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惠州市2013届高三第一次调研考试数学试题含答案


惠州市 2013 届高三第一次调研考试
数 学 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求.) 1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,集合 B ? ?2, 4? ,则 A ? B ? ( A. ?2, 4? B. ?1,3? C. ?1, 2,3, 4? ) D. ?1 )条件 C.充要 D.既不充分又不必要 ) D. ?

2. i 为虚数单位,则复数 i ? ?1 ? i ? 的虚部为( A. i B. ?i C. 1

3.若 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 )

4.若 p 是真命题, q 是假命题,则( A. p ? q 是真命题

B. p ? q 是假命题

C. ? p 是真命题

D. ? q 是真命题 )

B C a b c 5. ?ABC 中, , , 分别为角 A, , 所对边, a ? 2b cos C , 在 若 则此三角形一定是 (
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 )

6.若函数 f ( x) ? x3 ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

7.阅读右图 1 所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结 果是( A. 3 ) . B. 11 C. 38 D. 123

开始

a ?1

a ? a2 ? 2
a ? 10?
否 输出 a 是

8.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m

) 结束

图1

数学试题(文科)

第 1 页 共 11 页

A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

5 D. 或7 6
) 3 2 3 正视图 侧视图

9.设图 2 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

A. 9? ? 42
9 C. ? ? 12 2

B. 36? ? 18
9 D. ? ? 18 2

10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? :

? , 1 ?a, a b ? 。设 1 . ?b, a ? b ?
俯视图

图2

2 函数 f ? x ? ? x ? 2 ? ? x ? 1? ,x ? R . 若函数 y ? f ? x ? ? c 的

?

?

图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ??? B. ? ?2, ?1? ? ?1,2?

). D. ? ?2, ?1?

C. ? ??, ?2? ? ?1, 2?

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 ) 11.若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 a ? b 等于_____________. 12.已知函数 f ( x ) ? ?

?

?

? ?

? x, x ? 0,
2 ? x ? 5, x ? 0,

则 f ( f (2)) =



?x ? y ? 3 ? 13.设 x 、 y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?

.

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分。 ) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则圆 C 上点到直线

l : ? cos ? ? 2? sin ? ? 4 ? 0 的最短距离为



P C

A O ·

B

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,PAB、PCD 为⊙O 的两条割 线,若 PA=5,AB=7,CD=11, AC ? 2 ,则 BD 等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 图3 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 .
数学试题(文科) 第 2 页 共 11 页

D

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,周期为 2? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? (?

? ?

? 1 2? , ), f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

18.(本题满分 14 分) 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名,高二年级学生有 460 名,高三年级学生有 500 名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样调查,把 学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级: 1 级(很不满意) 级(不 ;2 满意) 级(一般) 级(满意) 级(很满意) ;3 ;4 ;5 ,其统计结果如下表(服务满意度为 x ,价 格满意度为 y ). 人数 x 服 务 满 意 度 1 2 3 4 5 y 1 1 2 3 1 0 2 1 1 7 4 1 价格满意度 3 2 3 8 6 2 4 2 4 8 4 3 5 0 1 4 1 1

(1)求高二年级共抽取学生人数; (2)求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差; (3)为提高食堂服务质量,现从 x ? 3 且 2 ? y ? 4 的所有学生中随机抽取两人征求意见, 求至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率.

19.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC? A B C中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的 中 1 1 1 点, A A ? AB ? 2 , BC ? 3 . 1
数学试题(文科) 第 3 页 共 11 页

A1

A

(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ;
D

(2) 求四棱锥 B ? AAC1D 的体积. 1
B1 B

C1

C

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 ( , ) . 2 2 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(0, 2) 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点,求 ?AOB(O 为原点)面积的最大值.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图像过原点. 3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

数学试题(文科)

第 4 页 共 11 页

惠州市 2013 届高三第一次调研考试 文科数学参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 C 9 D 10 B

1. 【解析】由交集的定义选 A. 2. 【解析】 i ? ?1 ? i ? ? i ? i ? i ? 1 故选 C
2

3. 【解析】当 a ? 1 时,有 a ? 1 .所以“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的充分条件, 反之,当 a ? 1 时, a ? ?1 ,所以“ a ? 1 ”不是“ a ? 1 ”的必要条件.故选 A. 4. 【解析】或( ? )一真必真,且( ? )一假必假,非( ? )真假相反,故选 D

i ? o s n 5. 【解析】 ?ABC 中, a ? 2b cos C , s A2i cs B 在 若 则n

C , sin( B ? C ) ? 2sin B cos C 即

?s i nB ? C ) 0 B ?C 故选 C ( ? ? ,
6. 【解析】 y ? f (? x) ? (? x) ? ? x ? y ' ? ?3x ? 0,? y ? f (? x) 在其定义域上单调递减,
3 3 2

f ? ? ? ? x ? ? ? ? f (? x ) 则 f (? x) 是奇函数,故选 B。 ? ?
7. 【解析】第一步: a ? 1 ? 2 ? 3 ? 10 ,第二步: a ? 3 ? 2 ? 11 ? 10 ,输出 11 .故选 B
2 2

