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历年全国各省高考真题详解汇编(函数与导数)


函数与导数
1. 如果函数 f ? x ? ?

1 1 ? , 2 单调递减, ? m ? 2 ? x2 ? ? n ? 8? x ?1? m ? 0,n ? 0? 在区间 ? ? 2 ?2 ? ?

则 mn 的最大值为(15 四川) (A)16 (B)18 (C)25 (D)

81 2

【问题】则 mn 的最大值为-------求最值。 【条件翻译】1、

2 单调递减,可得出 f ? ? x ? ? 0 。2、函数在区间 ? , ; 2 ?

?1 ?

? ?

1 f ' ( ) ? 0 , f ' (2) ? 0 。 即 即 2
。所以可以利用可行域来求最值。 【关键词】单调递减 最大值



,又因为

令 Z=MN,若要相乘值最大,那么 N、M 的值就应该越接近一样大。经验证, m ? 3, n ? 6 满足条件。故选 B 。

2 上恒成 【错误解析】由 f ? x ? 单调递减得: f ? ? x ? ? 0 ,故 ? m ? 2? x ? n ? 8 ? 0 在 ? , 2 ? 2 上的图像是一条线段。故只须在两个端点处 立。而 ? m ? 2? x ? n ? 8 是一次函数,在 ? , 2 ? ?1 ? ? ?

?1 ?

? ?

?1? ? m?n? f ? ? ? ? 0, f ? ? 2 ? ? 0 即可。由 2 ? ?1? ? ? 2? 得: m ? n ? 10 。所以, mn ? ? ? ? 25 . ?2? ? 2 ?
选 C。经验证, m ? 3, n ? 6 满足条件 ?1? , ? 2 ? 。故选 B 。

2

【错误原因】 mn 当且仅当 m ? n ? 5 时取到最大值 25 ,而当 m ? n ? 5 , m, n 不满足条件

?1? , ? 2? 。
【解法 2 】同前面一样 m, n 满足条件 ?1? , ? 2? 。由条件 ? 2 ? 得: m ?
2

1 ?12 ? n? 。于是, 2

1 1 ? n ? 12 ? n ? mn ? n ?12 ? n ? ? ? ? ? 18 。mn 当且仅当 m ? 3, n ? 6 时取到最大值 18 。经 2 2? 2 ?
验证, m ? 3, n ? 6 满足条件 ?1? , ? 2 ? 。故选 B 。 【解题技巧】1.解题方法:根据问题为求最大值,求最大值,最小值常用的方法:①定义法, 即单调性的判断,②导数法。利用导数求出在区间内的最值,③不等式求最值法。即

ab ?

a?b a 2 ? b2 来求解。但这到题中含相关未知数的的式子(即含 M、N 的式子) ? 2 2

为不等式(其他解题方式均为等式) ,最好用可行域来做不容易出错。 在考试中我们有可能想不到这么多, 那么我们要养成一种习惯: 将解出的答案带到条件 中(如此题中 ?1? , ? 2 ? ) 去验证,看是否符合题意。

21. (本小题 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?2 ? x ? a ? ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a , 其中 a ? 0 。 (15
2 2

四川) (1)设 g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数,讨论 g ? x ? 的单调性; (2)证明:存在 a ? ? 0,1? ,使得 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 内恒成立,且 f ? x ? ? 0 在区间

?1, ??? 内有唯一解。
问题(1) : 【问题】讨论 g ? x ? 的单调性。 【条件翻译】 1、a ? 0 。 可得出 2、g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数, 的单调性,还需要对 g ? x ? 义域 x>0。 【关键词】求导 解: (1) f ? x ? ? ?2 ? x ? a ? ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a
2 2

。 则要讨论

进行求导。但要注意,在求导时应该求出定义域的范围。此题定

? g ? x ? ? f ' ? x ? ? ?2 ln x ? 2 ?

