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www.366555.com:高三数学-【数学】山东省肥城市省级规范化学校2018年第一次联合测试(数学) 精品

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山东省肥城市省级规范化学校 2018 年第一次联合测试

高三数学试题
[肥城一中、二中、三中、六中、泰西中学]
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知| a |=3,| b |=1,且 a 与 b 同向共线,则 a ? b 的值是

A. ?3

B.0

C.3

D.–3 或 3

解析:∵ a 与 b 同向共线,∴ a ? b ?| a | ? | b | cos 0 ? 3 ,选 C。

2.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频

率分布直方图(如下图),为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这

10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在(2500,3000)(元)月收入

段应抽出的人数为 A

A.25

B.30

C.35

D.40

解析:抽出的人数为:0.0018×500×100=25,选 A。
3.已知两个函数 f (x) 和 g(x) 的定义域和值域都是集合{1, 2,3},其定义如下表:

x

1

2

3

f (x) 2

3

1

x

1

2

3

g(x) 3

2

1

则方程 g[ f (x)] ? x 的解集为( C )

A.{1}

B.{2}

解析:对照表格可知选 C。

C.{3}

D. ?

4.已知函数 f (x) ? k cos x 的图象经过点 P( ? , 1) , 则函数图象上过点 P 的切线斜率等 3
于:

A. 1

B. 3 C. ? 3

D. –1

解析: f (? ) ? k cos? ? 1? k ? 2, f ?(x) ? ?k sin x , k ? f ?(? ) ? ?2sin ? ? ? 3 ,

3

3

3

3

选 C。

5.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x2+x-6<0 的解集是 B, 不等式 x2+ax+b<0 的解

集是 A?B, 那么 a+b 等于

(A )

A.-3

B.1

C.-1

D. 3

解析:由题意: A ? {x | ?1< x <3} , B ? {x | ?3 < x <2} , A B ? {x | ?1< x <2} ,

由根与系数的关系可知: a ? ?1,b ? ?2,选 A。

6.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下 表:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)= ? 0.984

f(1.375)= ? 0.260

f(1.438)=0.165

f(1.4185)= ? 0.182

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为

(C)

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

解析:由表格可知零点位于 1.4185 至 1.438 之间,所以近似解为 1.4,选 C。

7.若圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 6 ? 0 上有且仅有三个点到直线 ax ? y ?1 ? 0 (a 是实数)的距

离为 1,则 a 等于( B ).

A. ?1 B. ? 2 4

C. ? 2

D. ? 3 2

解析:由题意圆心(3,1)到直线的距离是 1,选 B。

8.(理)有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球

的编号互不相同的概率为

()

5

A.

.

21

2
B. .
7

1
C.
3

8
D.
21

解析:从 10 个球中取出 4 个,不同的取法有 C140 ? 210 种.如果要求取出的球的编号互

不相同,可以先从 5 个编号中选取 4 个编号,有 C54 种选法.对于每一个编号,再选择球,有

两种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有 C54? 24 ? 80 种。因此,取出的
球的编号互不相同的概率为 80 ? 8 . 故选(D). 210 21
(文)幂函数 f ( x) ? xn ( n ? 1, 2,3, 1 , ?1)具有如下性质: 2
f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2[ f (1) ? f (?1) ?1] ,则函数 f ( x) :

(A)是奇函数 (C)既是奇函数,又是偶函数

(B)是偶函数 (D)既不是奇函数,又不是偶函数

解析:由 f 2 (1) ? f 2 (?1) ? 2[ f (1) ? f (?1) ?1] ? n ? 2 , f (x) ? x2 为偶函数,所以选 B。

9.(文)正四面体 ABCD 的棱长为 1,G 是△ABC 的中心,M 在线段 DG 上,且∠AMB=900, 则 GM 的长为( )

A.1/2 B. 2 2

C. 3 3

D. 6 6

解析:(文)M 在 AB 垂直平分线上, MA ? MB ? 2 , MG ? MA2 ? AG2 ? 6 ,选 D

2

6

(理)在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则 A-BCD 的体积为( )

A. 12 12

B. 2 C. 3

24

12

D. 3 24

解析:(理)EF⊥DE,EF∥AC∴AC⊥DE,又 AC⊥BD∴AC⊥面 ABD,AB=AC=AD= 2 ,可求体积 2

选 B。

? ? 10.

