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2017-2018学年北师大版必修三 第1章4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差 课件(45张)_图文

阶 段 一

§ 4 4.1

数据的数字特征

阶 段 三

平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差.(重点) 2.方差、标准差在实际问题中的应用.(难点)

[基础· 初探]

教材整理 1 平均数、中位数、众数
阅读教材 P25~P26“4.2 标准差”以上部分,完成下列问题. 1.众数的定义 一组数据中出现次数 最多的数称为这组数据的众数,一组数据的众数可以 是 一个 ,也可以是多个 .

2.中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列, 把处于最中间 位置的那个 数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数. 3.平均数的定义
x1+x2+x3+?+xn n 如果有 n 个数 x1,x2,?,xn,那么 x = ,叫作这 n 个数

的平均数.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当样本中的数据都增加相同的量时,平均数不变.( (2)一组样本数据的众数只有一个.( (3)样本的中位数可以有两个值.( ) ) )

【解析】 (1)×,根据平均数的定义可知错误. (2)×,根据众数定义知众数可以一个,也可以多个. (3)×,由中位数的定义可知错误.

【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2 极差、方差、标准差
阅读教材 P26“4.2 标准差”以下至 P28“例 3”以上部分,完成下列问题. 1.标准差、方差 (1)标准差的求法: 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.

s=

1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n .

(2)方差的求法: 标准差的平方 s2 叫作方差.

1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ] 1 2 n 2 n s=
其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本均值. (3)方差的简化计算公式: 1 2 2 2 s =n[(x1+x2 +?+ x ) - n x ] 2 n
2

1 2 2 2 =n(x1+x2 +?+ x ) - x . 2 n

2.极差 一组数据的 最大值与 最小值的差称为这组数据的极差. 3.数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的 集中趋势,极差、方差刻画了一 组数据的 离散程度.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定.( (2)数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定.( (3)样本的标准差和方差都是正数.( ) ) )

【解析】 (1)√,极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度. (2)×,平均数与数据的波动性无关. (3)√,根据标准差与方差的公式可知.

【答案】 (1)√ (2)× (2)√

[小组合作型]
平均数、中位数、众数的计算

据了解,某公司的 33 名职工月工资(单位:元)如下: 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 工资 1 5 500 1 5 000 2 3 500 1 3 000 5 2 500 3 2 000 20 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元, 董事长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一 谈你的看法.

【精彩点拨】

首先根据众数、中位数、平均数的概念进行求解,然后再

根据众数、中位数、平均数反映的数字特征来进行讨论.

【自主解答】

(1)平均数是 x =1 500+

4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+591=2 091(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(2)平均数是 x ′=1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+1 788=3 288(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公 司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数 偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.

中位数、众数、平均数的应用要点: 中位数、众数反映了一组数据的 “中等水平”“多数水平”,平均数反映 了数据的平均水平,我们需根据实际需要选择使用. ?1?求中位数的关键是将数据排序,一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅 与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响 .中位数可能在所给 数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中 位数描述数据的集中趋势.

?2?确定众数的关键是统计各数据出现的频数,频数最大的数据就是众数.当 一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数往往更能反映数据的集中趋势. ?3?平均数与每一个样本数据都有关,受个别极端数据?比其他数据大很多或 小很多的数据?的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据,平均数对总体 估计的可靠性较差,这时往往用众数或中位数去估计总体 .有时也采用剔除最大 值与最小值后所得的平均数去估计总体.

[再练一题] 1.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如表 所示: 成绩 (单位:m) 人数 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 2 3 2 3 4 1 1 1

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.

【解】 在 17 个数据中,1.75 出现了 4 次,出现的次数最多,即这组数据 的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可看成是按从小到大的顺序排列的, 其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是 1.70;这组数据的 1 28.75 平均数是 x =17(1.50×2+1.60×3+?+1.90×1)= 17 ≈1.69.所以这 17 名运 动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75,1.70,1.69.

方差、标准差的计算 XXX
甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验 质量,各从中抽取 6 件测量,数据为: 甲:99,100,98,100,100,103; 乙:99,100,102,99,100,100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 【导学号:63580009】

【精彩点拨】 (1)分别利用求平均数和求方差的公式求解. (2)从平均数与方差两方面比较.

【自主解答】

1 (1) x 甲=6(99+100+98+100+100+103)=100,

1 x 乙=6(99+100+102+99+100+100)=100. 1 s 甲 = 6 [(99 - 100)2 + (100 - 100)2 + (98 - 100)2 + (100 - 100)2 + (100 - 100)2 +
2

7 (103-100) ]=3,
2

1 s 乙 = 6 [(99 - 100)2 + (100 - 100)2 + (102 - 100)2 + (99 - 100)2 + (100 - 100)2 +
2

(100-100)2]=1.

2 (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 s2 甲>s乙,所以乙机床加工

零件的质量更稳定.

1.计算标准差的五个步骤: (1)算出样本数据的平均数 x . (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:xi- x (i=1,2,3,?,n). (3)算出(2)中 xi- x (i=1,2,3,?,n)的平方. (4)算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差. (5)算出(4)中方差的算术平方根,即为样本标准差.

2.标准差(方差)的两个作用: (1)标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离 散程度越小. (2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相 等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.

[再练一题] 2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们的 最大速度(单位:m/s)的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试估计两人最大速度的平均数和标准差,并判断他们谁更 优秀.

