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成都市2013级2016届一诊数学试题及答案word版(文科)

成都市高 2016 级“一诊”考试 数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A ) {x | ?1 ? x ? 2} ( B ) {x | ?1 ? x ? 2} ( C ) {x | ?1 ? x ? 2} (D)

{x | ?2 ? x ? 1}
2.在 ?ABC 中, “A? (A)充分不必要条件 (C)充要条件

? 2 ”是“ cos A ? ”的 4 2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4

正视图

侧视图

3.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与 挖去部分的体积之比为 (A) 3 :1 (B) 2 :1 (C) 1:1 (D) 1: 2
俯视图

4.设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? log 2 (A) b ? a ? c

7 9

1 ? 4

9 7

1 5

7 ,则 a, b, c 的大小顺序是 9
(C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

(B) c ? a ? b

5.已知 m, n 为空间中两条不同的直线, ? , ? 为空间中两个不同的平面,下列命题中正确 的是 (A)若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? (C) 若 m // ? , m // n , 则 n // ? (B) 若 m ? ? ,m ? 则 n //? n , (D) 若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? 开始
输入k

?x ? y ? 4 ? 0 ? 6.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? y ? 2 x 的最大值是 ?y ? 2 ? 0 ?
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6 7.执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于 50,则输 入的整 数 k 的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

S ? 0, n ? 0

n?k?




S ? S ? 2n ? 2
n ? n ?1

输出S

??? ? ??? ? ? 8.已知菱形 ABCD 边长为 2, ?B ? ,点 P 满足 AP ? ? AB , 3

结束

1

??? ? ??? ? ? ? R .若 BD ? CP ? ?3 ,则 ? 的值为
(A)

1 2

(B) ?

1 2

(C)

1 3

(D) ?

1 3

9.已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若 E 上存在点 P 使 a 2 b2
a2 2? ,则 2 的值是 3 b
(C)

?F1F2 P 为等腰三角形,且其顶角为
(A)

4 3

(B)

2 3 3

3 4

(D)

3 2

10.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 (2 ? x), 0 ? x ? k
3 2 ? x ? 3x ? 3, k ? x ? a

.若存在实数 k 使得函数 f ( x ) 的值域为

[ ?1,1] ,则实数 a 的取值范围是
(A) [ ,1 ? 3]

3 2

(B) [2,1 ? 3]

(C) [1,3]

(D) [2,3]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设复数 z 满足 ?iz ? (3 ? 2i)(1 ? i)(其中 i 为虚数单位) , 则z?
?3

. 4

甲 7 9 5 8 9 7 2

乙 6 4 1

12 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? s i nx? . 1 若 f (a) ? 3 , 则

f (?a) ?



13.甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被 污 损 , 记 甲 , 乙 的 平 均 成 绩 分 别 为 x甲 , x 乙 . 则 x甲 ? x 乙 的 概 率 是
2 2



14. 已知圆 x ? y ? 4 ,过点 P(0,1) 的直线 l 交该圆于 A, B 两点,O 为坐标 原点,则 ?OAB 面积的最大值是 .

15.某房地产公司要在一块矩形宽阔地面(如图)上开发物业 ,阴影部分是 不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离,古建筑群的边界为曲线

y ? 1?

4 2 x 的一部分,栏栅与矩形区域边界交于点 M , N .则当能开发的面积达到最大 3


时, OM 的长为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , 且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 . (Ⅰ) 求 q 的值;(Ⅱ)

2

2 若 a5 ? a10 ,求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn . 3n

17. (12 分)有编号为 A1 , A2 ,?, A9 的 9 道题,其难度系数如下表:其中难度系数小于 0.50 的为难题. 编号 难度系数

A1
0.48

A2
0.56

A3
0.52

A4
0.37

A5
0.69

A6
0.47

A7
0.47

A8
0.58

A9
0.50

(Ⅰ)从上述 9 道题中,随机抽取 1 道,求这道题为难题的概率; (Ⅱ)从难题中随机抽取 2 道,求这两道题目难度系数相等的概率.

18.已知函数 f ( x) ?

5 3 1 cos2 x ? sin x cos x ? sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 取得最大 4 2 4
3 , 5

值时 x 取值的集合; (Ⅱ)设 A , B , C 为锐角三角形 ABC 的三个内角.若 cos B ?