函数

f ?x? ?

? ?

x2

?4sin x

x?0

,则集合 x f ? f ?x?? ? 0 中元素的个数有

0? x??

A .2 个

B . 3个

C .4 个

D. 5 个

解析:当 x ? 0,? 满足题意,令 x2 ? ? (x ? 0) ? x ? ? ? ,令 4sin x ? ? ? sin x ? ? , 4

在 0 ? x ? ? 上有两解,从而有 5 解,选 D。

11.函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?) (其中? ? 0 , ? ? ? ? ? ? )的图象

2

2

如图所示,若点 A 是函数 f (x) 的图象与 x 轴的交点,点 B、D 分别

是函数 f (x) 的图象的最高点和最低点,点 C ( ? ,0) 是点 B 在 x 轴 12

上的射影,则 AB ? BD 的值是 C

A.8

B. ?8

C. ? 2 ? 8 8

D. ? ? 2 ? 8 8

解析:由图可知 T ? ? ? ? ? ? ? T ? ? ,∴? ? 2 ,又 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ,

4 3 12 4

3

3

从而 A(? ? ,0) , B( ? , 2), D(7? , ?2) , AB ? (? , 2), BD ? (? , ?4) ,选 C。

6

12

12

4

2

12.(理)如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互

相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

① BD ? AC ? 0 ;

A A

②∠BAC=60°; ③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; B D C

D

B

C

④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直.

其中正确的是 B

()

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

解析:BD ? 平面 ADC ? BD ? AC ,①错; AB ? AC ? BC ,②对;DA ? DB ? DC ,

结合②,③对④错。选 B。

(文)若 a 是从区间[0,3] 任取的一个数,b 是从区间[0,2] 任取的一个数,则关于 x 的一元

二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根的概率是:

A. 3 4

B. 2 3

C. 4 9

D. 1 2

? ? 解析:试验的全部结果所构成的区域为 (a,b) | 0≤a ≤3,0≤b≤2 .

构 成 事 件 “ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有 实 根 ” 的 区 域 为

? ? (a,b) | 0≤a ≤3,0≤b≤2,a≥b

3? 2 ? 1 ? 22

.所以所求的概率为 ?

2

? 2.

3? 2

3

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。
13. 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x

3

5

lgx

2a-b

a+c

请将错误的选出并改正:

=

8 3-3a-3c


9 4a-2b

15 3a-b+c+1

解析: lg15 ; 3a ?b ? c ; lg15 ? lg 3 ? lg 5 ? 3a ? b ? c

14.一个正方体表面展开图中,五个正方形位置如图阴影所示. 第六个正方形在编号 1 到 5 的位置,则所有可能位置的编 号是________. 解析:②③;将表面展开图还原为正方体,则②③正确。


① ⑤

③ ④

? ? 15.设集合 M ? m m ? 7n ? 2n, n ? N*,且m ? 200 ,则集合 M 中所有元素的和为

7
? 解析:450;由 m ? 7n ? 2n ? 200 ? n ? 7, n ? N * , S7 ? 7 i ? (2 ? 22 ? ??? ? 27 ) ? 450 i ?1

16. 如图, 为了测量河的宽度, 在河的一岸边选取两点 A, B , 观 察对岸的点 C , 测得 ?CAB ? 75? , ?CBA ? 45? , 且 AB ?96 米, 则河的宽度为 ________ ( 2 ? 1.4, 3 ? 1.7 ,精确到米).

解 析 : 81 米 ; ?ACB ? 60 , 由 正 弦 定 理 得 : BC ? AB ?sin 75 ? 48( 2 ? 6) ,

sin 60

3

1 ?96? 48( 2 ? 6) ? 3 ? 1 ?96? h ? h ? 24( 2 ? 6) =81 米。

2

3

22

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。

17.(本小题满分 12 分)

设 x∈R,函数 f (x) ? cos(?x ? ?)(? ? 0,? ? ? ? ? 0)的最小正周期为 ? ,且f (? ) ? 3 .

2

42

(I)求?和? 的值;

(II)在给定坐标系中作出函数 f (x)在[0,? ]上的图象;

(III)若 f (x) ? 2 ,求x 的取值范围. 2

解:(I)周期T ? 2? ? ? ,?? ? 2 , ?

