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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 b单元 函数与导数(文科2014年) 含答案

数 B 单元 B1 函数与导数 函数及其表示 学 14. B1、 B4 若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, 且在上的解析式为 f(x) ?x(1-x),0≤x≤1, ?29? ?41? =? 则 f? ?+f? ?=______. ?4? ?6? ?sin πx,1<x≤2, 14. 5 16 3 ?29? ?41? ? 3? ? 7? ?3? ?7? 由题易知 f? ?+f? ?=f?- ?+f?- ?=-f? ?-f? ?=- + 4 6 4 6 4 6 16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin π 5 = . 6 16 2.B1、B3 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e-x C.y=ln x 2.B B.y=x3 D.y=|x| ) 由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. 21.K2、B1、B12 将连续正整数 1,2,?,n(n∈N*)从小到大排列构成一个 数 123…n,F(n)为这个数的位数(如 n=12 时,此数为 123456789101112,共有 15 个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到 0 的 概率. (1)求 p(100); (2)当 n≤2014 时,求 F(n)的表达式; (3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数,f(n)为这个数中数字 9 的个数,h(n) =f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当 n∈S 时 p(n)的最大值. 21.解:(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数 为 11,所以恰好取到 0 的概率为 p(100)= n,1≤n≤9, 11 . 192 ?2n-9,10≤n≤99, (2)F(n)=? 3n-108,100≤n≤999, ?4n-1107,1000≤n≤2014. (3)当 n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0; 当 n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当 n=100 时,g(n)=11,即 g(n)= ?0,1≤n≤9, ?k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?11,n=100. * 同理有 f(n)= ?k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?n-80,89≤n≤98, ?20,n=99,100. 0,1≤n≤8, * 由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,39,49,59,69,79,89, 90, 所以当 n≤100 时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当 n=9 时,p(9)=0. 当 n=90 时,p(90)= g(90) 9 1 = = . F(90) 171 19 g(n) k k = = ,由 y= F(n) 2n-9 20k+9 当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)= k 关于 k 单调递增,故当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为 20k+9 p(89)= 又 8 . 169 8 1 1 < ,所以当 n∈S 时,p(n)的最大值为 . 169 19 19 1 的定义域为( log2x-1 ) 3.B1 函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2] D. 若函数 f(x)有意义,则 log2x-1>0,∴log2x>1,∴x C.(2,+∞) >2. B2 反函数 3 5.B2 函数 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是( ) A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R) 5.D 3 因为 y=ln( x+1),所以 x=(ey-1)3.因为 x>-1,所以 y∈R,所 3 以函数 y=ln( x+1)(x>-1)的反函数是 y=(ex-1)3(x∈R). B3 函数的单调性与最值 ) 2.B1、B3 下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e-x C.y=ln x 2.B B.y=x3 D.y=|x| 由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. ) 4. B3、 B4 下列函数中, 既是偶函数又在区间(-∞, 0)上单调递增的是( A.f(x)= 1 x2 B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-x C.f(x)=x3 4.A 由偶函数的定义,可以排除 C,D,又根据单调性,可得 B 不对. 19.B3、B4、B14、E8 已知函数 f(x)=ex+e-x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e 的取值范围. (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈ 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表 示具有如下性质的函数 φ (x)组成的集合:对于函数 φ (x),存在一个正数 M, 使得函数φ(x)的值域包含于区间.例如,当φ1(x)=x3,φ 2(x)=sin x 时,φ 1 -x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m (x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“? b∈R,? a ∈D,f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+ g(x)∈/B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ x (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x2+1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 15.①③④ 若 f(x)∈A,

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