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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 b单元 函数与导数(理科2015年) 含答案

数 B 单元 B1 函数与导数 函数及其表示 学 6.B1 ?1,x>0, 已知符号函数 sgn x=?0,x=0,f(x)是 R 上的增函数,g(x)=f(x) ?-1,x<0. ) -f(ax)(a>1),则( A.sgn=sgn x B.sgn=-sgn x C.sgn=sgn D.sgn=-sgn 6.B 不妨令 f(x)=x+1,a=2,则 g(x)=f(x)-f(2x)=-x,故 sgn= sgn(-x),排除 A;sgn=sgn(x+1)≠sgn,又 sgn≠-sgn,所以排除 C,D.故 选 B. 10. B1 设 x∈R, 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t, 使得=1, =2, ?, =n 同时成立 ,则正整数 n 的最大值是( .... A.3 C.5 10.B B.4 D.6 =1,则 1≤t<2,① ) =2,则 2≤t2<3,② 显然存在 t∈[ 2, 3)使得=1 与=2 同时成立. 1 1 =3,则 3≤t3<4,即 3 ≤t<4 ,③ 3 3 1 1 1 1 1 1 因为 2 <3 <4 <3 ,所以存在 3 ≤t<4 使得①②③同时成立. 2 3 3 2 3 3 1 1 =4,则 4≤t4<5,则 4 ≤t<5 ,④ 4 4 1 1 同理,可以求得 3 ≤t<5 使得①②③④同时成立. 3 4 1 1 =5,则 5≤t5<6,即 5 ≤t<6 ,⑤ 5 5 1 1 1 1 1 1 因为 6 <3 ,所以 5 ≤t<6 与 3 ≤t<5 的交集为空集. 5 3 5 5 3 4 所以 n 的最大值是 4.故选 B. ?3x-1,x<1, 10.B1、B6 设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 的取值 ?2 ,x≥1. 范围是( ) B. ?2 ? A.? ,1? ?3 ? ?2 ? C.? ,+∞? ?3 ? D. 当 a<1 时,f(a)=3a-1,若 f(f(a))=2f(a),则 f(a)≥1, 2 即 3a-1≥1,∴ ≤a<1; 3 当 a≥1 时,f(a)=2a≥2,此时 f(f(a))=2f(a). 2 综上所述,a≥ . 3 7.B1 存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x C.f(x2+1)=|x+1| 7.D B.f(sin 2x)=x2+x D.f(x2+2x)=|x+1| π 时,得 f(0) 2 ) 对选项 A 中的函数,当 x=0 时,得 f(0)=0,当 x= =1,矛盾;选项 B 中的函数,当 x=0 时,得 f(0)=0,当 x= π 时,得 f(0)= 2 π2 π + ,矛盾;选项 C 中的函数,当 x=-1 时,得 f(2)=0,当 x=1 时,得 4 2 f(2)=2,矛盾;选项 D 中的函数变形为 f((x+1)2-1)= (x+1)2-1+1,令 t=(x+1)2-1 可知,f(t)= t+1满足要求. 10.B1、B3 ?x+2 -3,x≥1, 已知函数 f(x)=? x 则 f=________,f(x) ?lg(x +1),x<1, 2 的最小值是________. 10.0 2 2-3 f(-3)=lg 10=1, 2-3,当且仅当 x= 2时,等号成 2-3. 2 f=f(1)=0.当 x≥1 时,x+ -3≥2 x 立;当 x<1 时,lg(x2+1)≥lg 1=0.故最小值为 2 B2 B3 反函数 函数的单调性与最值 21.B3、B14 设函数 f(x)=x2-ax+b. ? π π? (1)讨论函数 f(sin x)在?- , ?内的单调性并判断有无极值,有极值时 2? ? 2 求出极值; ? π π? (2)记 f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在?- , ?上的 2? ? 2 最大值 D; a2 (3)在(2)中,取 a0=b0=0,求 z=b- 满足条件 D≤1 时的最大值. 4 21. 解: (1)f(sin x)=sin2x-asin x+b=sin x(sin x-a)+b, - π π <x< . 2 2 π π <x< , 2 2 ′=(2sin x-a)cos x,- 因为- π π <x< ,所以 cos x>0,-2<2sin x<2. 2 2 ①当 a≤-2,b∈R 时,函数 f(sin x)单调递增,无极值. ②当 a≥2,b∈R 时,函数 f(sin x)单调递减,无极值. ? π π? ③对于-2<a<2,在?- , ?内存在唯一的 x0,使得 2sin x0=a. ? 2 2? 当- π <x≤x0 时,函数 f(sin x)单调递减; 2 π 时,函数 f(sin x)单调递增. 2 当 x0≤x< ?a? 因此,当-2<a<2,b∈R 时,函数 f(sin x)在 x0 处有极小值 f(sin x0)=f? ? ?2? a2 =b- . 4 (2)当- π π ≤x≤ 时,|f(sin x)-f0(sin x)|=|(a0-a)sin x+b-b0|≤ 2 2 |a-a0|+|b-b0|, 当(a0-a)(b-b0)≥0 时,取 x= π ,等号成立, 2 π ,等号成立. 2 当(a0-a)(b-b0)<0 时,取 x=- ? π π? 由此可知,|f(sin x)-f0(sin x)|在?- , ?上的最大值 D=|a-a0|+|b 2? ? 2 -b0|. a2 (3)D≤1 即为|a|+|b|≤1,此时 0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而得 z=b- ≤ 4 1. a2 取 a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且 z=b- =1, 4 a2 由此可知,z=b- 满足条件 D≤1 的最大值为 1. 4 1?n ? 22.B3、M3、E7 已知数列{an}的各项均为正数,bn=

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