2a ? 2 x ? 2a ? a ? 0, x ? 0 ? x

2 ? x2 ? x ? a ? ?2 2a ? g '? x? ? ? ?2? ? a ? 0, x ? 0? x x2 x2
大于 0 货小于 0 时,x 的取值范 走到这一步,我我们还需要设一个函数,以此来讨论 围和 a 的取值范围。 。 令 H(x)= 当Δ <0 时,a>

1 , 4 H(x)>0,

>0, g ? x ? 在定义域内单调递增。

当Δ =0 时,a=

1 1 , 4 H(0)>0,对称轴为 x= 2 ,所以 1 1 , 4 H(0)>0,对称轴为 x= 2 ,所以

≥0, g ? x ? 在定义域内单调递增。

当Δ >0 时,a<

在定义域内有增有减。求出根为

x1 ?

1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? ? ? 0, ? , x2 ? ? ? ,1? 2 2 ? 2? ?2 ?
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时单调递增。 ,x ? 2 2

所 ,



g ? x?



0? x?

综上所述,当 a ? 当 0?a?

1 时, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增。 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 1 时 , g ? x ? 在 (0, ), ( , ??) 上 单 调 递 增 , 在 2 2 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a ( , ) 上单调递减。 2 2
问题(2) : 问题】讨论 g ? x ? 的单调性------恒成立 【条件翻译】1、存在 a ? ? 0,1? ,使得在 f ? x ? ? 0 区间 ?1, ?? ? 内恒成立,可得出应该求出

f ? x?

的导数在

?1, ??? 是否递增,并且证明,

恒成立 【关键词】

由(1)得 f ' ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 内单调递增。且

f ' ?1? ? ?2 ? 2a ? 2 ? 2a ? ?4a ? 0 , f ' ? ??? ? 0 。由零点存在性定理得存在唯一
x0 ? ?1, ??? 使得
f ' ? x0 ? ? ?2ln x0 ? 2 ? 2a ? 2 x0 ? 2a ? 0 ①。 x0

所以 f ? x ? 在 (1, x0 ) 上单调递减, ( x0 , ??) 上单调递增。 所以满足 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 内有唯一解只需满足 f ? x ?min ? f ? x0 ? ? 0 即可。

f ? x0 ? ? ?2 ? x0 ? a ? ln x0 ? x02 ? 2ax0 ? 2a2 ? a ? 0 ,将①带入化简得:
3 2a 2 ? ? 5 x0 ? 2 x0 2 ? a ? ? x0 ? 2 x0 2 ? ? 0

? 2a ? x0 ? ? a ? x02 ? 2 x0 ? ? 0
a? x0 , a ? 2 x0 ? x0 2 2

当a?

x0 ?1 ? ( x0 ? 1) 时,此时①变形为 2a ? 2 ln 2a ? 3 ? 0 ,在 ? ,1 ? 上有解。令 2 ?2 ?

2 2a ? 2 h ? a? ? 2 a ? 2 ln 2a ? 3, ,h ? ' a ? ? 2? ? a a
所以 h ? a ? 在 ? 0,1? 上单调递减。 h ?

?1? ? ? 1 ? 3 ? 0 不满足。 ?2?
2

当 a ? 2 x0 ? x0 2 时,此时①变形为 2 x0 ? 2ln x0 ? 6 ? 0 在 ?1, 2 ? 上有解。 不妨设 h( x0 ) ? 2 x0 ? 2ln x0 ? 6, h ' ? x0 ? ? 4 x0 ?
2

2 4 x02 ? 2 ? x0 x0

所 以 h( x0 ) 在 ?1, 2 ? 上 单 调 递 增 。 h(1) ? ?4, h ? 2? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 。 所 以

2x02 ? 2ln x0 ? 6 ? 0 在 ?1, 2 ? 上有解。
所以结论得证。 【解题技巧】这是最后一道题,只要不发挥失常,第一个问时比较简单的,第二问也不难。 所以考生应沉着应对考试,拿到试卷时,别慌忙做题,先看看最后几道题的难易程度,再下 笔。

1.解题方法:第一问求单调性,常用的有两种方法:定义法和导数法,但常用导数 法。第一问应该求两次导。第二问求是否函数再规定的定义域内有几个解,第一种方式:求 出单调区间,就可以判断。第二种方式(仅适用于唯一解) :求出导数,判断区间的两个端 点值相乘是否小于零。 函 数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x 2 ? 2ax ? 2a 2 ? a, 其中a ? 0. ② 2 题干条件:① 翻译条件得求函数的导数。③存在 g ( x)是f ( x)的导函数,讨论g( x)的单调性;

a ??0 , 1 ? ,使得 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ??? 内恒成立,且 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ??? 内有唯一
解。翻译条件得应求出函数的导数,判断函数的单调性和最值。 3.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上(14 年四川) 所有的点 A.向左平行移动

