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杨辉三角与二项式系数的性质ppt_图文

复习提问
1.二项式定理的内容

(a+b)n=

1 n-1 k n-k k n n n Cna +Cna b+…+Cna b +…+Cnb

0

右边多项式叫(a+b)n的二项展开式;
2.二项式系数:

C , C , C ,?C ,?C

0 n

1 n

2 n

r n

n n

3.二项展开式的通项Tk+1=

C a
k

k n

n?k

b

k

(b+a)n,(a-b)n的通项则分别为:

Tk ?1 ? C b
k n

n ?k

a ;Tk ?1 ? C a
k n

n ?k

(?b)

k

4.在定理中,令a=1,b=x,则

(1 ? x) ? C ? C x ? C x ? ?? C x ? ?? C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n

n

新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
(a+b)5 (a+b)6
1 0 C1 C1
0 1 2 C2 C2 C2

1 1 1 1 1 5 4 3 6 2

1 1 3 4 5 6 1 1 1 1

0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
1 2 3 4 C C0 C C C 4 4 4 4 4

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 1 C6

10 10

6 15 20 15

1 1 2

1 1

观察:结合上表,你 能从图中感受、发现 哪些规律呢?
1

1
1 1 5 4

3
6

3
4

1
1 5 6 1 1

10 10

6 15 20 15

总结提炼1:
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
1 1 1 1 4 4 3 6 6 10 10 10 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1

例如:2+1=3

4+6=10 C C
0 1 1 1
1 2 0 因为: C C + C2 C C 22=C 22 3=

1 1 6

5

5
6

1
1
C

3 2 1 2 0 1 2 3 10 C = + C = 4 4 5 CC C C C 3 3 3 3
1 2 2

15

20 15

0 4

C

C c c =C c +
r-1 1 n 4
2r 4n

r 3 n+1 4

4 C4

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5
0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

总结提炼2:

Cn ? Cn
m

n? m

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行——— 第2行—— 第3行—第4行— 第5行-第6行0 1 C1 C1
0 1 2 C2 C2 C2

1

1 2 1 3 6 4 1 1 1 1

对称
1 1 1 1

1 3 4

0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
3 0 1 2 4 C4 C4 C4 C4 C4

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

5 10 10 5 6 15 20 15 6

《 杨辉 三角 详 解 九 杨 章 算 辉 法 》 记 载 的 表 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角, 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪 (约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我 国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

知识探究3:
(a+b)1 (a+b)2
C
0 2
0 1

C
1 2

1 1

1 1
2 2

C C C
C C
0 3 1 3

1
3 3

2

1

(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n

C

2 3

C

1
1 1 4

3 3
6 4

1
1 1 1

1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4
3 4 5 2 1 C0 C C C C C 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 6 C0 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cn

5 10 10 5

6 15 20 15 6

当n为偶数如2、4、6时,中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时,中间两项最大

最大项与增减性
增减性的实质是比较 C 与C n! n? k ?1 n! n ? k ? 1 k ?1 k Cn ? ? ? ? ? Cn k !? (n ? k )! k (k ? 1)!? (n ? k ? 1)! k n ? k ?1 k k ?1 所以Cn 相对于Cn 的增减情况由 决定. k
k n k ?1 n 的大小.

二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。

n ? k ?1 n ?1 ?1 ? k ? k 2 n ?1 可知,当 k ? 时, 2

知识探究3:

函数角度:

C

f(r),其定义域是{0,1,· · · ,n}。

r n 可以看成以r为自变量的函数

图象法解释
r ①当n=6时,二项式系数 C( 0≤r≤6)用图象表示: 6

f(r)

20
14
①关于r=n/2对称
②r=4时取得最大值

7 个
孤 立 的 点

6 r

O

3

6

图象法解释
f(r)
20

f(r)
35 30

n为偶数; 如n=6

n为奇数; 如n=7

15

20

10
6 1 O O

n 2

n

r

3 n4
2

7

n

①关于r=n/2对称

②r=3和r=4时取得最大值

总结提炼3:
1
1 1 3 2 3

n是偶数时,中间的一项 C n 取得最大值;

n 2

1
1 1

当n是奇数时,中间的两项 Cn n?1 和 Cn2 相等,且同时取得最大 1 4 6 4 1 值。 1 5 10 10 5 1
1

n?1 2

6 15 20 15

6

1

知识探究4:

1 1 1 2 1

二项式系数求和: 1

2 2

0 1 2

1

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
0 n 1 n 2 n

2 4 8 16 32 64
n n n

2 3 2 4 2 2 2
5 6

猜想 : C ? C ? C ....... ? C ? 2

求证 : C ? C ? C ....... ? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n

证明:

在(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
令a=b=1,则 2 ? C ? C ? C ?
n 0 n 1 n 2 n