…………2 分

f (? ) ? cos(2? ? ? ?) ? cos(? ? ?) ? ? sin? ? 3 ,

4

4

2

2

? ? ? ? ? 0,?? ? ? ? .…………4 分

2

3

(II)? f (x) ? cos(2x ? ? ) ,列表如下: 3

2x ? ?

??

0

?

π

3

3

2

3?

5?

2

3

x

0

?

5?

2?

11 ?

π

6

12

3

12

f(x)

1

1

0

-1

0

1

2

2

图象如图:

…………8 分

(III)∵ cos(2x ? ? ) ? 2 , 32

?2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ?

4

3

4

…………10 分

2k? ? ? ? 2x ? 2k? ? 7 ? ,

12

12

k? ? ? ? x ? k? ? 7 , k ? Z ,

24

24

? x的范围是{x | k? ? ? ? x ? k? ? 7 ? , k ? Z}.

24

24

18.(本小题满分 12 分)

…………11 分 …………12 分

某单位投资生产 A 产品时,每生产 1 百吨需要资金 2 百万元,需场地 2 百平方米,可

获利润 3 百万元;投资生产 B 产品时,每生产 1 百米需要资金 3 百万元,需场地 1 百平方

米,可获利润 2 百万元.现该单位有可使用资金 14 百万元,场地 9 百平方米,如果利用这

些资金和场地用来生产 A、B 两种产品,那么分别生产 A、B 两种产品各多少时,可获得最

大利润?最大利润是多少?

解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,共获得利润 S 百万元,-------------1 分

?2x ? 3y ? 14



??2x ? y ? 9

? ?

x

?

0

?? y ? 0

------------------------------------5 分

注:缺少式子且不影响最后答案时,每缺少一个式子扣 1 分

目标函数为 S ? 3x ? 2y ,

作出可行域——如图 -----------------------------------6 分



?2x ? y ? 9 ??2x ? 3y ? 14







线



2x ? y ? 9



2x ? 3y ? 14









(1 3 , 5) 42

--------------------------------------------------7 分

平移直线 y ? ? 3 x ? S ,当它经过直线与 2x ? y ? 9 和 2x ? 3y ? 14 的交点 (13 , 5)

22

42

时 , 直 线 y??3x? S 在 y 轴 上 截 距 S 最 大 , S 也 最

22

2

大. -------------------------------------------9 分

此时, S ? 3? 13 ? 2? 5 ? 14.75。 ---------------------------------------10 分 42

因此,生产 A 产品 3.25 百吨,生产 B 产品 2.5 百米,可获得最大利润,最大利润为 1475

万元。----------------------------------------------------------------------------------12 分

19.(本小题满分 12 分)

(理)如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,侧面

A 1 ACC 1 ⊥底面 ABC,

∠A 1 AC=60°.

(Ⅰ)求侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA1 上是否存在点 P,

使 DP∥平面 AB 1 C?若存在,请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)∵侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,作 A1O⊥AC 于点 O, ∴A1O⊥平面 ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱长都相等,
∴AO=1,OA1=OB= 3 ,BO⊥AC.………………2 分
故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则

A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),A1(0,0, 3 ),C(0,1,0), AA1 ? (0,1, 3) ;
? ? ∴ AB1 ? 3,2, 3 , AC ? ?0,2,0?.…………………4 分
设平面 AB1C 的法向量为 n=(x,y,1)



??n ?

?

AB1

?

3x ? 2y ?

3

??n ? AC ? 2y ? 0

解得 n=(-1,0,1).………………6 分

由 cos< AA1, n >=

AA1 ? n AA1 ? n

?

2

3 2

?

6. 4

而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA1 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为

6. 4 ……………6 分

? ? ? ? (Ⅱ)∵ BD ? BA ? BC, 而 BA ? ? 3, ?1,0 , BC ? ? 3,1,0 .

∴ BD ? (?2 3, 0, 0) 。………………8 分

又∵B( 3 ,0,0),∴点 D 的坐标为 D(- 3 ,0,0).

假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0,y,z).
? ? ∴ DP ? 3, y, z

∵DP∥平面 AB1C,n=(-1,0,1)为平面 AB1C 的法向量,

?y ?1? ?

