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小学数学教学“教什么”?鄢

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 小学数学教学“教什么”?鄢 作者:李祎 王珍 来源:《教学与管理(小学版)》2014 年第 02 期 教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”,前者关乎教学内容,后者关乎教学形式。教 学内容决定教学形式,教学形式服务于教学内容。“教什么”永远比“怎么教”更重要。先进理念 首先关乎教学内容,首先要关注“教什么”。 从“教什么”的视角来看,数学教师教学水平的高低,首先体现在对教学内容的把握上。低 水平的教书匠,只会照本宣科,看到什么就教给学生什么,是知识的搬运工;高水平的教师, 能透过现象看到本质,在教教材中显性知识的同时,挖掘出其包含的隐性知识,教到一些别人 教不出来的内容。 这些不易教到的隐性知识是什么呢?概括而言,我们认为是数学的本质、过程、思想和结 构。认识到数学教材中蕴含的这些丰富的隐性知识,通过深度挖掘和解读教材隐性知识,达到 与隐性知识的深度对话,有助于提高数学课堂的实效和学生的综合能力。 一、 教“本质” 数学概念是反映数学对象的本质属性的思维产物,所谓本质属性就是该类事物共有和特有 的稳定属性。数学概念包括内涵和外延两个方面,揭示数学概念的本质属性,就是要掌握概念 的内涵,明确概念的外延。比如,对于数学中最简单的概念——自然数的学习,必需明确自然 数的两重意义:一是表示数量意义,即被数的物体有“多少个”,这种用来表示事物数量的自然 数,称为基数;二是表示次序意义,即最后被数到的物体是“第几个”,用来表示事物次序的自 然数,称为序数。自然数不仅包括正整数 1,2,3,……还包括 0,这就是自然数的外延。 数学中有些概念的本质,相对比较隐晦,需要教师努力揭示。比如,“把连接两点之间的 线段的长度叫做两点之间的距离。”“从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度叫做点到直 线的距离。”这样的定义并没有直接反映出距离的本质。那么,距离的本质是什么呢?距离的 本质就是“最小值”:图形 P 内的任一点与图形 Q 内的任一点间的距离中的最小值,叫做图形 P 与图形 Q 的距离。在教学中把握住这一本质,那么,后续学习“两平行线之间的距离”“点到平 面的距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概念时, 学生往往也能不教自明,从而顺利实现知识的迁移。这同时也说明,掌握数学概念的本质,并 不意味着简单地背诵概念的定义。 学习数学不仅要掌握数学概念的本质,还要掌握数学结论和数学方法的本质。 所谓数学结论,是指数学中的公理、定理、公式、法则等。把握数学结论的本质,并不仅 仅在于记住结论本身,更在于理解其内涵,明确其意义,掌握其成立的理由。比如对于三角形 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 而言,三个内角大小反映了三角形的形状,不同三角形的三个内角不全相同,但三个内角之和 却是一个定值,这就是三角形的内角和定理,它反映了任意三角形的三个内角之间所满足的等 量关系,据此就可以实现“知二求一”。对于该结论,不仅可以通过测量、剪拼、折叠等方法来 获得和理解,还可以通过直观手段对其进行验证。比如图 1,用橡皮筋构成△ ABC,其中顶点 B、C 为定点,A 为动点。放松橡皮筋后,点 A 自动收缩于 BC 上,考察点 A 变化时所形成的 一系列的三角形……根据其内角的变化即可直观地获得和理解该结论。另外,还可以这样理解 和建构该结论:如图 2,假设一个人从 A 点出发,沿着逆时针方向经过各个顶点,然后回到出 发的 A 点并转向出发时的方向,这个人所转过的角的和恰好是这个三角形的外角和。由于刚 好转了一圈回到出发点,因此其外角和是 360° ,所以三角形的内角和就是 180° 。不难发现, 这种方法可用来解释任意凸多边形的外角和与内角和,因而更为本质地反映了结论的内在规律 性。 数学中除了一些结论性知识,还有大量的方法性知识,比如运算的方法、度量的方法、变 换的方法、论证的方法等。掌握数学方法的本质,不仅要掌握“怎么做”,即方法运用的程序与 步骤,还要掌握“为什么可以这样做”,即方法运用的缘由、条件和范围等。比如对于数的加、 减运算的方法,必需抓住计数单位这一本质。因为自然数以“1”为标准,“1”是自然数的单位, 所以任何两个自然数都可以直接相加减。同分母分数,因为它们的分数单位相同,所以能直接 相加减;异分母分数,因为它们的分数单位不同,所以就要把它们化成相同的单位,这样才可 以相加减。小数的加减运算为什么小数点对齐才能相加减呢?其本质也是相同计数单位要对 齐。在小数中,小数点的左边是整数部分,第一位是个位,第二位是十位……小数点右边是小 数部分,第一位是十分位,第二位是百分位……在计算小数加、减法的竖式中,只要小数点对 齐,相同数位就对齐了,相同计数单位也就能相加减了,而不必考虑小数的末位是不是一定要 对齐。所以对于运算方法,不仅要教算法,更要教算理。其他方法性知识的教学同样如此。 二、 教“过程” 数学有三种形态:原始形态、学术形态和教育形态。原始形态是指数学家在探索、发现数 学真理时所进行的曲折、复杂的数学思考;学术形态是指数学家对探索、发现的数学真理进行 归纳、整理形成文本材料后的一种形态,它呈现出的是“简洁的、冰冷的形式化美丽”;教育形 态是指教师通过自己的设计,将学术形态的数学知识有效地“激活”,使学生在学习数学时,能 够模仿数学家进行“火热的思考”,它是介于原始形态和学术形态之间的一种形态。 弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样 子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一 边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。因此他说教材是“教学法的颠倒”。为了彰显数学知识的 过程性,通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力,让数学“冰冷的美丽”唤发学生“火 热的思考”,在小学数学教学设计中要采用稚化思维的设计策略。 所谓稚化思

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