2 + λa n +1 = (5 + λ )(a n +1 + λa n )
比较系数得 λ =-3 或 λ =-2,不妨取 λ =-2.①式可化为:

a n+ 2 ? 2a n +1 = 3(a n +1 ? 2a n )
则 {a n +1 ? 2a n } 是一个等比数列,首项 a 2 ? 2a1 =2-2(-1)=4,公比为 3. ∴ a n +1 ? 2a n = 4 ? 3
n ?1

.利用上题结果有:

a n = 4 ? 3 n?1 ? 5 ? 2 n ?1 .
4、 a n +1 = Aa n + Bn + C 型,可化为 a n +1 + λ1 n + λ 2 = A[ a n + λ1 ( n ? 1) + λ 2 ] 的形式。 例 12 在数列{ a n }中, a1 = 求通项公式 a n . 解 ①式可化为:

3 , 2a n ? a n ?1 =6 n ? 3 2



2(a n + λ1 n + λ 2 ) = a n ?1 + λ1 (n ? 1) + λ 2



比较系数可得:

λ1 =-6, λ 2 = 9 ,② 式为 2bn = bn ?1
{bn } 是一个等比数列,首项 b1 = a1 ? 6n + 9 =
∴ bn =

9 1 ,公比为 . 2 2

9 1 n ?1 ( ) 2 2

即 a n ? 6n + 9 = 9 ? ( )

1 2

n

故 a n = 9 ? ( ) + 6n ? 9 .
n

1 2

九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ……,然后猜想出满足 递推式的一个通项公式 an ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 例 13 在各项均为正数的数列 {an } 中, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn = 项公式。

1 1 (an + ) ,求其通 an 2

求递推数列通项的特征根法与不动点法
是常数) 一、形如 an + 2 = pan +1 + qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 = m1 , a2 = m2 , an + 2 = pan +1 + qan ( p, q 是常数)的二阶递推数列都可用特征根法 求得通项 an ,其特征方程为 x 2 = px + q …① 若①有二异根 α , β ,则可令 an = c1α n + c2 β n (c1 , c2 是待定常数) 若①有二重根 α = β ,则可令 an = (c1 + nc2 )α n (c1 , c2 是待定常数) 再利用 a1 = m1 , a2 = m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .

例 1.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 解:其特征方程为 x 2 = 3x ? 2 ,解得 x1 = 1, x2 = 2 ,令 an = c1 ?1n + c2 ? 2 n ,
?c1 = 1 ?a1 = c1 + 2c2 = 2 ? 由? ,得 ? 1, ?a2 = c1 + 4c2 = 3 ?c2 = 2 ? ∴ an = 1 + 2n ?1 .

例 2.已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 2, 4an + 2 = 4an +1 ? an (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . . 解:其特征方程为 4 x 2 = 4 x ? 1 ,解得 x1 = x2 =
1 ?1? ,令 an = ( c1 + nc2 ) ? ? , 2 ?2?
n

1 ? ?a1 = (c1 + c2 ) × 2 = 1 ?c1 = ?4 ? 由? ,得 ? , ?c2 = 6 ?a = (c + 2c ) × 1 = 2 1 2 ? 2 ? 4
Aan + B 的数列 Can + D

∴ an =

3n ? 2 . 2n ?1

二、形如 an + 2 =

对于数列 an + 2 =

Aan + B , a1 = m, n ∈ N * ( A, B, C, D 是常数且 C ≠ 0, AD ? BC ≠ 0 ) Can + D
Ax + B ,变形为 Cx 2 + ( D ? A) x ? B = 0 …② Cx + D

其特征方程为 x =

若②有二异根 α , β ,则可令 值可求得 c 值.

an +1 ? α a ?α ,代入 a1 , a2 的 = c? n (其中 c 是待定常数) an +1 ? β an ? β

? a ?α ? a1 ? α 这样数列 ? n ,公比为 c 的等比数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 a1 ? β ? an ? β ?
若②有二重根 α = β , 则可令 值可求得 c 值.
1 1 , = + c(其中 c 是待定常数) 代入 a1 , a2 的 an +1 ? α an ? α

? 1 ? 1 这样数列 ? ,公差为 c 的等差数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 an ? α ? an ? α ?
此方法又称不动点法.
an ?1 + 2 ( n ≥ 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an ?1 + 1

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an = .