1 个单位长度 2

B.向右平行移动

1 个单位长度 2

C.向左平行移动 1 个单位长度 【答案】A

D.向右平行移动 1 个单位长度

【解析】因为 y ? sin(2 x ? 1) ? sin[2( x ? )] ,故可由函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的 点向左平行移动

1 2

1 个单位长度得到 2

【关键词】平移 【解题技巧】

9.已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) 。现有下列命题: (14 年四川) ① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( 的序号是 A.①②③ 【答案】B 【解析】 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) 故①正确 B.②③ C.①③ D.①②

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题 x ?1
2

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln

1? x ? 1? x

2x 1? 2 2x x ? 1 ? ln(1 ? x ) 2 ? 2 ln 1 ? x ? 2 f ( x) f ( 2 ) ? ln 2x x ?1 1? x 1? x 1? 2 x ?1

当 x ? [0,1) 时, | f ( x) |? 2 | x |? f ( x) ? 2 x ? 0 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2 x ( x ? [0,1) ) 因为 g ?( x) ?

1 1 2 x2 ? ?2? ? 0 ,所以 g ( x) 在 [0,1) 单增, 1? x 1? x 1 ? x2

g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? g (0) ? 0
即 f ( x) ? 2 x ,又 f ( x) 与 y ? 2 x 为奇函数,所以 | f ( x) |? 2 | x | 成立故③正确 【解题技巧】在解有关对数的题时,首先应求出定义域(本题已给出) ,注意解命题三 所用的方法:将两个函数合并成一个函数,求出导数,然后判断在定义域内的单调性,这种 方法适用于求恒成立问题或多个函数在一起时求最值: 将所求的未知数放在一边, 其他的放 在另一边,将其设为一个函数即可。 12.设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ? [?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? 2 0 ? x ? 1, ? x,
【答案】 1 【解析】 f ( ) ? f ( ? ) ? ?4 ? (? ) 2 ? 2 ? 1 【关键词】求周期

。 (14 年四川)

3 2

1 2

1 2

【解题技巧】在解有关周期的题时,要知道如何求周期公式,见【常备考点】 。 14.设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是 【问题】 | PA | ? | PB | 的最大值---------求最值 【条件翻译】1、两条直线斜率相乘为-1,即相互垂直。 (此为隐含条件,所以在平时做 。 (14 年四川)

题时要有怀疑条件还未找完的心态)2、过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 ,定点为(0,0).3、 过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 , 定点为 (1,3) .4、 相交于点 P ( x, y ) 。 则 是可以求出来的,那么利用均值不等式,这道题也就做完了。 【关键词】定点 最值

A(0, 0) , B(1,3) ,因为 PA ? PB ,所以 | PA |2 ? | PB |2 ?| AB |2 ? 10

| PA |2 ? | PB |2 故 | PA | ? | PB |? ) ? 5 (当且仅当 | PA |?| PB |? 5 时取“ ? ” 2

【解题技巧】要注意用来求最大值的方法有哪些。 16.已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

(14 年四川) )。

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 3 5 4 ? ? ? 2 k? ? 2 k? ? 解: (1)由 2k? ? ? 3 x ? ? 2k? ? ? ? ?x? ? 2 4 2 3 4 3 12 2 k? ? 2 k? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ ? , ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12
(2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ? (2) 【问题】求 cos ? ? sin ? 得值。

?

2k? ? 【条件翻译】1、 ? 是第二象限角,那 ? ? ? 2k?,

? ?

??

? 。2、 2?

? 4 ? f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? 3 5 4 ,一看到这种式子,第一想法肯定是将他化简。最终得出

? 8 ? ? sin(? ? ) ? cos 2 (? ? ) sin(? ? ) 4 5 4 4 。
第二象限角 【关键词】 由 f( )?

?

