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高二数学综合法和分析法


数学:2.2.1《综合法和分析法》教案
第一课时 2.2.1 综合法和分析法(一) 教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备:

1 1 ? ? 4” ,试请此结论推广猜想. a1 a2 1 1 1 ? ? .... ? ? n2 ) (答案:若 a1 , a2 .......an ? R ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 ? a1 a2 an 1 1 1 2. 已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证: ? ? ? 9 . a b c 先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点?
1. 已知 “若 a1 , a2 ? R? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:已知 a, b, c 是不全相等的正数,求证:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点 ② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.

b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ③ 练习:已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证 ? ? ?3. a b c
数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? → 板演证明过程 2. 练习: ① A, B 为锐角,且 tan A ? tanB ? → 讨论:证明过程的特点.

④ 出示例 2:在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差

→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和)

3 tan A tan B?

A ? B ? 60? . (提示:算 3 ,求证:

tan( A ? B) )
② 已知 a ? b ? c, 求证:

3. 小结: 综合法是从已知的 P 出发, 得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? , 直到最后的结论是 Q. 用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习: 1. 求证:对于任意角θ , cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? . 2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证: 3. 作业:教材 P102 A 组 2、3 题. (教材 P100 练习 1 题) (两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程)

1 1 4 ? ? . a ?b b ?c a ?c



1 1 3 . ? ? a ?b b?c a ?b?c

第二课时

2.2.1

综合法和分析法(二)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 . 讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? → 板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法 ② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示:
2

(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

③ 练习:设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x ? y ) ? ( x3 ? y 3 ) 3 . 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例 2:见教材 P97. ⑤ 出示例 3:见教材 P99. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)

1 2 2

要点:逆推证法;执果索因.
1

2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等, 那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

l l ,截面积为 ? ( )2 ,周长为 l 2? 2? l l l l 的正方形边长为 ,截面积为 ( )2 ,问题只需证: ? ( )2 > ( )2 . 4 4 2? 4 3. 小结:分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P 1, P 2, ??? ,直到
提示:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为 所有的已知 P 都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用 分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知” (综合) ,双管齐 下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. 图示意) 三、巩固练习: 1. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c2 ? a2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S . 略证:正弦、余弦定理代入得: ?2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C , 即证: 2 ? cos C ? 2 3 sin C ,即: 3sin C ? cos C ? 2 ,即证: sin(C ? 2. 作业:教材 P100 练习 2、3 题. (框

?
6

) ? 1 (成立).

第三课时

2.2.2 反证法

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证 法的思考过程、特点. 教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转 2 枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题: “过在同一直线上的三点 A、B、C 不 能作圆”. 讨论如何证明这个命题? 3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过 A、B、C 三点, 则 O 在 AB 的中垂线 l 上,O 又在 BC 的中垂线 m 上, 即 O 是 l 与 m 的交点。 但 ∵A、B、C 共线,∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. 二、讲授新课: 1. 教学反证法概念及步骤: ① 练习:仿照以上方法,证明:如果 a>b>0,那么 a ? b ② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明 假设错误,从而证明了原命题成立. 证明基本步骤: 假设原命题的结论不成立 → 从假设出发, 经推理论证得到矛盾 → 矛盾 的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立 应用关键: 在正确的推理下得出矛盾 (与已知条件矛盾, 或与假设矛盾, 或与定义、 公理、 定理、事实矛盾等). 方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的, 即由一个命题与其逆 否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 注:结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题: ① 出示例 1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不被 P 平 分. ② 出示例 2:求证 3 是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为 m / n ) 证:假设 3 是有理数,则不妨设 3 ? m / n (m,n 为互质正整数) , 从而: (m / n)2 ? 3 , m2 ? 3n2 ,可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p(p 是正整数) ,则 3n2 ? m2 ? 9 p2 ,可见 n 也是 3 的倍数. 这样,m, n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 3 ? m / n 不可能,∴ 3 是无理数.
C P B A O D

③ 练习:如果 a ? 1 为无理数,求证 a 是无理数. 提示:假设 a 为有理数,则 a 可表示为 p / q ( p, q 为整数) ,即 a ? p / q . 由 a ? 1 ? ( p ? q) / q ,则 a ? 1 也是有理数,这与已知矛盾. ∴ a 是无理数. 3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论 正确. 注意证明步骤和适应范围( “至多” 、 “至少” 、 “均是” 、 “不都” 、 “任何” 、 “唯一”等 特征的问题) 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P102 1、2 题 2. 作业:教材 P102 A 组 4 题.


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