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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):N单元选修4系列]


N 单元选修 4 系列
目录

N 单元选修 4 系列 .............................................................................................................................................................. - 1 N1 N2 N3 N4 N5 选修 4-1 选修 4-2 选修 4-4 几何证明选讲....................................................................................................................................... - 1 矩阵 ..................................................................................................................................................... - 2 参数与参数方程 ............................................................................................................................ - 3 -

选修 4-5 不等式选讲 ........................................................................................................................................... - 6 选修 4-7 优选法与试验设计 ............................................................................................................................ - 7 -

N1

选修 4-1 几何证明选讲

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】14.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, PA ? 3, PB ? 1 ,则 ?PAB =。 【知识点】切割线定理;直角三角形的性质. N1 【答案】 【解析】 30 解析:设圆 O 的半径为 R,则由切割线定理得

PA2 ? PB ? PC ? ( 3)2 ? 1? ?1 ? 2R ? ? R ? 1,则 OP=2,连接 OA ,因为△OAP 是直角三
角形,AP 是斜边中线,所以 AB=BO=OA=1,所以∠OAB=60°,所以 ?PAB = 30 .

【思路点拨】由切割线定理求得圆的半径,再由直角三角形的性质求出∠PAB.

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 15.(选修 4 ? 1 :几何证明选讲) 如图, PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC ,交圆 O 于 , 共线.若 , , ,则圆 的半径是 【知识点】与圆有关的比例线段 N1

【答案】【解析】 2 解析:如图所示,连结 AD ,∵ PB 为圆 O 的切线,

??PBD ? ?BCD ? ?BAD , BD 为 ?PBC 的平分线, ??PBD ? ?CBD ,??PDB ? ?CBD ? ?BCD ? ?PBD ? ?PBD ? 2?PBD , 又 PC ? PB ,??PBD ? ?BCD ? ?CBD ? ?BAD ? 30?,?PDB ? 60? . 由 PD ? 1 ,得 BD ? 2 PD ? 2 .在 ABD 中, AB ? BD ,? AD 是圆 O 的直径,且直径 AD ? 2 BD ? 4 ,∴圆 O 的半径为 2.故答案为:2. 【思路点拨】连结 AD,由 PB 为圆 O 的切线,得??PBD ? ?BCD ? ?BAD ,结合 BD 为 ?PBC 的平分线,可得 ?PDB ? 2?PBD ? 60? ,在 Rt BPD 中,由 PD ? 1 ,得 BD ? 2 , 由 Rt ABD 与 Rt BPD 的内角关系得 AD 的长度,即得圆 O 的半径.

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 已知在 ?ABC 中, D 是 AB 上一点, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 BE . (1)求证: BC ? 2 BD ; (2)若 CD 平分 ?ACB ,且 AC ? 2, EC ? 1 ,求 BD 的长. 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案】 (1)略(2)1 【解析】 (1)连接 DE ,∵四边形 ACED 是圆的内接四边形, ∴ ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA , ∴ ?DBE ∽ ?CBA ,∴

BE BD , ? AB BC BE ED , ? AB AC

又 AB ? 2 BE ,∴ BC ? 2 BD (2)由(1) ?DBE ∽ ?CBA ,知

又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , 设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC 即 x( x ? 1) ?

1 1 ( x ? 1)[ ( x ? 1) ? 1] ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 . 2 2

【思路点拨】利用相似比例关系证明,再根据割线定理得

N2

选修 4-2 矩阵

N3

选修 4-4 参数与参数方程

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】15.在直角坐 标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为

? ?? ? ? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数),则点 M 到曲线 C 上的点的 ? 4 2 , 4 ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? y ? 2 sin ?
距离的最小值为。 【知识点】极坐标与直角坐标互化;参数方程与普通方程互化;两点间距离公式. N3 【答案】 【解析】 5 ? 2 解析:点 M 的直角坐标为(4,4) ,曲线 C 的普通方程为:

( x ?1)2 ? y 2 ? 2 ,曲线 C 是圆.M 到圆心(1,0)的距离为
上的点的距离的最小值为 5 ? 2 .

? 4 ? 1?

2

? 42 ? 5 ,所以点 M 到曲线 C

【思路点拨】把点 M 的极坐标化为直角坐标,曲线 C 的参数方程化为普通方程,知曲线 C 是 圆.根据 M 到圆上点的距离的最小值是:M 到圆心距离减去半径得结果.

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 16.(选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程) 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程是 ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线

的极坐标方程是

,则两曲线交点间的距离是

【知识点】简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程 N3

【答案】【解析】 4 3 解析:由曲线 曲线 的极坐标方程是

的参数方程是 ,展开得 ? ?

,平方相减可得 y2 ? x2 ? 4 ,

?1 ? 3 sin ? ? cos ? ? ?2 ? ,化为 y ? 3x ? 2 , 2 ? ?

2 2 ? ? ?x ? 0 ?y ? x ? 4 ?x ? 2 3 2 联立 ? ,化为 x ? 2 3x ? 0 ,得 x ? 0 或 2 3 ,? ? 或? ? ? ? ?y ? 2 ? y ? ?4 ? y ? 3x ? 2

此两曲线交点间的距离为 12 ? 6 ? 4 3 ,故答案为: 4 3 .
2

【思路点拨】由曲线

的参数方程是 , 展开得 ? ?