…+

?C ?
r n

?C

n n

启示:在二项式定理中a,b可以取任意数或代数式,
因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值,是解决 二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。

进一步思考: (2)试证明在(a+b)n的展开式中,奇

数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和. 0 2 1 3 n?1

Cn 即证:

? Cn ?
n

? Cn ? Cn ?
1 n?1 n
2 n

?2

证明:在展开式C 0a n
n
0 n

?C a
1 n

b?
3 n 1 n

?C b

n n 中 n
n n n

令a=1,b=-1得

(1 ? 1) ? C ? C ? C ? C ? ? (?1) C 0 2 3 即0 ? ? C n ? C n ? ? ? ? C ? C n ? ? 0 2 1 3 ?Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ???

赋值法
在二项式定理中,常对a,b赋予一些特定的值 1,-1等来得到所求结果,通过这样赋值, 可以得到很有用的结果。

赋值法的应用
? 课堂精练

已知(1 ? 2 x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?

? a6 x 6 ? a7 x 7

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? a6 x ? a7 x 求: (1)a0 (2)a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7 7 解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x) 7 即f (0) ? (1 ? 2 ? 0) ? 1, (1)令x ? 0
7 2 6

7

(2)令x ? 1

?a0 ? f (0) ? 1

展开式右边即为a0
7

a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (a0 ? a1 ? ? ? a7 ) ? a0 ? f (1) ? f (0) ? ?1 ? 1 ? ?2

f (1) ? (1 ? 2 ? 1) ? ?1 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

例2

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ?
7 2

(3)a1 ? a3 ? a5 ? a7 7 解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)
(3)

? a6 x ? a7 x
6

7

f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? a7 f (?1) ? a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ? a7
7

?2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? f (1) ? f (?1)

f (1) ? f (?1) ?1 ? 3 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? 2 2
=-1094

(4)2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? f (1) ? f (?1)
所以:

a0 ?a2 ?a4 ?a6 ?1093

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 1093? ( ?1094 ) ? 2187

1.研究斜行规律:
第一条斜线上:

1+1+1+1+1+1=6 ? C
第二条斜线上: 1+2+3+4+5=15 ? C

1 6

2 6 3 6

1+3+6+10=20 ? C 第三条斜线上: 第四条斜线上:1+4+10=15 ? C 64

猜想:在杨辉三角中,第m条斜线(从右上到左下) 上前n个数字的和,等于 第m+1条斜线上的第n个数.

C C C C C r r r r r ?1 C r ? C r ? 1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ?1 ? C n
C

1 (第1条斜线 ) n 2 1+2+3+ ...+ 1 = (第2条斜线 ) n n ?1 3 2 1+3+6+ ...+ = (第3条斜线 ) n n ?1 4 1+4+10+ ...+ 3 = (第4条斜线 ) n n ?1

1+1+1+ ...+1=

C

(n>r)

从第三个数起,任一数都等于前两个数的和; 2.如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律? 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行

1
1 1

1 1 1 4 3

2 3 6

1 1 4 1

第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Sn?2 ? Sn?1 ? Sn (n ? 2)

……

小结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值,然后解方程组整体求解

练习( : 1? x ? x ? x ) 的展开式中奇次项
2 3 4

系数和是 ______
分析 : 设f ( x) ? (1 ? x ? x ? x )
2 2 12 3 4

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ... ? a12 x 4 f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? a12 ? 4 f (?1) ? a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ? a12 ? 0 思考: 7 (1? 2x) 展开式中求 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7

0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考1求证: (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? (Cn ) ? C2 n. 略证:由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,两边展开 后比较xn的系数得:

C C ?C C
0 n n n 1 n

n ?1 n n n

?C C
2 n 0 n

n? 2 n

?

?C

n ?1 n

C ?C C ?C
1 n

n 2n

m n? m 再由 Cn 得 ? Cn

(C ) ? (C ) ? (C ) ?
0 2 n 1 2 n 2 2 n

? (C ) ? C .
n 2 n n 2n

C ? 2C ? 3C ? ? ? n ?1? C ? ? n ? 2? ? 2 思考2求证: 0 1 2 n 证明:∵ 2 ?Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? n ? 1? Cn ? ? ?
0 n 1 n 2 n n n

n?1

? C ? 2C ? 3C ?
0 n 1 n 2 n

? ? n ? 1? C ?
n n n ?1 n

? n ? 1? C

? ? n ? 2? ? 2

? ? n ? 2? ? (C ? C ? C ?
0 n 1 n 2 n
n

0 n

? nC ?
1 n

2?C

?C

n n

?C )
n n

0 1 2 ?Cn ? 2Cn ? 3Cn ?

n ? ? n ?1? Cn ? ? n ?1? ? 2n?1

倒序相加法


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