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4.2.3 直线与圆的方程的应用(课时练习)-2016-2017学年高二数学上册(必修2)(解析版)

必修二 4.2.3 一、选择题 第四章 直线与圆的方程的应用 ) D.14+6 5 1.已知圆 C 的方程是 x2+y2+4x-2y-4=0,则 x2+y2 的最大值为( A.9 【答案】D B.14 C.14-6 5 【解析】圆 C 的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9,圆心为 C(-2,1),半径为 3.|OC|= 5,圆上一点(x,y)到 原点的距离的最大值为 3+ 5,x2+y2 表示圆上的一点(x,y)到原点的距离的平方,最大值为(3+ 5)2=14 +6 5. 2.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为( A.(- 3, 3) 【答案】D |2k-0-4k| 3 3 【解析】设直线 l 方程为 y=k(x-4),则由题意知, 2 ≤1,∴- 3 ≤k≤ 3 . 1+ k 3.y=|x|的图象和圆 x2+y2=4 所围成的较小的面积是( π A. 4 【答案】D 1 【解析】数形结合,所求面积是圆 x2+y2=4 面积的 . 4 3π B. 4 ) C. 3π 2 D .π B.[- 3, 3] C.(- 3 3 , ) 3 3 D.[- ) 3 3 , ] 3 3 . 4.台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险地区,城市 B 在 A 的正东 40 km 外,B 城市处于危险区内的时间为( A.0.5 h 【答案】B 20 【解析】建系后写出直线和圆的方程,求得弦长为 20 千米,故处于危险区内的时间为 =1(h). 20 B.1 h ) C.1.5 h D.2 h 二、填空题 y+2 5.已知实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的取值范围为__________ ________. x+1 3 【答案】[ ,+∞) 4 y+2 【解析】如图所示,设 P(x,y)是圆 x2+y2=1 上的点,则 表示过 P(x,y)和 Q(-1,-2)两点的直线 PQ x+1 的斜率,过点 Q 作圆的两条切线 QA,QB,由图可知 QB⊥x 轴,kQB 不存在,且 kQP≥kQA. 设切线 QA 的斜率为 k,则它的方程为 y+2=k(x+1),由圆心到 QA 的距离为 1,得 y+2 3 所以 的取值范围是[ ,+∞). 4 x+1 6. 以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是________________. 【答案】 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 2 |k-2| 2 3 =1,解得 k= . 4 k +1 15 ?0 2 |2-1-6| 5 【解析】将直线 x+y=6 化为 x+y-6=0,圆的半径 r= = , 2 1+1 15 25 2 2 ? 0. 所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2= ,化为一般形式即 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 2 7. 过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是 _________. 【答案】( 2, 2) 【解析】本题主要考查数形结合的思想,设 P(x,y),则由已知可得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30° ,由 2 2 ?x= 2 ?x +y =4 |PO|=2,由? 可得? . ?x+y=2 2 ?y= 2 三、解答题 8. 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图),它的附近有一条公路,从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B;从基地中心 O 向正北 走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离. 【答案】DE 的最短距离为(4 2-1)km. 【解析】以 O 为坐标原点,过 OB,OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系,则圆 O 的方程为 x y x2+y2=1,因为点 B(8,0),C(0,8),所以直线 BC 的方程为 + =1,即 x+y=8. 8 8 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE 为最短距离,此时 DE |0+0-8| 的最小值为 -1=(4 2-1)km. 2

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