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2014年高考数学(文科,大纲版)大二轮教学专题复习课件:专题二 三角函数 第2讲 三角恒等变换与解三角形_图文

第 2 讲 三角恒等变换与解三 角形
高考真题自测 热点考向突破 高考动向剖析

高考真题自测—夯基础
体验高考
5 sin α = ,则 cos α 等于( 13 12 (A)13 5 (B)13

提速度

1.(2013 年高考大纲全国卷,文 2)已知α 是第二象限角, A )
12 (D) 13

5 (C) 13

解析:因α是第二象限角,所以 cos α<0.
12 由三角函数同角关系式知 cosα=- 1 ? sin ? =- .故选 A. 13
2

sin 47? ? sin17? cos 30? 2.(2012 年高考重庆卷,文 5) 等 cos17?

于( C (A)3 2

) (B)1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

sin 47? ? sin17? cos 30? sin(17? ? 30?) ? sin17? cos 30? 解析: = cos17? cos17?

= =

sin17? cos 30? ? cos17? sin 30? ? sin17? cos 30? cos17?
1 cos17? sin 30? =sin 30°= . 2 cos17?

故选 C.

3.(2011 年高考四川卷,文 8)在△ABC 中,sin2A ≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围 是( C )
2 2

? π? (A) ? 0, ? ? 6?
(C)

?π ? , π (B) ?6 ? ? ?
(D)

? π? ? 0, ? ? 3?

?π ? , π ? ? ?3 ?

解析:由已知及正弦定理得 a ≤b +c -bc,

2

2

2

b ?c ?a 1 即 ≥ , 2 2bc
2 2 2

1 ∴cos A≥ , 2

π ∵0<A<π,∴0<A≤ ,故选 C. 3

4.(2012 年高考北京卷,文 11)在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,

π ∠A= ,则∠C 的大小为 3
解析:法一

.
3 2 =1, 2 3

由正弦定理得 sin B=

b sin A = a

3?

π ∵a>b,∴A>B,∴0<B< , 3 π ∴B= , 6 π ∴C=π-A-B= . 2

法二 在△ABC 中,由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 得 3 =( 3 ) +c -2
2 2 2

2

2

2

π 3 ·c·cos ,∴c 3
2

3 c-6=0,

解得 c=2 3 或 c=- 3 (舍去), ∴c=2 3 ,

π ∵a +b =c ,∴∠C= . 2 π 答案: 2
2 2 2

感悟备考
1.命题与备考 高考对本部分的考查通常是利用诱导公式、和、差、 倍角公式等三角恒等变换的知识进行化简、 求值或利 用正、余弦定理解三角形.其中,切化弦、角的变换及 边角转化是常考的三角变换思想,解三角形常与三角 函数、平面向量相结合命题.在备考中要熟练掌握诱 导公式、和、差、倍角公式及其它们之间的联系.

2.小题快做 熟练进行角的变换、 边角关系的转化是快速解决三角 函数化简求值、解三角形小题的关键,同时注意方程 思想的运用.该类真题平时练习中要达到 1 分钟内准 确求解.

热点考向突破—讲策略
考向一 三角函数的化简求值
1.热点内容

促迁移

求解三角恒等变换问题的一般思路为“五遇六想”,即遇 正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想 降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角. 2.问题引领 (1)已知 cos ? a ? ? =a(0≤a≤1),如何求 sin 2α ? 4
? ? ? π?

(2)常见角的变换有哪些?

答案:(1)利用诱导公式变换角求解: sin

? ? π ?? 2α =-cos ?2? ? ? ? ? 4 ?? ? ?
2

? π? ? 2? =- ?2 cos ? ? ? ? ? 1? =1-2a . 4? ? ? ?
(2)α =(α +β )-β ,α =(α -β )+β ,2α =(α +β )+ (α -β ),2α =(α +β )-(β -α )等.

【例 1】 (1)若

cos 2? 1 = ,则 sin 2α 的 π? 2 ? sin? ? ? ? 4? ?

值为(
7 (A)8

)
7 (B) 8 4 (C)7 4 (D) 7

1 (2)若 sin α +cos α = ,α ∈(0,π ),则 sinα 5

-cosα 的值为

.

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? 解析:(1) = π ? sin ? cosπ ? cos ? sinπ ? sin? ? ? ? 4 4 4? ?
= 2 (cos α-sin α)= 即 cos α-sin α=
2 , 4
1 8 1 2

,

等式两边分别平方得 cos α-2sin αcos α+sin α=1-sin 2α= , 解得 sin 2α= .故选 B.
7 8
2 2

(2)法一

由 sin α+cos
2

1 α= 5

1 得(sin α+cos α) = , 25 12 ∴sin αcos α=- , 25

∵α∈(0,π), ∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0, ∴sinα-cosα= ?sin? ? cos ? ? = 1 ? 2 sin? cos ? = .
2

7 5

法二 ∵α∈(0,π),

4 ? 1 sin ? ? , ? ? ? 5 ?sin ? ? cos ? ? , 5 得? ∴由 ? ?sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?cos ? ? ? 3 , ? ? 5 ?
4 ? 3? 7 ∴sin α-cos α= - ? ? ? = . 5 ? 5? 5

答案:(1)B

7 (2) 5

关注细节

此类问题的着眼点是“一角、

二名、三结构” ,即一看角的差异,二看名称的 差异,三看结构形式的差异,然后多角度利用 三角函数公式(如正用、逆用、变形用)求解.