【解】
2

1 198 x 甲=6×(27+38+30+37+35+31)= 6 =33,

1 s 甲 = 6 ×[(27 - 33)2 + (38 - 33)2 + (30 - 33)2 + (37 - 33)2 + (35 - 33)2 + (31 - 94 33) ]= 6 ,s 甲=
2

94 6 ≈3.96,

1 198 x 乙=6×(33+29+38+34+28+36)= 6 =33, 1 s 乙 = 6 ×[(33 - 33)2 + (29 - 33)2 + (38 - 33)2 + (34 - 33)2 + (28 - 33)2 + (36 -
2

76 33) ]= 6 ,s 乙=
2

76 6 ≈3.56.

由以上知, 甲、 乙两人最大速度的平均数均为 33 m/s, 甲的标准差为 3.96 m/s, 乙的标准差为 3.56 m/s,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙的成绩 比甲的成绩更稳定,故乙比甲更优秀.

[探究共研型]
数据的数字特征的综合应用
探究 1 在一次人才招聘会上,有一家公司的招聘员告诉你“我

们公司的收入水平很高”“去年,在 50 名员工中,最高收入达到了 100 万,他们年收入的平均数是 3.5 万”.如果你希望获得年薪 2.5 万元,你是 否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者?

【提示】

这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点,即可以

是中位数、平均数或众数,若是平均数,则需进一步了解企业各类岗位收入的 离散情况.

探究 2 极差与方差是怎样刻画数据离散程度的?

【提示】

方差与极差越大,数据的离散程度就越大,也越不稳定,数值

越小,离散程度就越小,越稳定.

在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表: 分数 人 数 甲组 乙组 50 2 4 60 5 4 70 10 16 80 13 2 90 14 12 100 6 12

已经算得两个组的平均分都是 80 分.请根据你所学过的统计知识,进一步 判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
【精彩点拨】 解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析.

【自主解答】

(1)甲组成绩的众数为 90 分,乙组成绩的众数为 70 分,从

成绩的众数比较看,甲组成绩好些. 1 (2) x 甲= (50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+ 2+5+10+13+14+6 1 100×6)=50×4 000=80(分), 1 x 乙= (50×4 + 60×4 + 70×16 + 80×2 + 90×12 + 4+4+16+2+12+12 1 100×12)=50×4 000=80(分).

1 s 甲= [2×(50 - 80)2 + 5×(60 - 80)2 + 10×(70 - 80)2 + 2+5+10+13+14+6
2

13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172, 1 s 乙= [4×(50 - 80)2 + 4×(60 - 80)2 + 16×(70 - 80)2 + 4+4+16+2+12+12
2

2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
2 ∵s2 甲<s乙,∴甲组成绩比乙组成绩稳定,故甲组好些.

(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分.其中甲组成绩在 80 分以 上(包括 80 分)的有 33 人,乙组成绩在 80 分以上(包括 80 分)的有 26 人.从这一 角度看,甲组的成绩较好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于 90 分的有 20 人,乙组成绩大于等 于 90 分的有 24 人,∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的 人数比甲组得满分的人数多 6 人.从这一角度看,乙组的成绩较好.

要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要 的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好 .像 这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本例的“满分人数”;其次要在 恰当地评估后,组织好正确的语言做出结论.

[再练一题] 3.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情况如图 141 所示:

图 141

(1)请填写下表: 平均数 中位数 命中 9 环以上的次数(含 9 环) 甲 乙 (2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些? ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看,谁的成绩好些? ③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力? 7

【解】

(1)由图可知,甲打靶的成绩为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为

9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 甲的平均数是 7,中位数是 7.5,命中 9 环及 9 环以上的次数是 3; 乙的平均数是 7,中位数是 7,命中 9 环及 9 环以上的次数是 1. (2)由(1)知,甲、乙的平均数相同. ①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好. ②甲、乙的平均数相同,甲命中 9 环及 9 环以上的次数比乙多,所以甲成绩较 好. ③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜 力.

1.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数,中位数和众数的 大小关系是( )

A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数
【解析】 可得该组数据的平均数、中位数和众数均为 50. 【答案】 D

2.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1,则 样本方差为( A. 6 5 ) 6 B.5 C. 2 D.2

1 【解析】 ∵样本的平均数为 1,即5×(a+0+1+2+3)=1,∴a=-1,∴ 1 样本方差 s =5×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
2

【答案】 D

3.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图如图 142 所示,则 这组数据的中位数和平均数分别是( )

图 142 A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5 B.91.5 和 92 D.92 和 92

【解析】 将这组数据从小到大排列, 得 87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数 x 87+89+90+91+92+93+94+96 91+92 = =91.5,中位数为 2 =91.5. 8

【答案】 A

4.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的 方差 s2=________.
【解析】 10+6+8+5+6 该组数据的平均数为 =7, 5

2 2 2 2 2 ? 10 - 7 ? + ? 6 - 7 ? + ? 8 - 7 ? + ? 5 - 7 ? + ? 6 - 7 ? 16 2 方差 s = =5. 5

16 【答案】 5

5.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况.

【解】

1 (1) x 甲=10(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环).

1 x 乙=10(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环). (2)由方差公式 1 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] 可求得 s2 甲=3.0(环),s2 乙=1.2(环). (3)∵ x 甲= x 乙,s2 甲>s2 乙,∴乙战士的射击成绩较稳定.

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