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2018年秋新课堂高中数学人教B版选修1-1学案:第2章 阶段复习课 Word版含答案

第二课 圆锥曲线与方程 [核心速填] 1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 平面内与两个定 定义 点 F1, F2 的距离的 和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹 x2 y2 a2+b2=1(a>b> 0) 关系式 图形 a2-b2=c2 封闭图形 双曲线 平面内与两个定 点 F1, F2 的距离的 差的绝对值等于 常数(小于|F1F2|)的 点的轨迹 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b >0) a2+b2=c2 无限延展,有渐近 无限延展,没有渐 线 近线 无对称中心 一条对称轴 两个 e>1 p x=-2 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小 一个 抛物线 平面内与一个定 点 F 和一条定直线 l(l?F)距离相等的 点的轨迹 标准方程 y2=2px(p>0) 对称性 顶点 离心率 准线方程 决定形状的 因素 对称中心为原点 两条对称轴 四个 0<e<1 2.待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、 双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面,一般先确定焦 点的位置,再确定参数.当焦点位置不确定时,要分情况讨论.也可将椭圆方程 1 1 1 1 设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),其中当A>B时,焦点在 x 轴上,当A<B时, 1 焦点在 y 轴上;双曲线方程可设为 Ax2+By2=1(AB<0),当A<0 时,焦点在 y 轴 1 上,当B<0 时,焦点在 x 轴上. x2 y2 x2 另外,与已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为a2- y2 2 2 b2=λ(λ≠0);已知所求双曲线为等轴双曲线,其方程可设为 x -y =λ(λ≠0). (2)抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时,先确定抛物线的方程类型,再由条件求出参数 p 的大小.当焦点位置不确定时,要分情况讨论,也可将方程设为 y2=2px(p≠0) 或 x2=2py(p≠0),然后建立方程求出参数 p 的值. 3.直线与圆锥曲线有关的问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的 方程组的实数解的个数来确定, 通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式 Δ,则有:Δ>0?直线与圆锥 曲线相交于两点;Δ=0?直线与圆锥曲线相切于一点;Δ<0?直线与圆锥曲线无 交点. (2) 直 线 l 截 圆 锥 曲 线 所 得 的 弦 长 |AB| = ?1+k2??x1-x2?2 或 1? ? ?1+k2??y1-y2?2,其中 k 是直线 l 的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与圆锥曲 ? ? 线的两个交点 A,B 的坐标,且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2 可由一 元二次方程的根与系数的关系整体给出. [体系构建] [题型探究] 圆锥曲线定义的应用 x2 y2 (1)已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,点 A(1,4),P 是双曲线右 支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( A.9 B.5 C.8 ) D.4 x2 y2 (2)若点 M(1,2), 点 C 是椭圆16+ 7 =1 的右焦点, 点 A 是椭圆的动点, 则|AM| +|AC|的最小值是________. [解] (1)设右焦点为 F′,则 F′(4,0),依题意,有|PF|=|PF′|+4,∴|PF| +|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9. (2)设点 B 为椭圆的左焦点, 则 B(-3,0), 点 M(1,2)在椭圆内, 那么|BM|+|AM| +|AC|≥|AB|+|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而 a=4,|BM|= ?1+3?2+22=2 5, 所以(|AM|+|AC|)min=8-2 5. [答案] (1)A (2)8-2 5 研究有关点间的距离的最值问题时, 常用定义把曲线上的点到 [规律方法] 焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转 化为到准线的距离,再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题. 提醒:应用定义解决问题时,需紧扣其内涵,注意限制条件是否成立,然后 得到相应的结论. [跟踪训练] 1.(1)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D, E 两点.已知|AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为( A.2 B.4 C.6 D.8 ) (2)在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为 |P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|, 则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“L距离” 之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是图中的( ) (1)B (2)A [(1)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),圆的方程为 x2+y2=r2. ∵|AB|=4 2,|DE|=2 5, p 抛物线的准线方程为 x=-2, ?4 ? ? p ? ∴不妨设 A?p,2 2?,D?-2, 5?. ? ? ? ? ?4 ? ? p ? ∵点 A?p,2 2?,D?-2, 5?在圆 x2+y2=r2 上, ? ? ? ? 16 2 ? ? p2 +8=r , ∴? 2 p 2 ? ? 4 +5=r , 16 p2 ∴ p2 +8= 4 +5,∴p=4(负值舍去). ∴C 的焦点到准线的距离为 4. (2)设 F1(-c,0), F2(c,0), P(x, y), 则点 P 满足:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|), x+a,x<-c, ? ? 代入坐标,得|x+c|+|x-c|+2|y|=2a.当 y>0 时,y=?a-c,-c≤x≤c, ? ?-x+a

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