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安徽省池州市东至二中2015-2016学年高一数学下学期第一阶段性测试题


东至二中 2015—2016 学年度第二学期开学第一测 数 学 试 题

一.选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 M ? {x x 2 ? x} , N ? {x x ? 1} ,则( ) A. M ? N C. M ? N ? R 2.函数 y ? A. (0, ) C. ( ,?? ) 3.计算: (log 3 2 ? log3 5) ? lg 9 ? ( A. 1 C. lg 3 ) B. 2 D. 2 lg 7 ) B. N ? M D. M ? N ? ?

1 log 2 (4 x ? 1)

的定义域为(



1 2

1 2

3 4 3 D. ( ,1) 4

B. ( ,?? )

4.已知扇形的弧长为 3 ,面积为 6 ,则这个扇形的圆心角的弧度数为(

3 A. 4
C. 2
1 2 1 2

3 B. 2
D. 4

5.设 a ? 0.5 , b ? 0.8 , c ? log 2 0.5 ,则 a , b, c 的大小关系是( ) A. c ? b ? a C. a ? b ? c 6.设 D 是 ?ABC 所在平面内一点, BC ? 3CD ,则( B. c ? a ? b D. b ? a ? c )

4 1 AB ? AC 3 3 1 4 C. AD ? ? AB ? AC 3 3
A. AD ? 7.将函数 y ? sin(4 x ? 个单

B. AD ?

?

1 4 AB ? AC 3 3 4 1 D. AD ? AB ? AC 3 3

6

纵坐标不变, 再向左平移 ) 图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,

?
4

位,所得函数的图像的一条对称轴方程可以是( A. x ? C. x ?

?

) B. x ?

?

?

12

3 1 8.函数 f ( x) ? log 2 x ? 的零点所在是区间是( x

6 ? D. x ? ? 12


-1-

1 2 C. (1,2)

A. (0, )

1 2 D. ( 2,4)
10 ,则 tan 2? ? ( 2
) B. ?

B. ( ,1)

9.已知 ? ? R ,且 sin ? ? 2 cos ? ? A. ? C.

3 4

3 3 或? 4 5

3 4 3 D. ? 5

10.设函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f (1) ? a ,若对任意 x ? R ,均有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,则 a 的值为( A. ? 1 C. 1 ) B. 0 D. 2

11.若函数 f ( x) ? log a (2x 2 ? x), (a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) 内恒有 f ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 的 单调递增区间是( A. (??,? ) C. (0,?? ) )

1 2

1 2

B. (? ,?? ) D. (??,? )

1 4

1 4

12.若函数 f ( x) 为 R 上的单调递增函数,且对任意实数 x ,都有 f [ f ( x) ? e x ] ? e ? 1 , (e 是 自然对数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A.4 C.2 ) B.3 D.1

二.填空题: (每小题 5 分,满分 20 分) 13.化简: (AC ? DP ? BA) ? (CP ? BD) ? 14.已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x, ( x ? 0) ?2 , ( x ? 0)
x

,则 f [ f ( )] ?

1 9

15.已知函数 f ( x) ? tan( x ? 两个交点之间的距离为

?

3

) ,一条与 x 轴平行的直线与函数 f ( x) 的图像相交,则相邻的
2 sin (2? ?

?
4

2 16.已知: cos ? ? sin ? ? ,则 3

) ?1
的值为

1 ? tan ?

三.解答题: (写出必要的文字说明,推理过程和演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? {x 3 ? 3 x ? 27} , B ? {x log 2 x ? 1} .
-2-

(1)求 (C R B) ? A ; (2)已知集合 C ? {x 1 ? x ? a} .若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在底角为 45 ? 的等腰梯形 ABCD 中, AB ? 3DC , M , N 分别为 CD, BC 的中点 . 设

AB ? a , AD ? b .
(1)用 a, b 表示 AM , AN ; (2)若 a ? 3 ,求 AM ? AN .

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos ?x, ( x ? R) 的最小正周期为 ? , ? 是大于 1 的常数. (1)求 ? 的值; (2)若 f (

?

2

?

?

12

)?

6 ? , ? ? (0, ) ,求 sin 2? . 5 2

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b, (a ? 0) 在区间 [2,3] 上的值域为 [1,4] . 设 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)若不等式: f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [ ?1,1] 上有解,求实数 k 的取值范围.

g ( x) . x

21.(本小题满分 12 分) 我国加入 W TO 后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近似 的满足 :y ? P( x) ? 2(1?kt)( x?b) , (其中 t 为关税的税率, 且 t ? [0, ) ,x 为市场价格,b , k 为正常数) ,
-32

1 2

当t ?

1 时的市场供应量曲线如图: 8
11? x 2

(1)根据如图,求 k , b 的值; (2)若市场需求量为 Q ,它近似满足 Q( x) ? 2 值.

,当 P ? Q 时的市场价格为市场平衡价格.

为使市场平衡价格控制在不低于 9 元,求税率 t 的最小

22.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1 , y1 ) 在单位圆 O 上,设 ?xOA ? ? ,且 ? ? ( (1)若 cos(? ?

? ?

?
3

)??