3

4 ? ? 4 ? cos(? ? ) cos 2? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? 5 4 4 5 4

因为 cos 2? ? sin(2? ?

?

) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) 2 4 4 4

?

?

?

所以 sin(? ?

?

8 ? ? ) ? cos 2 (? ? ) sin(? ? ) 4 5 4 4 (这一步要注意,不能直接将

约掉,而是要放在等式的一边,提取公因式 )

? 5 ) ? 0 或 cos 2 (? ? ) ? 4 4 8 ? ? 3? ①由 sin(? ? ) ? 0 ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ?Z ) 4 4 4 3? 3? 所以 cos ? ? sin ? ? cos ? sin ?? 2 4 4
又 ? 是第二象限角,所以 sin(? ? ②由 cos (? ?
2

?

?
4

)?

5 ? 5 1 5 ? cos(? ? ) ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 8 4 2 2 2 2 2
5 2 5 2

所以 cos ? ? sin ? ? ?

综上, cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ? 【解题技巧】第一问中, 将 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

) 括号中的代数式看成一个未知数,则

其单调区间则为 sin x 的单调区间。第二问则代入化简就成,在做有关三角函数的这类题型 时,一般是要先化简,一般切应该化弦,并且最终都化为 sin x 或 cos x 的形式才好做题,但 也有列外。 21.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828? 为自然对数的底数。
x 2

(14 年四川) (1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围 (1)解: 【问题】求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值---------求最值。 【条件翻译】1、 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求导数。2、函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小 值,得出应求 g ( x) 得导数,并得出区间 [0,1] 上的单调性。则 因为 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1
x 2

所以 g ( x) ? f ?( x) ? e ? 2ax ? b
x

又 g ?( x) ? e ? 2a ,因为函数
x x

为单调递增函数。
'

? ?当 g ( x) ? e ? 2a ? 0 ,即 g (0) ? 0 ,得出 a ? 2
函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单增, g min ( x) ? g (0) ? 1 ? b ?当

1

g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,因为函数

为单调递增函数。

g ' (1) ? 0 ,则 a ?

e 函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单减, g min ( x) ? g (1) ? e ? 2a ? b 2。

做到这儿, 这道题我们并没有做完, 这道题中没有给定 a 的范围, 那么它的范围应该属于 R。 所以 ③ ? a ? 若,则 1 ? 2a ? e , 2 当2 于是当 0 ? x ? ln(2a ) 时 g ?( x) ? e ? 2a ? 0 ,当 ln(2a ) ? x ? 1 时 g ?( x) ? e ? 2a ? 0 ,
x x

1

e

所以函数 g ( x) 在区间 [0, ln(2a)] 上单减,在区间 [ln(2a ),1] 上单增,

g min ( x) ? g[ln(2a)] ? 2a ? 2a ln(2a) ? b

1 ? 1 ? b , a ? , ? 2 ? 1 e ? ?a? , 综上: g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 g min ( x) ? ?2a ? 2a ln(2a ) ? b, 2 2 ? e ? ? e ? 2 a ? b, a ? 2 , ?

这第一小问才算完,所以要注意以后解这种含未知数的导数时,未知数的范围。 (2) 【问题】求 a 的取值范围。 【条件翻译】1、 f (1) ? 0 。2、函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,得出在 (0,1) 内,函数至 少有增有减。但 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 。所以若函数

f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,则函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间,才能有零

点存在。 由(1)知当 a ?

1 e 或 a ? 时,函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调,那么 f(x)也就 2 2

只能单调了。不可能满足“函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求。 (注 意:当做第二问时,第一问的答案或者一些条件也是可以用的) 若

1 e ? a ? ,则 g min ( x) ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 3a ? 2a ln(2a) ? e ? 1 , (如果 2 2
g (1) >0, <0, 且 g (0) >0, 那么就可以证明函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有三个单调区间) ,

那么现在就来证明 【关键词】有零点 令 x=2a

是否小于 0。

3 x ? x ln x ? e ? 1 ( 1 ? x ? e ) 2 1 1 则 h?( x) ? ? ln x 。由 h?( x) ? ? ln x ? 0 ? x ? e 2 2
令 h( x ) ? 所以 h( x) 在区间 (1, e ) 上单增,在区间 ( e , e) 上单减

hmax ( x) ? h( e ) ?