,平方相减可得 y2 ? x2 ? 4 ,曲线

的极坐标

方程是

2 2 ? ?1 ? 3 ?y ? x ? 4 , 化为 , 联立 sin ? ? cos ? y ? 3 x ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? y ? 3x ? 2

即可求出两交点坐标,利用两点间距离公式即可求解.

【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】22. (本小题满分10分 ) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ? ?1, 0 ? ,其倾斜角为 ? ,以原点O为极点,以x轴非负 半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为

? 2 ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 .
(1)若直线 l 与曲线C有公共点,求 a 的取值范围: (2)设 M ? x, y ? 为曲线C上任意一点,求 x ? y 的取值范围. 【知识点】参数方程极坐标方程N3

,? ? ;(2) ? 3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? 【答案】(I) ? 0, ? ? ? ? ?. 6 6 ? ? ? ?
【 解 析 】 解 析 : (I) 将 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 ? 2 ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 化 为 直 角 坐 标 方 程 为

? ??

? 5?

?

? x ? ?1 ? t cos ? ? x ? ?1 ? t cos ? t为参数 ? 将 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 直线l的参数方程为 ? ? ? y ? t sin ? ? y ? t sin ?

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 整 理 得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0
?? ? 64 cos 2 ? ? 48 ? 0 ? cos ? ?

直 线 l 与 曲 线 C 有 公 共 点 ,

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? [0, ? ) ?? 的 取 值 范 围 是

? ? ? ? 5? ? 0, ? ? ? ,? ? ? ? 6? ? 6 ?
(II)曲线C的方程 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 可化为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 其参数方程为
2

? x ? 3 ? 2 cos ? ?? 为参数 ? ? ? y ? 2sin ?

M ? x, y ? 为曲线上任意一点,

?? ? ? ? x ? y ? 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? x ? y 的取值范围是 ? ?3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? 4? ?
【思路点拨】 (1)先根据极坐标与直角坐标互化的公式,算出曲线C的直角坐标方程,再结合

直线 l 的参数方程,联解得到关于参数t的二次方程,运用根的判别式列式并解之,即可得到角

(? ? α的取值范围; (2)由(1)可得曲线C的参数方程,从而得到 x ? y ? 3 ? 2 2 sin
后结合正弦函数的值域,即可得到 x ? y 的取值范围.

?
4

), 最

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程; ( 2 ) 若 C1 上 的 点 P 对 应 的 参 数 为 t ?

? , Q 为 C2 上 的 动 点 , 求 PQ 中 点 M 到 直 线 2

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小值. C3 : ? ? y ? ?2 ? t
【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3

x2 y 2 8 5 ? ? 1 (2) 【答案】 (1) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 , C2 : 64 9 5
2 2

【解析】 (1) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , C2 : (2)当 t ?

x2 y 2 ? ?1 64 9

? 3 时, P(?4, 4), Q(8cos? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4cos ? , 2 ? sin ? ) , 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | , 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离 d ?

从而当 cos ? ?

4 3 8 5 . ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

【思路点拨】先将参数方程转换成普通方程再利用距离公式求出最小值。

【数学文卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】11.已 知直线 l 的参数方程:?

?x ? t ? (t 为参数) 和圆 C 的极坐标方程:? ? 2 2 sin(? ? ) , 4 ? y ? 1 ? 2t

则直线 l 和圆 C 的位置关系为 【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3

【答案】相交 【解析】直线 l 消去此时 t,得直线 l 的直角坐标方程为 y=2x+1; 由 圆 C 的 极 坐 标 方 程 : ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) , 化 为 ρ=2

2(

2 2 sinθ+ cosθ) =2 2 2

(sinθ+cosθ), 两边同乘以 ρ 得 ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),化为 x2+y2=2y+2x. 得⊙C 的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,圆心 C 到直线 l 的距离 d=

2 ? 1? 1 2 5 = 2 5



2 =r ,所以直线 l 和⊙C 相交.

【思路点拨】把直线的参数方程化为普通方程,把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,利用 点到直线的距离公式得出圆心代直线的距离与半径比较即可判断出位置关系.

N4

选修 4-5 不等式选讲

【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】16.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则实数 a 的取值范围是___. .. 【知识点】不等式有解得条件. N4

【答案】 【解析】 a ? ?3 解析:设 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,则函数 f(x)的值域为[-3,3], 因为不等式 a≥f(x)存在实数解,所以 a≥-3. 【思路点拨】关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则 a 大于或等于|x+1|-|x-2| .. 的最小值.

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 (1)若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 有解,求 k 的最大值; (2)求不等式:

f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15的解集.

【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4 【答案】 (1)3(2) {x 5 ? 3 ? x ? 6}

【解析】 (1) f ( x) ? ?2 x ? 7

? ? -3 ? ? 3

x?2 2? x?5 x?5

当 2 ? x ? 5时, ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 ,所以 ? 3 ? f ( x) ? 3 ,

k ? f ( x) ,? k ? 3 ,? kmax ? 3
(2)由(1)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? x ? 6} ; 综上,不等式 f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? 3 ? x ? 6} ; 【思路点拨】分段函数求出最值,根据范围求出解集。

N5

选修 4-7 优选法与试验设计


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