11 ,求 x1 的值; 13

, ). 6 2

(2)若 B( x2 , y 2 ) 也是单位圆 O 上的点,且 ?AOB ?

?
3

,过点 A, B 分别作 x 轴的垂线,垂足

为 C , D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积为 S 2 . 设 f (? ) ? S1 ? S 2 ,求函数 f (? ) 的最 大值.

东至二中 2015—2016 学年(下)开学第一测 高 一 数 学(参考答案) 一.选择题: A C B A B C A C B B A B
-4-

二.填空题: 13. 0 14.

1 4

15. ?

16. ?

5 9

三.解答题: 17.解:(1) A ? {x 3 ? 3 x ? 27} ? {x 1 ? x ? 3} , B ? {x log 2 x ? 1} ? {x x ? 2}

? C R B ? {x x ? 2} ,

? C R B ? A ? {x x ? 3}
当 C ? ? 时,可得 1 ? a ? 3

(2)? C ? {x 1 ? x ? a} ? A ? {x 1 ? x ? 3}

?当 C ? ? 时, a ? 1 ,

综上所述:实数 a 的取值范围是 a ? 3 .

18.解: (1) AM ? AD ? DM ? b ?

1 1 1 DC ? b ? AB ? a ? b 2 6 6 1 1 1 1 2 1 AN ? AB ? BC ? a ? ( BA ? AD ? DC ) ? a ? (?a ? b ? a) ? a ? b 2 2 2 3 3 2

(2)过 D, C 分别向 AB 左垂线,由平面几何可求得 b ? 2 因 a ? 3, ? a, b ?? 45? ,所以 a ?b ? 3 ? 2 ?

2 ?3 2

1 2 1 17 ? AM ? AN ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? 6 3 3 4
19.解: (1) f ( x) ? sin ?x ? 3 cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
3

)

? f ( x) 的最小正周期是 ? ,? T ?

2?

(2)由(1)得: f ( x) ? 2 sin(2x ?

) 3 ? ? 6 ? ? ? 6 ? 6 6 ? f ( ? ) ? ,? 2 sin[2( ? ) ? ] ? ,即 2 sin(? ? ) ? ? 2 cos ? ? 2 12 5 2 12 3 5 2 5 5 3 ? 4 ? cos ? ? , ? ? (0, ) ,? sin ? ? 5 2 5 3 4 24 ? sin 2? ? 2 sin? cos ? ? 2 ? ? ? 5 5 25

? ?

? ? ,? ? ? 2

20.解: (1) g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b, (a ? 0) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a

? a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2,3] 上是增函数,

? g (2) ? 1 解得 a ? 1, b ? 0 ?? ? g (3) ? 4 1 (2)由(1)得: g ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? ? 2 xx 1 1 2 1 x 所以不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为: 2 ? x ? 2 ? k ? 2 ,即 1 ? ( x ) ? 2 ? x ? k 2 2 2 1 令 t ? x ,则 k ? t 2 ? 2t ? 1 有解. 2 1 ? x ? [?1,1] ,? t ? [ ,2] 2
-5-

记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 ,

所以 k 的取值范围是 k ? 1 21.解: (1) k ? 6, b ? 5

1 ? t ? [ ,2] , ? h(t ) max ? 1 2

x 2 ? 1 ? 22 ? x ? 1 [ 17 ? 1 ] (2) 1 ? 6t ? ( x ? 5) 2 2 ( x ? 5) 2 2 ( x ? 5) 2 x ? 5 1 1 令m ? , ( x ? 9) ? m ? (0, ] x ?5 4 1 1 设 f (m) ? 17m 2 ? m, m ? (0, ] ,对称轴为 m ? 4 34 1 13 1 13 13 1 ? f ( x) max ? f ( ) ? ,所以当 m ? 时, 1 ? 6t 取到最大值: ? ,即 1 ? 6t ? 4 16 2 16 32 4 19 19 解得: t ? ,即税率的最小值为 192 192 11 ?
22.解: (1)由三角函数的定义得 x1 ? cos ?

? cos(? ?

?
3

)??

? ? ? ? ? ? 1 ? x1 ? cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ? 3 3 3 3 3 3 26 1 1 (2)由 y1 ? sin ? ,得 S1 ? x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? . 2 4
由定义得 x2 ? cos(? ?

? 4 3 11 ? ? , ? ? ( , ) ,? sin(? ? ) ? 3 13 13 6 2

? ? ? ? ? 5? ), y 2 ? sin(? ? ) ,又由 ? ? ( , ) ,得 ? ? ? ( , ) 3 3 6 2 3 2 6 1 1 ? ? 1 2? 于是 S 2 ? ? x2 y 2 ? ? cos(? ? ) ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) 2 2 3 3 4 3 3 ? 1 1 2? sin(2? ? ) ? f (? ) ? S1 ? S 2 ? sin 2? ? sin(2? ? )? 4 6 4 4 3 3 ? ? ? ? 5? ? ? ? 由 ? ? ( , ) ,可知 2? ? ? ( , ) 于是当 2? ? ? 即 ? ? 时, f (? ) max ? 4 6 2 6 6 6 6 2 3 ?

-6-


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