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同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分.

第二篇 一元函数微积分 第二章 导数与微分 微积分学包含微分学和积分学两部分, 而导数和微分是微分学的核心概念. 导数反映了 函数相对于自变量的变化的快慢程度, 微分则指明了当自变量有微小变化时, 函数大体上变 化了多少,即函数的局部改变量的估值.本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方 法和简单应用. 第 1 节 导数的概念 1.1 导数概念的引入 1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题 现有一质点做变速直线运动,质点的运动路程 s 与运动时间 t 的函数关系式记为 s ? s(t ) ,求在 t 0 时刻时质点的瞬时速度 v(t0 ) 为多少? 整体来说速度是变化的,但局部来说速度可以近似看成是不变的.设质点从时刻 t 0 改 变到时刻 t0 ? ?t ,在时间增量 ?t 内,质点经过的路程为 ?s ? s(t0 ? ?t ) ? s(t0 ) ,在 ?t 时间 内的平均速度为 v? ?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? , ?t ?t 当时间增量 ?t 越小时, 平均速度 v 越接近于时刻 t 0 的瞬时速度 v(t0 ) , 于是当 ?t ? 0 时, v 的极限就是质点在时刻 t 0 时的瞬时速度 v(t0 ) ,即 v(t0 ) ? lim v ? lim ?t ?0 ?t ?0 s(t ? ?t ) ? s (t0 ) ?s ? lim 0 . ? t ? 0 ?t ?t 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题 已知曲线 C : y ? f ( x) ,求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率. 欲求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线斜率,由切线为割线的极限位置,容易想到切线的 斜率应是割线斜率的极限. 图 2-1 如图 2-1 所示,取曲线 C 上另外一点 M ( x0 ? ?x, y0 ? ?y) ,则割线 M 0 M 的斜率为 kM 0 M ? tan ? ? ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? . ?x ?x 当点 M 沿曲线 C 趋于 M 0 时, 即当 ?x ? 0 时, M 0 M 的极限位置就是曲线 C 在点 M 0 的切线 M 0T ,此时割线的倾斜角 ? 趋于切线的倾斜角 ? ,故切线的斜率为 k ? lim tan ? ? lim ?x ?0 ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ? x ? 0 ?x ?x 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题,虽然实际意义不同,但如果舍弃其实 际背景,从数学角度看,却有着相同的数学形式,即当自变量的改变量趋于零时,求函数的 改变量与自变量的改变量之比的极限.在自然科学、社会科学和经济领域中,许多问题都可 以转化为上述极限形式进行研究,如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边 际成本和边际利润等.因此,我们舍弃这些问题的实际意义,抽象出它们数量关系上的共同 本质——导数. 1.2 导数的概念 1.2.1 函数在一点处的导数 定义 1 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 的某领域 U ( x0 , ? ) 内有定义,自变量 x 在 x0 处取得增 量 ?x ,且 x0 ? ?x ?U ( x0 , ? ) 时,函数取得相应的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果极 限 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x lim 存在,那么称函数 y ? f ( x) 在点 x0 可导,并称此极限值为函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数, 记作 f ?( x0 ), y? x ? x , 0 dy df ( x) ,即 , dx x? x0 dx x? x0 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x 注: (1)由导数的定义可得与其等价的定义形式 f ?( x0 ) ? lim x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) ; x ? x0 f ?( x0 ) ? lim h ?0 ( 2 ) 若 极 限 lim ?x ?0 ?y ? ? ,也可称函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数为无穷大,此时 y ? f ( x) 在点 x0 的切线 ?x ? 0 ?x lim 存在,它是垂直于 x 轴的直线 x ? x0 . ?y 不 存 在 , 则 称 函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 不 可 导 . 特 别 地 , 若 ?x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) . h 例 1 设 f ( x) ? 1 ,求 f ?(3) . x 解 根据导数的等价定义,可得 f ?(3) ? lim x ?3 f ( x) ? f (3) 1 ?1 1? ?1 1 ? lim ? ? ? lim ? ? . ? x ?3 x ? 3 x x ?3 3 ? x?3 3x 9 ? 例 2 设 f ?( x0 ) ? ?2 ,求下列极限: (1) lim 解 ?x ? 0 f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ; ?x (2) lim h ?0 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) . h f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 3 lim ? 3 f ?( x0 ) ? ?6 . ?x ?0 ?x ?0 ?x 3?x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) ? lim (2) lim h ?0 h ?0 h h f ( x0 ? h) ? f ( x0

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