热点训练 1 若β
+sinα cosβ 等于(
1 (A) 4 3 (B) 4

=α +30°,则 sin α +cos β ) (C)cos β
2 2

2

2

(D)sin α
2

2

解析:将β=α+30°代入 sin α+cos β+ sin αcos β,得 sin α+cos (α+30°)+sin αcos(α+30°) 2 2 =sin α+(cos αcos 30°-sin αsin 30°) + sin α(cos αcos 30°-sin αsin 30°)
2 2

? 3 ? 1 cos ? ? sin ? ? =sin + ? ? 2 ? 2 ? ?
2

? 3 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 ? 1 cos ? ? sin? ? =sin α+ ? ? 2 ? 2 ? ?
2

? 3 ? 1 ? cos ? ? sin? ? ? 2 ? 2 ? ?

? 3 ? 2 cos ? ? =sin α+ ? ? 2 ? ? ?
2

2

?1 ? - ? sin ? ? ?2 ?

2

3 1 2 2 =sin α+ cos α- sin α 4 4 3 3 2 2 = (sin α+cos α)= . 4 4

故选 B.

考向二 利用三角恒等变换研究三角 函数的图象、性质
解决此类问题的关键是灵活利用二倍角公式及辅 助角公式将函数解析式转化为 y=Asin(ω x+ ? )或 y=Acos(ω x+ ? )的形式,再求解.

【例 2】 (2012 年高考四川卷)已知函数
x x x 1 f(x)=cos -sin cos - . 2 2 2 2
2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域;
3 2 (2)若 f(α )= ,求 sin 2α 的值. 10

x x x 1 解:(1)由已知,f(x)=cos -sin cos 2 2 2 2
2

1 1 1 1 1 = (1+cos x)- sin x- = cos x- sin x 2 2 2 2 2

2 ? π? = cos ? x ? ? , 4? 2 ?

所以 f(x)的最小正周期为 T=2π,值域为
? 2 2? , ?. ?? 2 ? ? ? 2 ?

π? 3 2 2 ? (2)由(1)知,f(α)= cos ?? ? ? = , 4? 10 2 ?
π? 3 ? 所以 cos ?? ? ? = , 5 4? ?

π? ?π ? ? 所以 sin 2α=-cos ? ? 2? ? =-cos 2 ?? ? ? 4? ?2 ? ? π? 18 7 ? =1-2cos ?? ? ? =1= . 4? 25 25 ?
2

热点训练 2
2

已知函数 f(x)= 3 sin xcos x

1 -cos x+ (x∈R). 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期;
? π? (2)求函数 f(x)在区间 ?0, ? 上的函数值的取值 ? 4?

范围.

1 解:(1)∵f(x)= 3 sin xcos x-cos x+ 2
2

1 3 = sin 2x- cos 2x 2 2

π? ? =sin ? 2 x ? ? , 6? ?

2 π ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 2

π ? π? ?π π ? (2)当 x∈ ?0, ? 时,2x- ∈ ? , ? , 6 ? 4? ?6 3? 1 π? 3 ? ∴- ≤sin ? 2 x ? ? ≤ . 2 6? 2 ?

? 1 3? 故所求的取值范围为 ?? , ?. ? ? 2 2 ? ?

考向三 解三角形
在解三角形问题中,灵活利用正、余弦定理,实现 边角关系的互化是化解难点的有效方法,然后利 用方程思想求出三角形中的其他元素,达到解三 角形的目的.

【例 3】 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是
1 a,b,c,已知 a=1,b=2,cos C= . 4

(1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值.

1 解:(1)∵c =a +b -2abcos C=1+4-4× =4, 4
2 2 2

∴c=2. ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.
1 (2)∵cos C= ,且 0<C<π 4
π 15 2 ∴0<C< ,sin C= 1 ? cos C = . 2 4

a sin C 由正弦定理得 sin A= = c
π ∵a<c,∴A<C< , 2 7 ∴cos A= 1 ? sin A = , 8
2

15 4 = 15 . 2 8

∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C
7 1 15 15 11 = × + × = . 8 4 16 8 4

关注细节

(1)利用正弦定理将角的正弦化为边

时只能是用 a 替换 sin A,用 b 替换 sin B,用 c 替换 sin C.sin A,sin B,sin C 的次数要相等,各项要同 时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能 只替换一部分. (2)求角的大小一定要有两个条件:①角的范围;② 角的某一三角函数值.用三角函数值判断角的大小 时,一定要注意角的范围及三角函数的单调性.

