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文科数学一轮复习讲义教案-集合与简易逻辑-知识点与题型


集合与简易逻辑
考点一:集合
(一) 知识清单

1. 集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系: 文字语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集 符号 自然数集 正整数集
N ? 或 N?

符号语言

?

?

整数集

有理数集
Q

实数集

复数集

N

Z

R

C

2: 集合间的基本关系 关系 相等 都相同 A 中任意一元素均为 B 中的元 子集 素 A 中任意一元素均为 B 中的元 真子集 素, 且 B 中至少有一元素不是 A 的元素 空集是任何集合的子集, 是任 空集 何非空集合的真子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素 符号语言

A ? B且 B ? A ?
A?B

A ? B或B ? A

A

B

? ? A ,?

B (B ?? )

1

若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子集的个数
n

是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2
n n

3:集合的基本运算 1.两个集合的交集: A 2.两个集合的并集: A

B=

? x x ? A且x ? B? ; ? ?

B = ? x x ? A或x ? B? ;

3.设全集是 U,集合 A ? U ,则 CU A ? x x ? U 且x ? A

4:方法指导 1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形) ,然后确定处理此 类问题的方法. 2.关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简,再进行运算. 3.含参数的集合问题,多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用 数形结合、分类讨论等数学思想. 5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.

(二) 典型例题分析
题型一:集合的概念 例1、 已知全集 U ? R , 集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2, } 的 )

关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有(

A. 3 个

B. 2 个

C. 1 个 )

D. 无穷多个

变式:下面四个命题正确的是(

(A)10 以内的质数集合是{1,3,5,7} (B)方程 x2-4x+4=0 的解集是{2,2} (C)0 与{0}表示同一个集合 (D)由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}

题型二:集合的性质 例2、 A.0
2 集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A

?

?

B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为 (
D.4

)

B.1

C.2

2

例3、 例 3.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影 表示的集合为 ( ) A.{2} 例4、 B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3}

2

已知全集 S ? {1,3, x3 ? x2 ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 C S A ? {0} ,

则这样的实数 x 是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由

题型三:集合的运算 例5、 已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A B. 3,5,7?

?

CN B ? (
D. 1, 2,3?

)

A. 1,5,7?

?

?

C. 1,3,9?

?

?

例6、

已 知

函 数

f ( x) ?

x ?1 x?2

的 定 义

域 集 合 是

A,





g ( x) ? lg[ x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a] 的定义域集合是 B
(1)求集合 A、B (2)若 A U B=B,求实数 a 的取值范围.

题型四:图解法解集合问题 例7、 已知集合 M= ? x | A. ? C. [?3,3]
2 2

? ?

x2 y2 ? ? x y ? ? ? 1? ,N= ? y | ? ? 1? ,则 M ? N ? ( ) 9 4 ? ? 3 2 ?
B. {(3,0), (2,0)} D. ?3,2?

变式 1. 已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} , B ? {( x, y) | x, y 为实数,且

x ? y ? 1} ,则 A B 的元素个数为(
A.4 B.3 C.2

). D.1

变式 2. 设集合 A ? {? x, y ? | 是( A.4 ) B.3

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数 4 16

C.2

D.1

例8、

设集合 A ? {x | x ? 2x ? 2m ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 0}, , 若A ? B ? ? ,求实数 m
2

的取值范围.

3

题型五:创新题型 例10. 设 A 、 B 是 非 空 集 合 , 定 义 A? B ? {x x ? A ? B且x ? A ? B} , 已 知 A= {x | y ?

2 x ? x 2 } ,B= { y | y ? 2x , x ? 0} ,则 A×B 等于(



A. ? 0, ?? ? ;B. ?0,1?

?2, ??? ;C. ?0,1? ?2, ??? ;D. ?0,1?

(2, ??)

例11. 对于复数 a , b , c , d ,若集合 S ? {a, b, c, d } 具有性质“对任意 x, y ? S ,必有

? a ?1 ? 2 ,则当 ? b ? 1 时, b ? c ? d 等于( xy ? S ” ?c 2 ? b ?
A .1
B . ?1 C . 0 D . i



考点二:常用逻辑用语
(一) 知识清单 (二)
知识体系总览 四种命题 命题及其关系 充分条件与必要条件 或 简单的逻辑联结词 且 非 或 量词 全称量词与存在量词 并集 交集 补集 全称量词 存在量词 含有一个量词的否定 运算

常 用 逻 辑 用 语

1.命题的四种形式与相互关系 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; 逆否命题:若┑q 则┑p 原命题与逆否命题互为逆否,同真假; 逆命题与否命题互为逆否,同真假;
王新敞
奎屯 新疆

原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q

互 逆 互 为 为 互 否

逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

4

2.充分条件和必要条件 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件。 3.逻辑联结词“非” 、 “且”和“或” (1)“非 p” ┐p 形式的复合命题真假: 当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真. (真假相反) p 非p 真 假 假 真

(2)“p 且 q” p∧q 形式的复合命题真假: 当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假. (一假必假) p q p且q 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假

(3)“p 或 q” p∨q 形式的复合命题真假: 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假. (一真必真) p q P或q 真 真 假 假 真 假 真 假 真 真 真 假

4.全称量词与存在量词 数学命题中出现“全部”、 “所有”、 “一切”、 “任何”、 “任意”、 “每一个”等与“存 在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称 量词与存在性量词(用符号分别记为“ ? ”与“ ? ”来表示) ;由这样的量词构成的命题 分别称为全称命题与存在性命题。 一般地,全称命题 P:? x?M,有 P(x)成立;其否定命题┓P 为:?x∈M,使 P(x)不 成立。存在性命题 P:?x?M,使 P(x)成立;其否定命题┓P 为:? x?M,有 P(x)不成立。 用符号语言表示: P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x) P:??M, p(x)否定为? P: ??M, ? P(x)

(三) 典型例题分析
题型一:命题及其关系、充分条件与必要条件 例12. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

)

5

例13. 命题“若函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数, 则 loga2<0”的逆否 命题是( ) A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 例14. “ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

例15. “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

变式 3:设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 2 变式 4:若集合 A={1,m },集合 B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的

条件. 条件.

题型二:逻辑联结词、全称量词与存在量词 2 例16. 已知命题 p: ? x∈R,使 tanx=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结 论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧ ? q ”是假命题; ③命题“ ? p ? q ”是真命题; ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题. 其中正确的是 (填序号).

例17. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 2 2 C.命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题
2 例18. 给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q :关于 x 的方程

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根.如果 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求实数 a 的取
值范围.

6


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