8. 【解析】因 4, m,9 成等比,则 m ? 36 ? m ? ?6 当 m ? ?6 时圆锥曲线为椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1其 6

离心率为

30 ;当 m ? ?6 时圆锥曲线为双曲线 6

y2 ?

x2 ? 1其离心率为 7 故选 C 6

9. 【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球 构成的组合体,其体积

4 3 3 9 V ? ? )+3 ? 3 ? 2= ? ? 18 。故选 D ( 3 2 2
10. 【解析】由题设 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2,

? 1 ? x ? 2,

? x ? 1, x ? ?1或x ? 2
第 5 页 共 11 页

数学试题(文科)

画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为 A ? 2,1? , B ? 2,2? , C ? ?1, ?1? ,

D ? ?1, ?2? . 从图象中可以看出,直线 y ? c 穿过点 B ,点 A 之间时,直线 y ? c 与图象有
且只有两个公共点,同时,直线 y ? c 穿过点 C ,点 D 时,直线 y ? c 与图象有且只有两个 公共点,所以实数 c 的取值范围是 ? ?2, ?1? ? ?1,2? .故选B 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11. 1 ; 12. ?1 ; 13. 1; 14.

5 ?1.;

15. 6

11. 【解析】 a ? b ? ?1,1? ? ? ?1, 2 ? ? 1? ? ?1? ? 1? 2 ? 1 . 12. 【解析】因函数 f ( x ) ? ?

? ?

? x, x ? 0,
2 ? x ? 5, x ? 0,

所有 f ( f (2)) ? f (?1) ? ?1

13. 【解析】由题意知当直线 y ? ? x ? z 经过点 ?1,0 ? 时, z 取的最小值 1 14. 【解析】由题意圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 所以圆 C 上点到直线 l : 的最短距离为 5 ? 1 15.【解析】由 PA ? PB ? PC ? PD 得 PD ? 15 又? ?PAC ? ?PDB ?

PA AC ? ? BD ? 6 PD DB

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d , 由题设, a3 ? ?3 ? a1 ? 2d ? 1 ? 2d ,所以 d ? ?2 .

an ? 1? ? n ?1?? ?2? ? 3 ? 2n .
(2)因为 Sk ?

??????????? 6 分

k ? a1 ? ak ? k ?1 ? 3 ? 2k ? ? ? k ? 2 ? k ? ? ?35 , 2 2

2 所以 k ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ?5 .

因为 k ? N? ,所以 k ? 7 . 17. (本小题满分 12 分)
数学试题(文科)

??????????? 12 分

第 6 页 共 11 页

解: (1)? T ? 2? ,

则? ?

2? ? 1. T
???2 分

? f ( x) ? sin( x ? ? ) . ? f ( x) 是偶函数, ?? ? k? ?


?
2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,?? ?

?
2



f ( x) ? cos x .

???5 分

(2)由已知得 cos(? ? 则 sin(? ?

?

1 ? ? ? 5? ) ? ,?? ? (? , ) ,?? ? ? (0, ) . 3 3 3 2 3 6
???8 分

?
3

)?

2 2 . 3

? sin(2? ?

2? ? ? 4 2 . ???12 分 ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? 3 3 3 9

18.(本题满分 14 分)

460 ? 70 ? 23 (人)????3 分 1400 3? 7 ?8?8? 4 ? 6 ,?????4 分 (2) “服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 5
解: (1)共有 1400 名学生,高二级抽取的人数为 所以方差 s
2

?3 ? 6? ? ? 7 ? 6? ?
2

2

? 2 ?8 ? 6 ? ? ? 4 ? 6 ? ? 4.4 ??????7 分 5
2 2

(3)符合条件的所有学生共 7 人,其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a, b, c, d “服务满意度为 1”的 3 人记为 x, y, z . ????????9 分 在这 7 人中抽取 2 人有如下情况: ? a, b? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, x ? , ? a, y ? , ? a, z ?

?b, c? , ?b, d ? , ?b, x ? , ?b, y ? , ?b, z ? ?c, d ? , ?c, x? , ?c, y ? , ?c, z ? ? d , x ? , ? d , y ? , ? d , z ? ? x, y ? , ? x, z ? , ? y, z ? 共 21 种情况.
????????11 分

其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. ????????12 分 所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 p ? 19. (本小题满分 14 分) (1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.
数学试题(文科) 第 7 页 共 11 页

15 5 ? ????????14 分 21 7

A1

A

∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
D

E

∴ OD / / AB1 .

????????? 3 分
B1 B

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D ,
C1

O C

∴ AB1 / / 平面 BC1D .

