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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2012.12.13(2)_图文

三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)

复习回顾:
1、一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零 常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x)=f(x+T),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零 常数T叫做这个函数的周期.

2、正弦函数和余弦函数都是周期函数, 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期。最小正周 期是2π. 3、函数y=Asin(ωx+φ),x∈R 函数y=Acos(ωx+ φ),x∈R
(其中A,ω, φ为常数且A≠0,ω>0)的周期为

2? T? |? |

3π π/2

二.奇偶性
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

(1) f ( x ) ? sin x , x ? R 定义域内任意一个x ? R,都有 f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 y
1

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(2) f ( x ) ? cos x , x ? R 定义域内任意一个x ? R,都有 f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x ? f ( x ) ? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

三.定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x

定义域:R 值域:[-1,1] y
1
? 2
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
0 ?| sin x |≤ 1 0 ?| cos x |≤ 1

练习
? 下列等式能否成立?
(1)2cos x ? 3

3 ?1 cos x ? 2

×


(2)sin x ? 0.5
2

sin x ? ? 0.5 ? [?1,1]

例1.求下列函数的定义域和值域。

定义域

值域
[2,4]

(1) y ? 3 ? sin x

R

正弦、余弦函数的图像和性质
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域: x?R 值 域: y?[ - 1, 1 ] y=cosx (x?R) 周期性: T = 2?
y
1 -2? -?

奇偶性:正弦函数是奇函数,
余弦函数是偶函数
? 2? 3? 4? 5? 6?

-4?

-3?

o
-1

x

四.最值
探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2 k ? 时, 有最小值 y ? ?1 ? 2 k ? 时,

最小值:当x

??

?
2

探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x ? 0 ? 2 k ? 时, 有最大值 y ? 1
x ??

最小值:当

? 2 k?

有最小值 y 时,

? ?1

四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)
? 2? 3? 4? 5? 6?

o
-1

? 当且仅当 x ? ? 2 k ? ,( k ? Z )时, (sin x ) max ? 1; 2 ? 当且仅当 x ? ? ? 2 k ?,( k ? Z )时, (sin x ) min ? ? 1 . 2

x

当且仅当 x ? 2 k ? , ( k ? Z ) 时 , (cos x ) max ? 1;
当且仅当 x ? ? ? 2 k ? , ( k ? Z ) 时 , (cos x ) min ? ? 1 .
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

y ? cos x( x ? R)

x

例3.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: 这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最大值的x的集合

{x | x ? 2k? , k ? Z}
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最小值的x的集合

{x | x ? (2k ? 1)? , k ? Z} 函数 y ? cos x ? 1, x ? R 的最大值是1+1=2;最小值是
-1+1=0.

练习.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: (2)令t=2x,因为使函数y ? ?3sin t , t ? R 取最大值的t的集合是 ? {t | t ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 ? ? 由 2 x ? t ? ? ? 2k? 得 x ? ? ? k? 2 4 所以使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值的x的集合是

4 同理,使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取最小值的x的集合是 4 函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值是3,最小值是-3。 {x | x ?

{x | x ? ?

?

? k? , k ? Z }

?

? k? , k ? Z }

例题
求使函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?

2 自变量的集合,并写出最大值、最小值。 y
1

) 取得最大值、最小值的

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

分析:令 z ? 2 x ?

?
化未知为已知

2 则 y ? 3 sin z

五、探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

? 3 5 … [ ? 5? , ? 3? ]、 ? , ]、 ? ,? ]…上时, [? [ 当 在区间

x

2

2

2 2

2

2

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [ ? [ [ 当x在区间 … [ ? , ? ]、? , ]、 , ]、 , ] … 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到 ? 1 。

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

? ? 正弦函数在每个闭区间[ ? ? 2 k? , ? 2 k? ]( k ? Z ) 2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2 k ? , ? 2 k ? ]( k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[ 0] [? 2 当x在区间? [ ? 3? , ? 2? ]、? ? , 、 ,? ][3? , 4 ? ] ?上时,

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 [2 3 当x在区间 ? [ ? 2? , ? ? ]、 , ? ]、 ? ,? ] ? 上时,

曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[ k

? 2? ? ? , 2 k ? ]都是增函数,

其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2 k ? , 2 k? ? ? ] 上都是减函数, 其值从1减小到-1。

学以致用

例3 比较下列各组数的大小:

? ? (1) sin( ? )与 sin( ? ); 18 10
23? 17 ? (2) cos( ? )与 cos( ? ). 5 ?