3 e ? e ln e ? e ? 1 ? e ? e ? 1 ? 0 即 g min ( x) ? 0 恒成立 2

? g (0) ? 2 ? e ? a ? 0 ?a ? e ? 2 ?? ? g (1) ? ? a ? 1 ? 0 ? ?a ? 1 又
所以,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间 又

1 e ?a? 2 2

所以 e ? 2 ? a ? 1

综上所述, a 的取值范围为 (e ? 2,1) 这种证明题一般都是对的。即有零点,所以在高考时,当你觉得证明 g min ( x) ? 0 有难 且 g (0) >0, g (1) >0。 度时货没有时间时,可以直接说它小于 0,再求

【解题技巧】在做第二问时,或者说在平时做题时,应该先想一想:在看了问题后,你 能够有什么方法解决这个问题,这个问题中可能有那些情况,不要求你面面俱到,但至少你 要大概的想出有啊些方法可以解决这个问题,这个问题分哪几种情况,在做完题后,再仔细 的检查一遍,看看有没有考虑遗漏的地方?

1 解题方法:在求证有没有零点的方法中,有一种方法最常用:那就是首先求出单调 区间,求出函数最值,判断最值的大小,或如果单调区间的两个端点的函数值相乘的积小于 零,那说明就有一个零点。 7.函数 y ?

x3 的图象大致是( 3x ? 1

) (13 年四川)

【答案】选 C

x2 【解析】 x ? 0 时, x ? 0,3 ? 1 ? 0, x ? 0 ,x>0 时,求导,根据函数单调性可知,选 3 ?1
2 x

C。 【解题技巧】1 解题方法:在解有关于图象的问题时,首先考虑用特殊值法;如果不行,则 在考虑用导数法或求出其单调区间。

10.设函数 f ( x) ? ex ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数) .若曲线 y ? sin x 上存在

( x0 , y0 ) (13 年四川)

使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] 【答案】选 A (B) [e ,1]
?1

) (C) [1,1 ? e] (D) [e , e ? 1]
?1

【解析】 因为 f ( f ( y0 )) ? y0 , 所以 y0 ? 0 , 又因为 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? sin x 上, 所以 y0 ? 1 所以问题转化为 f ( f ( x)) ? x 在 [0,1] 上有解, 由于 f ( f ( y0 )) ? y0 ,令 f ? y0 ? ? x ,则 f ?x? ? y0 ,那么

点?x, y0 ?在y ? x这条直线上,所以f ( x) ? y ? f ( x) ? x ? 0 [0,1] 上有解。 0 在
即 x ? e x ? x ? a ? a ? ? x 2 ? x ? e x , x ?[0,1]

令 g ( x) ? ? x ? x ? e , x ?[0,1] ,所以 g '( x) ? ?2 x ? 1 ? e ? 0, x ?[0,1]
2 x x

所以 a ? [1, e] 这种题你只要知晓解法就行,不必要泰国纠结做对还是做错,知识为了长长见识。 【解题技巧】这道题的难度太大,本题的解析里的关键在于反证法,但却不易想到,要想在 考场上做对这道题的难度很大,看了问题后,解题方法找不到,可能情况也不知道,但条件 却可以明确:①函数 f ( x) ? ex ? x ? a ( a ? R ,e 为自然对数的底数) ; ②曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 , 两个条件,第二个条件很重要。在考场上,如果找不

到解题方法和可能情况,那么一定要抓着重要条件不放,就有机会做出来。 14 .已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x ? 4 x,那么,不等式
2

f ( x ? 2) ? 5的解集是____________. (13 年四川)

【答案】 (?7,3) 【关键词】偶函数
2 【解析】当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ,解得 0 ? x ? 5 ,则 f ( x) ? 5 的解为 ?5 ? x ? 5

所以 f ( x ? 2) ? 5 ,即是 ?5 ? x ? 2 ? 5 ,即 ?7 ? x ? 3 定义域为 R 的偶函数。定义域关于 y 轴对称。画出图像一般都能 【解题技巧】题干条件: 解决。

未完待续。 。 。 。 。 。 请向我发消息,订购完整版。


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