其特征方程为 x = 解: 由 a1 = 2, 得 a2 =

x+2 a ?1 a ?1 , 化简得 2 x 2 ? 2 = 0 , 解得 x1 = 1, x2 = ?1 , n +1 令 = c? n 2x + 1 an +1 + 1 an + 1

4 1 ,可得 c = ? , 5 3
n ?1

? a ? 1? a ?1 1 ? 1 ? a ?1 1 1 = ?? ? ? , ∴ 数列 ? n ? 是以 1 = 为首项,以 ? 为公比的等比数列,∴ n 3 an + 1 3 ? 3 ? a1 +1 3 ? an + 1 ?
∴ an = 3n ? (?1) n . 3n + (?1) n

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 = . 解:其特征方程为 x =

2 an ? 1 ( n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 4 an + 6

2x ?1 1 1 1 ,即 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 ,解得 x1 = x2 = ? ,令 = +c 1 1 4x + 6 2 an+1 + an + 2 2

3 ,求得 c = 1 , 14 ? ? ? 1 ? 1 2 为 首 项 , 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 , ∴ 数 列 ? = ? 是 以 1 5 ? an + 1 ? a1 + ? 2? 2 1 2 3 ∴ = + (n ? 1) ?1 = n ? , 1 5 5 an + 2 13 ? 5n . ∴ an = 10n ? 6

由 a1 = 2, 得 a2 =


相关文章:
常见递推数列通项的九种求解方法.doc
是一类考查思 维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此 1 常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致...
九类常见递推数列求通项公式方法.doc
九类常见递推数列求通项公式方法 - 递推数列通项求解方法 类型一: 类型一: a
求递推数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法 - 求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列
数列求通项公式及求和9种方法.doc
数列求通项公式及求和9种方法 - 数列专题 1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、 Sn 是数列{an}的前 n ...
求递推数列的通项公式的九种方法精编版.doc
求递推数列的通项公式的九种方法精编版 - 求递推数列的通项公式的九种方法 求递推
求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点).doc
求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)_数学_自然科学_专业资料。求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式, 在理论上和实践中...
数列递推公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的
人教A版高中数学必修五求递推数列的通项公式的九种方法.doc
人教A版高中数学必修五求递推数列的通项公式的九种方法_数学_高中教育_教育专区。求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均...
人教版高三数学专题:求递推数列通项公式的九种方法.doc
人教版高三数学专题:求递推数列通项公式的九种方法_数学_高中教育_教育专区。求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较...
递推数列的通项公式求解九种方法.doc
递推数列的通项公式求解九种方法 - 求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列
求递推数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的
求递推数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法_数学_自然科学_专业资料。求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式, 在理论上和实践中均有较高的价值.自从...
求递推数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的
高中精品-数学:求递推数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的
求数列的通项公式的九种方法.doc
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的
求递推数列通项公式的常用方法.doc
求递推数列通项公式的常用方法 - 求递推数列通项公式的常用方法 求递推数列通项公
九类常见递推数列求通项公式方法_递推数列求通项公式方....doc
九类常见递推数列求通项公式方法_递推数列求通项公式方法举隅 - 递推数列通项求解方法举隅 思路 1(递推法) an = pan ?1 + q = p ( pan ? 2 + q ...
求递推数列通项公式的常用方法.doc
求递推数列通项公式的常用方法公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法, 一 公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 an...
常见的由递推式求通项公式方法.doc
由递推公式求通项公式的方... 4页 免费 九类常见递推数列求通项公... 14页 免费 题型最全的递推数列求通项... 4页 免费 八种求数列通项的方法 已知...
数列递推公式求通项公式(上课).ppt
数列递推公式求通项公式(上课) - 数列递推公式求通项公式 1.累加型 an ? an?1 ? f ( n) 回顾:求等差数列的通 项公式: 累加法 由递推公式 an ...