成都市2013级2016届一诊数学试题及答案word版(文科)

成都市高 2016 级“一诊”考试 数学试题(文科)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ， B ? {x | ?2 ? x ? 2} ，则 A ? B ? （ A ） {x | ?1 ? x ? 2} （ B ） {x | ?1 ? x ? 2} （ C ） {x | ?1 ? x ? 2} （D）

{x | ?2 ? x ? 1}
2．在 ?ABC 中， “A? （A）充分不必要条件 （C）充要条件

? 2 ”是“ cos A ? ”的 4 2
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

4

正视图

侧视图

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与 挖去部分的体积之比为 （A） 3 :1 （B） 2 :1 （C） 1:1 （D） 1: 2
俯视图

4．设 a ? ( ) ， b ? ( ) ， c ? log 2 （A） b ? a ? c

7 9

1 ? 4

9 7

1 5

7 ，则 a, b, c 的大小顺序是 9
（C） c ? b ? a （D） b ? c ? a

（B） c ? a ? b

5．已知 m, n 为空间中两条不同的直线， ? , ? 为空间中两个不同的平面，下列命题中正确 的是 （A）若 m // ? , m // ? ，则 ? // ? （C） 若 m // ? , m // n ， 则 n // ? （B） 若 m ? ? ,m ? 则 n //? n ， （D） 若 m ? ? , m // ? ， 则? ? ? 开始
输入k

?x ? y ? 4 ? 0 ? 6．已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ，则 z ? y ? 2 x 的最大值是 ?y ? 2 ? 0 ?
（A）2 （B）4 （C）5 （D）6 7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于 50，则输 入的整 数 k 的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

S ? 0, n ? 0

n?k?

否

是
S ? S ? 2n ? 2
n ? n ?1

输出S

??? ? ??? ? ? 8．已知菱形 ABCD 边长为 2， ?B ? ，点 P 满足 AP ? ? AB ， 3

结束

1

??? ? ??? ? ? ? R ．若 BD ? CP ? ?3 ，则 ? 的值为
（A）

1 2

（B） ?

1 2

（C）

1 3

（D） ?

1 3

9．已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，若 E 上存在点 P 使 a 2 b2
a2 2? ，则 2 的值是 3 b
（C）

?F1F2 P 为等腰三角形，且其顶角为
（A）

4 3

（B）

2 3 3

3 4

（D）

3 2

10．已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 (2 ? x), 0 ? x ? k
3 2 ? x ? 3x ? 3, k ? x ? a

.若存在实数 k 使得函数 f ( x ) 的值域为

[ ?1,1] ，则实数 a 的取值范围是
（A） [ ,1 ? 3]

3 2

（B） [2,1 ? 3]

（C） [1,3]

（D） [2,3]

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11． 设复数 z 满足 ?iz ? (3 ? 2i)(1 ? i)（其中 i 为虚数单位） ， 则z?
?3

． 4

甲 7 9 5 8 9 7 2

乙 6 4 1

12 ． 已 知 函 数 f ( x) ? x ? s i nx? . 1 若 f (a) ? 3 ， 则

f (?a) ?

．

13．甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被 污 损 ， 记 甲 ， 乙 的 平 均 成 绩 分 别 为 x甲 ， x 乙 . 则 x甲 ? x 乙 的 概 率 是
2 2

．

14. 已知圆 x ? y ? 4 ，过点 P(0,1) 的直线 l 交该圆于 A, B 两点，O 为坐标 原点，则 ?OAB 面积的最大值是 ．

15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是 不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线

y ? 1?

4 2 x 的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点 M ， N ．则当能开发的面积达到最大 3
．

时， OM 的长为

三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16． （12 分） 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ， 且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ． （Ⅰ） 求 q 的值；（Ⅱ）

2

2 若 a5 ? a10 ，求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn ． 3n

17． （12 分）有编号为 A1 , A2 ,?, A9 的 9 道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于 0.50 的为难题． 编号 难度系数

A1
0.48

A2
0.56

A3
0.52

A4
0.37

A5
0.69

A6
0.47

A7
0.47

A8
0.58

A9
0.50

（Ⅰ）从上述 9 道题中，随机抽取 1 道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取 2 道，求这两道题目难度系数相等的概率．

18．已知函数 f ( x) ?

5 3 1 cos2 x ? sin x cos x ? sin 2 x ． （Ⅰ）求函数 f ( x) 取得最大 4 2 4
3 ， 5

值时 x 取值的集合； （Ⅱ）设 A ， B ， C 为锐角三角形 ABC 的三个内角.若 cos B ?

