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数列的概念与通项公式_图文

2.1数列的概念与简单表示法

古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三 角形数:1,3,6,10,· · ·

类似地,1,4,9,16,25,· · · · · · 被称为正方形数。

问题引领1

这些数有什么共同特点?

定义:按一定顺序排列着的一列数称为
数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的
第1项(首项),第2项,···,第n项, ···

球队 公牛 热火 步行者 胜场 50 46 42

老鹰 凯尔特人 40 39

思考

2011---2012赛季,NBA东部球队前5名获胜场次 从高到低所构成的数列:50,46,42,40,39与 从低到高所构成的数列:39,40,42,46,50是否 表示同一个数列?

球员

梅西

戈麦斯

C罗 本泽马

伊布

戈米

进球数

14

12

10

7

5

5

截止到4月26日欧冠半决赛结束, 以上球员的进球数能否构成数 列?

问题引领2

数列的项与集合中元素有什么区别?
(1)数列是一列数,而集合中的元素不一定 是数; (2) 数列中的数是有一定次序的,而集合中

的元素没有次序;
(3) 数列中的数可以重复,而集合中的元素

不能重复。

问题引领3

数列如何分类?
(1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列

项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系:

递增数列, 递减数列, 摆动数列, 常数列。

数列的一般形式可以写成:

a1,a2,a3, ?,an ?, 简记为 ? an ? ,其中 an 叫做数列的第n 项。

CCTV-2 中央电视台开心辞典节目中 曾经出现过这样的一道题: 观察以下几个数的特点, 按照其中的规律写出括号里的数.

2 2,5,10,17,26, ( 37 ) , 50 , ... a n = n +1

序号 1

2

3

4

5

6

通 项 7公 ... 式

n

问题引领4
? 你能从中得到什么启示?

数列的项

an

是n的函数

? 通项公式的概念

如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一 个公式来表示,则称此公式为数列的通项公式。

函数解析式 an ?

f (n)

就是数列的通项公式,

问题引领5
? 你能写出引入概念时的数列的通项公式吗?

由此你的结论是什么?

应用篇

例1:写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

1 1 1 (1) 1, ? ,, ? ; 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0;

问题引领6

数列的通项公式可以帮助我们解决什么问题?
例2.根据下面数列{an}的通项公式,求a5,an-1:

n (1)an= n ?1

(2)an=(-1)n· n.

问题引领7

数列还有那些表示方法?

你能做出下列两个数列的图象吗? (1)全体正偶数按从小到大顺序构成的数列 : 2,4,6,8,……,2n,… (2)正方形数构成的数列 1,4,9,16,…,n2 ,…

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
? ? ? ?

an ? 2n的图象
?

是些孤立点

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9
8

?

an ? n 2

7

6

5
4
?

3 2 1
0 -1

?

1 2

3 4

问题引领8

由此你对数列有什么新的认识? 数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 数列是定义域为正整数集或是它的有限子集 {1,2,3,……n }的函数

例2.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形,在下 图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个 数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式, 并在直角坐标系中画出它的图象.

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

an = 3

n- 1

9
8



an = 3

n- 1

7

6

5
4

3 2 1
0 -1





1 2

3 4

评价提升
数列的概念

函 数

数 列

表示方法 分类
大 小
递 增 数 列 递 减 数 列
项数

通项公式 列表 图象
有穷数列 无穷数列 常 数 列

摆 动 数 列

检测反馈
基础题组
1.根据数列的通项公式填表:

n

1
21

2

… …

5
69



12

… …

n 3(3+4n)

an

33

… 153

2.下面对数列的理解有四种: * ①数列可以看成一个定义在 ? 上的函数; ②数列的项数是无限的; ③数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤 立的点; ④数列的通项公式是唯一的.其中说法正确的 序号是(C ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④

3. 在数列1,2,3,5,8,x,21,34,55中, x应等于( ) C A.11 B.12 C.13 D.14

提高题组
4.已知数列 ?an ? 的通项公式an ? 2n ?10n ? 3 它的最小项是( D ) A.第一项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第二项或第三项
2

5.已知数列?an ?,an ? kn ? 5, 且a8 ? 11 ,
则 a17 ? 29 .

6.数列11,13,15,…,2n+1的项数是(C ) A.n B.n-3 C.n-4 D.n-5

大自然是懂数学的

仔细观察植物可以发现一些令人惊异的模式,例如菠萝 外皮的钻石形模样,斜向左下方的 有8列,向右下方的 则有13列。 松毯鳞片是以螺旋状排列,小型的松毯是向右或向左排 出5列,反方向则有8列,较细长松毯的螺旋状是8列和 13列,部分德国云杉(Picea abies)的松毯螺旋状是3列和 5列。向日葵种子排成左34支、右55支的螺旋状。 将上述各项数值由较小值起依序排列,则是1、1、2、3、 5、8、13、21、34、55,你是否发现此一连串数值中含 有一项定律?其中任何数字都是前两个数字的和,在数学 上,此数列称为"费氏数列

(Fibonacci sequence of numbers)。
你能写出这个数列的通项公式么?


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