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人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性与最大(小)值


1.3.1 函数的单调性与最大(小)值 第一课时 函数单调性的概念 问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度 进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 时间间隔 t 记忆量y (百分比) 刚记 忆完 毕 100 20分 钟后 58.2 60分 钟后 44.2 8-9 小时 后 35.8 1天后 2天后 6天后 一个 月后 21.1 33.7 27.8 25.4 以上数据表明,记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图. y 100 80 60 40 20 o 1 2 3 t 思考1:当时间间隔t逐渐增 你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势?通过这个 试验,你打算以后如何对待 刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释? y大 100 80 60 40 20 o 1 2 3 t 知识探究(一) 考察下列两个函数: (1 ) f ( x) ; ?x (2) y f ( x) ? x ( x ? 0) 2 y o x o x 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的变化情况如何? f ( x ) I内某个区 思考3:如图为函数 在定义域 间D上的图象,对于该区间上任意两个自变 量x1和x2,当 时, 与 的大 x1 ? x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 小关系如何? y y ? f ( x) f ( x2 ) f ( x1 ) o x1 x2 x 思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, f ( x) 那么怎样定义“函数 在区间 D上是增函数”? f ( x) 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x x2 f, ( x1 ) 的值,若当 < x 时,都有 < 1 2 f在区间 ( x ) D上是增函数. 则称函数 f ( x2 ) 知识探究(二) 考察下列两个函数: (1 ) f ( x) ? x ;?(2) y f ( x) ? x ( x ? 0) 2 y o x o x 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数,那么怎样定 f在区间 ( x ) D上是减 义“函数 函数”? f ( x) y y ? f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x o x1 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x x2 f( x1 ) 的值,若当 < x 时,都有 > , 1 2 f在区间 ( x ) D上是减函数. 则称函数 f ( x2 ) 思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 ? x2 的值,若当 x1 , x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x ) ,2 则函数 f (x )上是增函数还是减函数? 在区间 D 思考4:如果函数y=f(x)在区间D上是增函 f ( x) 数或减函数,则称函数 在这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做函数 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗? 2 ? 1) 函数 f ( x) ? ( x的单调区间如何? f ( x) 理论迁移 例1 如图是定义在闭区间

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