?????????????? 6 分

(2)解法 1: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC1C , 1 ∴ 平面 ABC ? 平面 AAC1C ,且平面 ABC ? 平面 AAC1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC1C , 1 ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ? ????? 8 分

AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 ? ,? 10 分 AC 13
?? 12 分

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2

1 3 6 ? 3. ? ? 13 ? 2 ? 6 2 13
A1 A

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . 1

?? 14 分
D

解法 2: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? AB . ∵ BB1 / / AA1 ,∴ BB1 ? AB . ∵ AB ? BC, BC ? BB1 ? B ,
C1 B1

B

O C

E

∴ AB ? 平面 BB1C1C .

?? 8 分

取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE / / AB, DE ? ∴ DE ? 平面 BB1C1C . 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V ?
数学试题(文科)

1 AB , 2

1 ?AB ?BC ?AA1 ? 6 , 2

?? 10 分

第 8 页 共 11 页

则 VD ? BCC1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ?BC ? 1 ?DE ? V ? 1 , VA1 ? BB1C1 ? ? ?B1C1 ?BB1 ?A1B1 ? V ? 2 . CC 3 2 3 3 2 6
?? 12 分

而 V ? VD ? BCC1 ? VA1 ?BB1C1 ? VB? AA1C1D , ∴ 6 ? 1 ? 2 ?VB? AA1C1D . ∴ VB? AA1C1D ? 3 . ?? 14 分

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . 1 20. (本小题满分 14 分)

a 2 ? b2 a2 2 b 1 ? 1? 2 ? , 得 ? (1)解: 由 e ? ① 2 a b 3 a 3
2

?????2 分

由椭圆 C 经过点 ( , ) , 得

3 1 2 2

9 1 ? 2 ?1 2 4a 4b



???3 分 ????4 分

联立① ②,解得 b ? 1, a ? 3

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1????5 分 3

(2)解:易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 .??7 分
2 2 令 ? ? 144k ? 36(1 ? 3k ) ? 0 ,得 k ? 1 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 所以 S ?AOB ? S ?POB ? S ?POA ? 因为 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?
2 2

12k 9 , x 1? x2 ? .????9 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

2 36 ? k 2 ? 1? 36 ? 12k ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 3k ? 1 ? 3k ?1 ? 3k 2 ?

1 ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ??????10 分 2

设 k ?1 ? t (t ? 0)
2

则 ? x1 ? x2 ? ?
2

36t

? 3t ? 4 ?

2

?

36 36 3 ? ? . 16 9t ? ? 24 2 9t ? 16 ? 24 4 t t
第 9 页 共 11 页

?????13 分

数学试题(文科)

当且仅当 9t ?

16 4 3 ,即 t ? 时等号成立,此时 ?AOB 面积取得最大值 .????14 分 t 3 2

21. (本小题满分 14 分) 解: f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? b 3 2
b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .
---------------------2 分

由 f ?(0) ? 0 得

(1) 当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3

所以函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3x ? y ? 8 ? 0 ------------4 分 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,

9 ?a ?1 ? ? ? x x

( x) ? ?

9 (? ?) x

9 ? 2 (x ?) (? ? , a? ?7 , ? ) 6 x
--------------- -----------------9 分

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f(x)

(??, 0)

0
0
极大值

(??, a ? 1)

a ?1
0
极小值

(a ? 1, ??)

?
单调递增

?
单调递减

?
单调递增 ----11 分

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ? a ?

14 3 1 ? 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 . 3 2 3 ? 2 ? 3 ( a ? 1)) 内各有一个零点, 2

所以函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1,

故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x ) 的极小值 f (a ? 1) ? a ?

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) 也可这样进行: 6

数学试题(文科)

第 10 页 共 11 页

1 1 (a ? 1)3 ? ? (a 3 ? 3a 2 ? 6a ? 1) , 6 6 1 1 2 则 g ?(a ) ? ? (3a ? 6a ? 6) ? ? (a ? 3)(a ? 1) 6 2
设 g (a) ? a ? 当 0 ? a ? 1 时, g ?(a ) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?(a ) ? 0 , 函数 g (a ) 在区间 ? 0,1? 上是增函数,在区间 ?1, ?? ? 上是减函数, 故函数 g (a ) 在区间 ? 0,??? 上的最大值为 g (1) ? 1 ? 从而 f ( x ) 的极小值 f (a ? 1) ? a ?

1 1 (1 ? 1)3 ? ? ? 0 , 6 3

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) . 6

②证明函数 f ( x ) 共有三个零点。也可这样进行: f ( x ) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 , 6 6? 2 4?
当 x 无限减小时, f ( x ) 无限趋于 ??; 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限趋于 ??. 故函数 f ( x ) 在区间 ? ??,0? ,(0, a ? 1),(a ?1, ??) 内各有一个零点,故函数 f ( x ) 共有三个零 点。

数学试题(文科)

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