1 ? 例4:求函数y ? sin( x ? )的单调递增区间。 2 3 1 ? ? ? 解:令t= x ? ,函数y ? sin t的单调递增区间是[? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 2 3 2 2
? 1 ? ? 由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , 2 2 3 2 5? ? 得? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z . 3 3

1 ? 5? ? 则函数y ? sin( x ? )的单调递增区间是[- +4k? , +4k? ],k ? Z。 2 3 3 3

? ? 1 ? 解:令t= x ? ,函数y ? sin t的单调递增区间是[? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z 2 2 2 3

1 ? 例4:求函数 y ? sin( x ? ), x ? [ ?2? , 2? ]的单调递增区间。 2 3

? 1 ? ? 由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , 2 2 3 2 5? ? 得? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z . 3 3 5? ? 设 A ? [ ? 2? , 2? ], B ? { x | ? ? 4 k ? ? x ? ? 4 k ? , k ? Z .} 3 3 5? ? 易知 A ? B ? [ ? , ]. 3 3 1 ? 5? ? 则函数 y ? sin( x ? ), x ? [ ? 2? , 2? ]的单调递增区间是[- , ]。 2 3 3 3

练习
? P40 练习1
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

(1)sinx > 0 : (0 ?2k? , ? ?2k? )

k?Z k?Z

(2)sin x ? 0 :( ?? ?2k? , 0 ?2k? )

y

1

(1)cos x ? 0 : (2)cos x ? 0 :

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

(?

?
2

? 2

O

?

?

?2k?

?1

,

?
2

2

3? 2

2?

5? 2

3?

x

?2k? ) ?2k? )

k?Z k?Z

3? ( ?2k? , 2 2

?

六、正弦、余弦函数的对称性
y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)
?

? y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ? , k ? Z ; 2
-1

o

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx的图象对称中心为: ( k ? ,0 ), k

? Z.

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期. y=cosx的图象对称轴为:

? y=cosx的图象对称中心为:( k ? ? , ), k ? Z . 0 y 2 1
-4? -3? -2? -?

x ? k?, k ? Z ;
2?
3? 4?

o
-1

?

5?

6?

y ? cos x( x ? R)

x

练习

? 为函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴的是( )
3
4? A. x ? ? 3 B. x ?

?

?
2

C.x ?

?
12

D. x ? 0

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数 增函数 减函数

周期
对称性

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2

正弦函数、余弦函数的性质 习题课

2.函数 A.π C.4π

? x π? y=cos?-2+4?的最小正周期为( ? ?

)

B.2π π D.2

? [答案] C

二、填空题 7.函数 ________.
?π ? y=2cos ?3-ωx? 的最小正周期是 ? ?

4π,则 ω=

[答案] [解析]

2π 1 1 ∵T= =4π,∴|ω|= ,∴ω=± . 2 2 |-ω|

1 ± 2

1 π 2.函数 y=3sin(ωx+φ)(ω>0)的周期为3,则 ω 的值 为
6

.

? 5.下列函数中,奇函数的个数为
? ? ? ? ? ? ?( ) ①y=x2sinx; ②y=sinx,x∈[0,2π]; ③y=sinx,x∈[-π,π]; ④y=xcosx. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [答案] C [解析] ∵y=sinx,x∈[0,2π]的定义域不 关于原点对称,∴②不是奇函数, ①、③、④符合奇函数的概念.

函数

?3x 3π? f(x)=sin? 4 + 2 ?的奇偶性为 ? ?

(

)

? A.奇函数 B.偶函数 ? C.非奇非偶函数 D.以上都不对 ? [答案] B

练习

? 求 y ? sin(2 x ? ) 函数的对称轴和对称中心
3

?

解(1)令

z ? 2x ?

?
3



y ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin z

y ? sin z
2x ?

的对称轴为 z ?
?
3 ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

练习:求下列函数的定义域、值域

(2) y ? ?3sin x
解(2):∵-3sinx ≥0 ∴sinx ≤0 ∴定义域为 {x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z} 又∵-1≤sinx ≤0 ∴值域为
[0, 3]

∴0≤-3sinx ≤3

例3 求下列函数的最值. 、 (1) y ? (2 ? sin x)(3 ? sin x)
(1) ? y ? ? sin 2 x ? sin x ? 6 1] 令t ? sin x ? [?1, 2 则y ? ?t ? t ? 6 1 2 25 ? ?(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 4 1 1 25 ?当t ? 即sin x ? 时,ymax ? 2 2 4 当t ? ?1即sin x ? ?1时,ymin ? 4

ex4、求函数y ? 1 ? 2 sin 2 x ? 6 cos x的最值. 2 解: y ? 1 ? 2(1 ? cos x) ? 6 cos x ? ? 2 cos 2 x ? 6 cos x ? 1
令t ? cos x ?[?1, 1]
3 2 11 则y ? 2t ? 6t ? 1 ? 2(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 2 ?当t ? 1即cos x ? 1,x ? 2k? (k ? Z )时,ymax ? 7
2

当t ? ?1即cos x ? ?1,x ? 2k? ? ? (k ? Z )时,ymax ? ?5

练习 求下列函数的单调区间:
4 ? ? ? 解:由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 ? 3? 得k? ? ? x ? k? ?
3? ? 所求单调增区间为[k? ? , k? ? ], k ? Z 8 8 ? ? 3? 由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 3? 7? 得k? ? ? x ? k? ? 8 8 3? 7? ?所求单调递减区间为[k? ? , k? ? ], k ? Z 8 8

(2) y ? 3sin(2 x ?

?

)

8

?

8

练习

1 ? ? 求 y ? cos( x ? ) 函数的对称轴和对称中心 2 4


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