∴由 AP ? ? AA1 ,得 ?
?

3??

,? y ? 0.

3

……………11 分

又 DP ? 平面 AB1C,

故存在点 P,使 DP∥平面 AB1C,其从标为(0,0, 3 ),即恰

好为 A1 点.………12 分

(文)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M 分别 是棱 B1C1、B1B1、C1D1 的中点.
(Ⅰ)求证:CF⊥平面 EAB; (Ⅱ)是否存在过 E、M 点且与平面 A1FC 平行的平面?
若存在,请指出并证明之;若不存在,请说明理由. (I)证明:在正方形 B1BCC1 中,∵E、F 分别为 B1C1、B1B 的中点,
∴△BB1E≌△BCF,∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE
又 AB⊥平面 B1BCC1,CF ? 平面 B1BCC1,
∴AB⊥CF………………………………5 分 AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB.…………6 分

(II)设

N

是棱

C1C

上的一点,且

C1N=

1 4

C1C.

则平面 EMN 为符合要求的平面.…………8 分

证明如下:

设 H 为棱 C1C 的中点,

∵C1N=

1 4

C1C,

∴C1N=

1 2

C1H,

又 E 为 B1C1 的中点,

∴EN//B1H,

又 CF//B1H,

∴EN//CF,∴EN//平面 A1FC………………………………10 分

同理 MN//D1H,

D1H//A1F,

∴MN//A1F,∴MN//平面 A1FC.………………………………11 分

EN∩MN=N,

∴平面 EMN//平面 A1FC.……………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分)

已 知 数 列 {an } 是 等 比 数 列 , a4 ? e , 如 果 a2 , a7 是 关 于 x 的 方 程 :

ex2 ? kx ? 1 ? 0, (k ? 2 e ) 两个实根,( e 是自然对数的底数)

(1)求{an } 的通项公式;

(2)设: bn ? ln an , S n 是数列{bn }的前 n 项的和,当: Sn ? n 时,求 n 的值;

(3)对于(2)中的{bn },设: cn ? bnbn?1bn?2 ,而 Tn 是数列{cn }的前 n 项和,求Tn 的

最大值,及相应的 n 的值。

解:(1)由于

a2 , a7 是已知方程的两根,所以,有: a2a7

?

1 , 即: e

a1qa1q 6

?

1, e

而: a4 ? e ,得 a1q 3 ? e 两式联立得: q ? e?3 , 所以, an ? a4q n?4 ? e13?3n

故 得数列{an } 的通项公式为: an ? e13?3n ……………………………………4 分

(2) bn ? ln an ? ln e13?3n ? 13 ? 3n ,所以,数列{bn }是等差数列,由前 n 项和公式得:

Sn

? (10 ?13 ? 3n)n ? n ,得 2

23 ? 3n ? 2 ,所以有:

n ? 7 ………………7 分

(3)由于 bn ? 13 ? 3n 得: b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ? b5 ? b6 ? . . . . . . . 又因为

cn ? bnbn?1bn?2 ,所以有: c1 ? b1b2b3 ? 0, c2 ? b2b3b4 ? 0 , 而 c3 ? b3b4b5 ? 0

c4 ? b4b5b6 ? 0, c5 ? b5b6b7 ? 0 且 当:n ? 5 时,都有 cn ? 0 ,但是,c3 ? ?8

c4 ? 10 即 : c3 ? c4 所 以 , 只 有 当 : n ? 4 时 , Tn 的 值 最 大 , 此 时

Tn (max) ? 280 ? 28 ? 8 ? 10 ? 310 ………………………………………12 分

21.(本小题满分 12 分)

设函数 f (x) ? x(x ?1)(x ? a),(a ?1)

(1)证明 f (x) 有两个不同的极值点 x1, x2 ; (2)对于⑴中的 x1, x2 ,若不等式 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

解(1) f ?(x) ? 3x2 ? 2(1 ? a)x ? a. ……………1 分

令f ?(x) ? 0得方程: 3x2 ? 2(1? a)x ? a ? 0.