1 f (C ) ? ? ,求 sin A 的值. 4

19. (12 分)如图,菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2,它们所在平面互相垂直,
3

FD ? 平面 ABCD ,且 FD ? 3 . (Ⅰ)求证: EF // 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 ?CBA ? 60? ,
求几何体 EFABCD 的体积.

20. (13 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A ,B ,点 P 为椭圆上异于 A, B 的 3 2
3 , 0) 作与 x 轴不重合的任 5

任意一点.(Ⅰ)求直线 PA 与 PB 的斜率之积; (Ⅱ)过点 Q(?

意直线交椭圆 E 于 M , N 两点.证明:以 MN 为直径的圆恒过点 A .

21. (14 分)已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? ln x(a ? R) . (Ⅰ) 2

F E C D A

当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,设函数

1 g ( x) ? xf ( x) ? k ( x? 2) ? 2 .若函数 g ( x) 在区间 [ , ??) 上有两个零点, 2
求实数 k 的取值范围.

B

4

数学(文科)参考答案及评分意见 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B; 2.B; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.A; 9.D; 10.B. 第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 1 ? 5i ; 12. -1 ; 13.

2 ; 5

14. 3 ;

15. 1 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: (Ⅰ)? 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,

?2(an ? an q2 ) ? 5an q.

由题意,得 an ? 0 ,? 2q2 ? 5q ? 2 ? 0.

1 ?q ? 2 或 . 2 ? q ? 2. ? q ? 1,
(Ⅱ)? a ? a10 ,
2 5

????????6 分

?(a1q ) ? a1q .
4 2 9

? a1 ? 2 .

? an ? a1qn?1 ? 2n. an 2 ? ( )n . ? n 3 3 2 2 [1 ? ( )n ] n ?1 3 ? 2? 2 . ? Sn ? 3 2 3n 1? 3

????????12 分

17.解: (Ⅰ)记“从 9 道题中,随机抽取 1 道为难题”为事件 M ,9 道题中难题有 A 1 , A4 ,

A6 , A7 四道.

5

∴ P(M ) ?

4 . 9

?????6 分

(Ⅱ)记“从难题中随机抽取 2 道难度系数相等”为事件 N ,则基本事件为: {A 1, A 4} ,

{A1 , A6} , {A1 , A7 } , {A4 , A6 } , {A4 , A7 } , {A6 , A7 } 共 6 个;难题中有且仅有 A6 , A7 的
难度系数相等. ∴ P( N ) ?

1 . 6
5 3 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x 4 2 4

?????12 分

18.解: (Ⅰ) f ( x) ?

?

5 3 sin 2 x 3 1 ? cos 2 x 1 3 3 ? ? ? ? ? ? (? cos 2 x ? sin 2 x) 4 2 2 2 2 2 4 4
1 3 ? ? sin(2 x ? ). 2 2 3
????????3 分

?

要使 f ( x ) 取得最大值,须满足 sin(2 x ? ) 取得最小值.

? 3

? ? ? 2k ? ? , k ? Z. 3 2 ? ? x ? k ? ? , k ? Z. 12

? 2x ?

????????5 分

? 当 f ( x) 取得最大值时, x 取值的集合为 {x | x ? k ? ?
(Ⅱ)由题意,得 sin( ? 2C ) ? ?

? , k ? Z}. ????????6 分 12

? 3

3 . 2

? ? C ? (0, ), 2

? 2? ? ? ? 2C ? (? , ). 3 3 3

?C ?

? 3

.
F E C H B A D

??????9 分

? 4 ? B ? (0, ) ,? sin B ? . 2 5 ?sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C
4 1 3 3 4?3 3 ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10
??????12 分 19.解: (Ⅰ)如图,过点 E 作 EH ? BC 于 H ,连接 HD.

? EH ? 3.

? 平面 ABCD ? 平面 BCE , EH ? 平面 BCE,
平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC,
6

? EH ? 平面 ABCD.
又? FD ? 平面 ABCD , FD ? 3.

F E C H B A D

? FD//EH .

? 四边形 EHDF 为平行四边形.
? EF//HD. ? EF ? 平面 ABCD , HD ? 平面 ABCD, ? EF // 平面 ABCD.
(Ⅱ)连接 CF , HA .由题意,得 HA ? BC .