1 f (C ) ? ? ，求 sin A 的值． 4

19． （12 分）如图，菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2，它们所在平面互相垂直，
3

FD ? 平面 ABCD ，且 FD ? 3 ． （Ⅰ）求证： EF // 平面 ABCD ； （Ⅱ）若 ?CBA ? 60? ，
求几何体 EFABCD 的体积．

20． （13 分）已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A ，B ，点 P 为椭圆上异于 A, B 的 3 2
3 , 0) 作与 x 轴不重合的任 5

任意一点.（Ⅰ）求直线 PA 与 PB 的斜率之积； （Ⅱ）过点 Q(?

意直线交椭圆 E 于 M ， N 两点.证明：以 MN 为直径的圆恒过点 A .

21． （14 分）已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? ln x(a ? R) ． （Ⅰ） 2

F E C D A

当 a ? 0 时，求函数 f ( x ) 的单调递减区间； （Ⅱ）当 a ? 0 时，设函数

1 g ( x) ? xf ( x) ? k ( x? 2) ? 2 .若函数 g ( x) 在区间 [ , ??) 上有两个零点， 2
求实数 k 的取值范围．

B

4

数学（文科）参考答案及评分意见 第 I 卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．A； 9．D； 10．B． 第 II 卷（非选择题，共 100 分） 二．填空题：(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 11． 1 ? 5i ； 12． -1 ； 13．

2 ； 5

14． 3 ；

15． 1 ．

三、解答题：(本大题共 6 小题，共 75 分) 16．解： （Ⅰ）? 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,

?2(an ? an q2 ) ? 5an q.

由题意，得 an ? 0 ，? 2q2 ? 5q ? 2 ? 0.

1 ?q ? 2 或 . 2 ? q ? 2. ? q ? 1，
（Ⅱ）? a ? a10 ,
2 5

????????6 分

?(a1q ) ? a1q .
4 2 9

? a1 ? 2 .

? an ? a1qn?1 ? 2n. an 2 ? ( )n . ? n 3 3 2 2 [1 ? ( )n ] n ?1 3 ? 2? 2 . ? Sn ? 3 2 3n 1? 3

????????12 分

17．解： （Ⅰ）记“从 9 道题中，随机抽取 1 道为难题”为事件 M ，9 道题中难题有 A 1 ， A4 ，

A6 ， A7 四道.

5

∴ P(M ) ?

4 . 9

?????6 分

（Ⅱ）记“从难题中随机抽取 2 道难度系数相等”为事件 N ，则基本事件为： {A 1, A 4} ，

{A1 , A6} ， {A1 , A7 } ， {A4 , A6 } ， {A4 , A7 } ， {A6 , A7 } 共 6 个；难题中有且仅有 A6 ， A7 的
难度系数相等. ∴ P( N ) ?

1 . 6
5 3 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x 4 2 4

?????12 分

18．解： （Ⅰ） f ( x) ?

?

5 3 sin 2 x 3 1 ? cos 2 x 1 3 3 ? ? ? ? ? ? (? cos 2 x ? sin 2 x) 4 2 2 2 2 2 4 4
1 3 ? ? sin(2 x ? ). 2 2 3
????????3 分

?

要使 f ( x ) 取得最大值，须满足 sin(2 x ? ) 取得最小值.

? 3

? ? ? 2k ? ? , k ? Z. 3 2 ? ? x ? k ? ? , k ? Z. 12

? 2x ?

????????5 分

? 当 f ( x) 取得最大值时, x 取值的集合为 {x | x ? k ? ?
（Ⅱ）由题意，得 sin( ? 2C ) ? ?

? , k ? Z}. ????????6 分 12

? 3

3 . 2

? ? C ? (0, ), 2

? 2? ? ? ? 2C ? (? , ). 3 3 3

?C ?

? 3

.
F E C H B A D

??????9 分

? 4 ? B ? (0, ) ，? sin B ? . 2 5 ?sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C
4 1 3 3 4?3 3 ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10
??????12 分 19．解： （Ⅰ）如图，过点 E 作 EH ? BC 于 H ，连接 HD.

? EH ? 3.

? 平面 ABCD ? 平面 BCE ， EH ? 平面 BCE，
平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC，
6

? EH ? 平面 ABCD.
又? FD ? 平面 ABCD ， FD ? 3.

F E C H B A D

? FD//EH .

? 四边形 EHDF 为平行四边形.
? EF//HD. ? EF ? 平面 ABCD ， HD ? 平面 ABCD, ? EF // 平面 ABCD.
（Ⅱ）连接 CF , HA .由题意,得 HA ? BC .