因? ? 4(a2 ? a ?1) ? 4a ? 0,故方程有两个不同实根x1, x2 ,…………3 分 不妨设x1 ? x2,由f ?(x) ? 3(x ? x1)(x ? x2 )可判断f ?(x)的符号如下: 当x ? x1时, f ?(x) ? 0; 当x1 ? x ? x2时, f ?(x) ? 0; 当x ? x2时, f ?(x) ? 0 因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点.…………………6 分 (II)因 f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0, 故得不等式 : x13 ? x23 ? (1? a)(x12 ? x22 ) ? a(x1 ? x2 ) ? 0 , 即(x1 ? x2 )[(x1 ? x2 )2 ? 3x1x2 ] ? (1? a)[(x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ] ? a(x1 ? x2 ) ? 0 ………8 分

又由(I)知

? ??

x1

?

? ??

x1

? x2

x2 ?

?2 3
a. 3

(1

?

a),

……………………10



代入前面不等式,两边除以(1+a),并化简得

2a2 ? 5a ? 2 ? 0.

解不等式得 a ? 2或a ? 1 (舍去) 2

因此,当a ? 2时,不等式f (x1) ? f (x2 ) ? 0成立 .……………12 分

22.(本小题满分 14 分)

如图,A

为椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 上的一个动点,弦

AB、AC

y 分

别过焦点 F1、F2,当 AC 垂直于 x 轴时,

A

恰好有 AF1:AF2=3:1.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率;

F1

F2

x

(Ⅱ) 设 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C .

B

C

①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时,

求 ?1 ? ?2 的值;

②当 A 点为该椭圆上的一个动点时,试判断是

?1 ? ?2 否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.

解(Ⅰ)设 | AF2 |? m ,则| AF2 |? 3m .由题设及椭圆定义得

??(3m)2 ?

?

m2

?

(2c)2

,消去

m



a2

?

2c2

,所以离心率

e

?

??3m ? m ? 2a

2 .―――――――3 分 2

(Ⅱ) 由(1)知, b2 ? c2 ? 1 a2 ,所以椭圆方程可化为 2

x2 ? 2 y2 ? 2c2 .

①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时, ?1 ? ?2 ,直线 AF1 的方程为 y ? x ? c .



?? y ? x ? c ???x2 ? 2y2

?

a2



3x2

?

4cx

?

0

,解得

x1

?

0

,

x2

?

?

4 3

c



∴ 点 B 的坐标为 (? 4 c,? 1 a) . 33

又 F1(?c,0) ,所以| F1B |?

2 3

c



|

AF1

|?

2c ,所以 ?1 ? 3 , ?1 ? ?2 ? 6 .―――6 分

②当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6.

证明 设 A(x0 , y0 ) , B(x1, y1) ,C(x2, y2 ) ,则 x02 ? 2 y02 ? a2 .



A

为椭圆的长轴端点,则

?1

?

a a

? ?

c c

, ?2

?

a a

? ?

c c

,



?1

?

a a

? ?

c c

, ?2

?

a a

? ?

c c



所以 ?1

?

?2

?

2(a2 ? c2 ) a2 ? c2

?

6

.――――――――――――――――――――――8



若 A 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 意 一 点 , 则 由 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C 得 ,

?1

?

?

y0 y1

, ?2

?

?

y0 y2

,所以 ?1

?

?2

?

? y0 (

1 y1

?

1 y2

).

又直线

AF1 的方程为

x

?

c

?

x0 ? y0

c

y

,所以由

? ? ?

x

?

c

?

x0 ? y0

c

y

? ?

x2

?

2y2

?

2c2



[2 y02 ? (x0 ? c)2 ]y2 ? 2cy0 (x0 ? c) y ? c2 y02 ? 0 .

x02 ? 2 y02 ? 2c2 ,

∴ (3c ? 2x0 ) y2 ? 2y0 (x0 ? c) y ? cy02 ? 0 .

由韦达定理得

y0 y1

?

? cy02 3c ? 2x0

,所以

y1

?

? cy0 3c ? 2x0

.

同理

y2

?

cy0 ?3c ? 2x0

.

∴ ?1

? ?2

?

?

y0

(

1 y1

?

1 y2

)

?

?

y0

(?

3c

? 2x0 cy0

?

?3c ? 2x0 cy0

)

?

6.

综上证得,当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6.―――――――14 分

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