???6 分

? HA ? 平面 ABCD, 平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC, ? HA ? 平面 BCE . ? FD //EH , EH ? 平面 BCE , FD ? 平面 BCE,
? FD // 平面 BCE . 同理,由 HB //DA 可证, DA // 平面 BCE .

? FD ? DA 于 D, FD ? 平面 ADF , DA ? 平面 ADF ,

? 平面 BCE // 平面 ADF . ? F 到平面 BCE 的距离等于 HA 的长. ? FD 为四棱锥 F ? ABCD 的高,
?VEFABCD ? VF ?BCE ? VF ? ABCD
1 1 1 1 ? S? BCE ? HA ? S? ABCD ? FD ? ? 3 ? 3 ? ? 2 3 ? 3 3 3 3 3 ? 3. ???????????12 分
20.解: (Ⅰ) A(? 3,0), B( 3,0) .设点 P ( x, y ) ( y ? 0) .

x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1 y ? 2(1 ? ) ? (3 ? x 2 ). 则有 ,即 3 2 3 3
2 (3 ? x 2 ) y y y 2 3 ? ? ? 2 ? ?? . 2 x ?3 3 x ? 3 x ? 3 x ?3
2

? kPA ? kPB

????????4 分

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , ∴设直线 lMN : x ? ty ? ? MN 与 x 轴不重合,

3 (t ? R) . 5

? 3 4 3 144 ? x ? ty ? , 得 (2t 2 ? 3) y 2 ? 由? ty ? ? 0. 5 5 25 ?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 ?
7

? 4 3 t ? ? y1 ? y2 ? 5 ? 2t 2 ? 3 . 由题意,可知 ? ? 0 成立,且 ? 144 ? ? ? y1 y2 ? 225 ? 2t ? 3 ?

??(*)

???? ? ???? 4 3 4 3 AM ? AN ? ( x1 ? 3, y1 )( x2 ? 3, y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 5 5
? (t 2 ? 1) y1 y2 ? 4 3 48 t ( y1 ? y2 ) ? . 5 25

将(*)代入上式,化简得

144 2 144 48 2 ???? ? ???? ? 25 t ? 25 ? 25 t 48 48 2t 2 ? 3 48 AM ? AN ? ? ?? ? 2 ? ? 0. 2t 2 ? 3 25 25 2t ? 3 25 ∴ AM ? AN ,即以 MN 为直径的圆恒过点 A . ??????13 分 (ax ? 1)( x ? 1) (a ? 0). 21.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? x 1 ①当 a ? (0,1) 时, ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 或 x ? 1 .∴当 x ? (0,1) , x ? ( , ?? ) 时, f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) . a ②当 a ? 1 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 单调递减. ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) . 1 ③当 a ? (1, ??) 时, ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1 或 x ? .∴当 x ? (0, ) , x ? (1, ??) 时, f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . a 1 综上,当 a ? (0,1) 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) ; a 当 a ? 1 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) ; 1 当 a ? (1, ??) 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . ???6 分 a 1 2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? x ln x ? k ( x ? 2) ? 2 在 x ? [ , ??) 上有零点, 2
x 2 ? x ln x ? 2 1 即关于 x 的方程 k ? 在 x ? [ , ??) 上有两个不相等的实数根. 2 x?2

8

令函数 h( x) ?

x 2 ? x ln x ? 2 1 , x ? [ , ??) . x?2 2

则 h?( x) ? 则 p?( x) ?

1 x 2 ? 3x ? 2ln x ? 4 2 . 令函数 p ( x) ? x ? 3 x ? 2 ln x ? 4, x ? [ , ??) . 2 2 ( x ? 2)

(2 x ? 1)( x ? 2) 1 在 [ , ??) 上有 p?( x) ? 0 . x 2 1 故 p ( x) 在 [ , ??) 上单调递增. 2
? p(1) ? 0 ,

? 当 x ? [ ,1) 时,有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 .∴ h( x) 单调递减;
当 x ? (1, ??) 时,有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 单调递增.

1 2

1 102 ? 10 ln 2 102 ? 10 23 1 9 ln 2 ? ? ? h( ) , ? h( ) ? ? , h(1) ? 1, h(10) ? 2 12 12 3 2 10 5 9 ln 2 ]. ????14 分 ? k 的取值范围为 (1, ? 10 5

9