???6 分

? HA ? 平面 ABCD, 平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC， ? HA ? 平面 BCE . ? FD //EH ， EH ? 平面 BCE ， FD ? 平面 BCE，
? FD // 平面 BCE . 同理，由 HB //DA 可证， DA // 平面 BCE .

? FD ? DA 于 D， FD ? 平面 ADF ， DA ? 平面 ADF ，

? 平面 BCE // 平面 ADF . ? F 到平面 BCE 的距离等于 HA 的长. ? FD 为四棱锥 F ? ABCD 的高,
?VEFABCD ? VF ?BCE ? VF ? ABCD
1 1 1 1 ? S? BCE ? HA ? S? ABCD ? FD ? ? 3 ? 3 ? ? 2 3 ? 3 3 3 3 3 ? 3. ???????????12 分
20．解： （Ⅰ） A(? 3,0), B( 3,0) .设点 P ( x, y ) ( y ? 0) .

x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1 y ? 2(1 ? ) ? (3 ? x 2 ). 则有 ，即 3 2 3 3
2 (3 ? x 2 ) y y y 2 3 ? ? ? 2 ? ?? . 2 x ?3 3 x ? 3 x ? 3 x ?3
2

? kPA ? kPB

????????4 分

（Ⅱ） 设 M ( x1 , y1 ) ，N ( x2 , y2 ) ， ∴设直线 lMN : x ? ty ? ? MN 与 x 轴不重合，

3 (t ? R) . 5

? 3 4 3 144 ? x ? ty ? , 得 (2t 2 ? 3) y 2 ? 由? ty ? ? 0. 5 5 25 ?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 ?
7

? 4 3 t ? ? y1 ? y2 ? 5 ? 2t 2 ? 3 . 由题意,可知 ? ? 0 成立，且 ? 144 ? ? ? y1 y2 ? 225 ? 2t ? 3 ?

??（*）

???? ? ???? 4 3 4 3 AM ? AN ? ( x1 ? 3, y1 )( x2 ? 3, y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 5 5
? (t 2 ? 1) y1 y2 ? 4 3 48 t ( y1 ? y2 ) ? . 5 25

将（*）代入上式，化简得

144 2 144 48 2 ???? ? ???? ? 25 t ? 25 ? 25 t 48 48 2t 2 ? 3 48 AM ? AN ? ? ?? ? 2 ? ? 0. 2t 2 ? 3 25 25 2t ? 3 25 ∴ AM ? AN ，即以 MN 为直径的圆恒过点 A ． ??????13 分 (ax ? 1)( x ? 1) (a ? 0). 21.解： （Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ， f ?( x) ? ? x 1 ①当 a ? (0,1) 时， ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0， 得 x ? 或 x ? 1 .∴当 x ? (0,1) ， x ? ( , ?? ) 时， f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) . a ②当 a ? 1 时，恒有 f ?( x) ? 0 ，∴ f ( x ) 单调递减. ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) . 1 ③当 a ? (1, ??) 时， ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0， 得 x ? 1 或 x ? .∴当 x ? (0, ) ， x ? (1, ??) 时， f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . a 1 综上，当 a ? (0,1) 时， f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) ； a 当 a ? 1 时， f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) ； 1 当 a ? (1, ??) 时， f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . ???6 分 a 1 2 （Ⅱ） g ( x) ? x ? x ln x ? k ( x ? 2) ? 2 在 x ? [ , ??) 上有零点， 2
x 2 ? x ln x ? 2 1 即关于 x 的方程 k ? 在 x ? [ , ??) 上有两个不相等的实数根. 2 x?2

8

令函数 h( x) ?

x 2 ? x ln x ? 2 1 , x ? [ , ??) . x?2 2

则 h?( x) ? 则 p?( x) ?

1 x 2 ? 3x ? 2ln x ? 4 2 . 令函数 p ( x) ? x ? 3 x ? 2 ln x ? 4, x ? [ , ??) . 2 2 ( x ? 2)

(2 x ? 1)( x ? 2) 1 在 [ , ??) 上有 p?( x) ? 0 . x 2 1 故 p ( x) 在 [ , ??) 上单调递增. 2
? p(1) ? 0 ，

? 当 x ? [ ,1) 时，有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 .∴ h( x) 单调递减；
当 x ? (1, ??) 时，有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 ，∴ h( x) 单调递增.

1 2

1 102 ? 10 ln 2 102 ? 10 23 1 9 ln 2 ? ? ? h( ) ， ? h( ) ? ? ， h(1) ? 1, h(10) ? 2 12 12 3 2 10 5 9 ln 2 ]. ????14 分 ? k 的取值范围为 (1, ? 10 5

9