热点训练 3 (2012 年高考新课标全国卷)已知
a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, acos C+ 3 asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.
a 2 ? b2 ? c 2 解:法一 (1)由余弦定理知 cos C= , 2ab

代入 acos C+ 3 asin C-b-c=0,
a 2 ? b2 ? c2 得 + 3 asin C=b+c, 2b

∴2 3 absin C=b +c -a +2bc 两边同除 2bc 可得

2

2

2

(*)

3a sin C =cos A+1. c
a sin A 又由正弦定理知 = ,∴ 3 sin A=cos A+1, c sin C

即 cos A= 3 sin A-1,
1 3 又 sin A+cos A=1,∴sin A= ,cos A= . 2 2
2 2

π ∴A 为锐角且 A= . 3

1 (2)∵S△ABC= absin C= 3 , 2

∴absin C=2 3 , 又 a=2, ∴(*)式可化为 12=(b+c)2-4, ∴b+c=4. 又由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A, 2 2 ∴b +c -bc=4, 2 ∴(b+c) -3bc=4, ∴bc=4,∴b=c=2.

法二

(1)由 acos C+ 3 asin C-b-c=0 及正弦定

理得 sin Acos C+ 3 sin Asin C-sin B-sin C=0, ∵B=π-A-C, ∴ 3 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,
π? 1 ? 由于 sin C≠0,∴sin ? A ? ? = . 2 6? ?
π 又 0<A<π,故 A= . 3

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3 ,故 bc=4,① 2

而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8, 由①②解得 b=c=2.

2

2

2

2

2



高考动向剖析—重思维

深挖掘

解三角形与等比(等差)数列的综合
【典例】 (2012 年高考辽宁卷,文 17,12 分)在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

解:(1)由已知 2B=A+C 且 A+B+C=180°, 所以 B=60°,
1 所以 cos B= . 2

(2)法一

1 由已知得 b =ac,cos B= , 2
2 2

根据正弦定理得 sin B=sin Asin C,
3 所以 sin Asin C=1-cos B= . 4
2

法二

1 由已知得 b =ac,cos B= , 2
2

根据余弦定理得 cos
a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 B= = = , 2 2ac 2ac

解得 a=c,
3 又 B=60°,所以 A=B=C=60°,故 sin Asin C= . 4

专家寄语

数列与解三角形知识的综合,主

要是指三角形三内角成等差数列(此时必有一内 角为 60°),三角形三边成等差数列或等比数列. 此类问题的求解主要是根据题目特征,利用正、 余 弦定理进行边、角互化,在复习时,应注意这类问 题的求解方法.

【备选例题】 【例 1】 已知向量 a=(sin θ ,2),b=(cos θ ,1),且
? π? a∥b,其中θ ∈ ? 0, ? . ? 2?

(1)求 sin θ 和 cos θ 的值;
3 π (2)若 sin(θ -ω )= ,0<ω < ,求 cosω 的值. 2 5

解:(1)∵a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且 a∥b,
sin ? cos ? ∴ = , 2 1

即 sin θ=2cos θ.
? π? ∵sin θ+cos θ=1,θ∈ ? 0, ? , ? 2?
2 2

2 5 5 ∴sin θ= ,cos θ= . 5 5

π π (2)∵0<ω< ,0<θ< , 2 2 π π ∴- <θ-ω< . 2 2 3 ∵sin(θ-ω)= , 5

∴cos(θ-ω)= 1 ? sin ?? ? ? ?
2

4 = , 5

∴cos ω=cos[θ-(θ-ω)]=cos θcos(θ-ω)+sin θ
2 5 sin(θ-ω)= . 5

【例 2】 已知函数 f(x)=m·n,m=(sinω x+cosω x,
3 cosω x),n=(cosω x-sinω x,2sinω x),其中ω >0,
π 且函数 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离不小于 . 2

(1)求ω 的取值范围; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 3 , b+c=3,当ω 取最大值时,f(A)=1,求△ABC 的面积.

解:(1)由题知,f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2 3 sin ωx
π? ? cosωx=cos 2ωx+ 3 sin 2ωx=2sin ? 2?x ? ? . 6? ?
2π π 因为ω>0,所以函数 f(x)的最小正周期 T= = , 2? ? π π π T 由题意可知 ≥ ,即 ≥ , 2 2 2? 2

则 0<ω≤1.故ω的取值范围是(0,1].

(2)由(1)可知ω的最大值为 1,
π? ? 所以当ω取最大值时,f(x)=2sin ? 2 x ? ? . 6? ?

因为ω取最大值时,f(A)=1,
π? 1 ? 所以 sin ? 2 A ? ? = . 6? 2 ?
π π 13 而 <2A+ < π, 6 6 6 π 5 所以 2A+ = π, 6 6

π 所以 A= . 3

b2 ? c2 ? a 2 由余弦定理知 cos A= , 2bc

所以 b2+c2-bc=3. 又 b+c=3,

① ②

?b ? 2, ?b ? 1, 所以联立①②解得 ? 或? ?c ? 1 ?c ? 2,
1 3 所以 S△ABC= bcsin A= . 2 2


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