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数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

数列求通项公式 A组
1.在数列{ an }中, a1 =1, (n+1)· a n ?1 =n· an ,求 an 的表达式。

2.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,试求通项公式 an 。 3 2 a n ? 4 ,且 a1 ? 1 求通项 an 。 3 2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

3.已知数 {an } 的递推关系为 a n ?1 ?

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ?

5.已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 an ?1 ?

an ( n ? N ),,求数列的通项公式。 an ? 1

6.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ? (n ? 1)bn ,其中 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; 7.已知等差数列{an}的首项 a1 = 1, 公差 d > 0, 且第二项、 第五项、 第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、 第三项、第四项.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;

8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

9.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n ?1

an ?

n * , n ? N .(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; 3

10.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N ) .(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ;
*

1

11.已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?

an an ?1 ( n ? N * ),且 {bn } 是以 q 为公

比的等比数列.(I)证明: an?2 ? an q2 ;(II)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列;

B组 1. 设数列{an}的前项的和 Sn=

1 ? (an-1) (n ? N ).(Ⅰ)求 a1;a2; 3

(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列.

2. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的
'

前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1 (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; . (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

4.已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。

,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 5 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1

6. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

7. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

8. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

9.已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。

10. 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 3an 4 , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。

2

答案: 1. 解: (Ⅰ)由 S1 ?

2. 解:⑴当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1;当 n=2 时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2 ? a2=0;当 n=3 时,有: S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 ? a3=2 ; 综 上 可 知 a1=1,a2=0,a3=2 ; ⑵ 由 已 知 得 :

1 1 1 1 1 ( a1 ? 1) ,得 a1 ? ( a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 3 3 3 3 2 a 1 1 1 1 1 a 2 ? . (Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 得 n ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? , 4 3 3 2 an?1 2 1 公比为 ? 的等比数列. 2

an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an?1 ? (?1)n?1 化 简 得 : an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 上 式 可 化 为 : 2 2 2 2 an ? (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 故数列{ an ? (?1) n }是以 a1 ? (?1)1 为首项, 公比为 2 的等比数列.故 3 3 3 3 2 1 1 2 2 an ? (?1) n ? 2n ?1 2n ?1 ? (?1) n ? [2n ? 2 ? (?1) n ] 数 列 { an } 的 通 项 公 式 为 : ∴ an ? 3 3 3 3 3 2 n?2 an ? [2 ? (?1) n ] . 3
3. 解: (Ⅰ) 设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x) =3x2-2x.又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n.当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=
2

?

?

6n-5 ( n ? N ). 6. 方法(1):构造公比为—2 的等比数列 an ? ? ? 3n ,用待定系数法可知 ? ? ?

?

?

?

1 . 5

n 方法(2):构造差型数列 ? a n ? ,即两边同时除以 (?2) 得: an ? an?1 ? 1 ? (? 3 ) n ,从而可以用累加的 ? n n ?1 n ?

? ( ?2) ?

(?2)

(?2)

3

2

方法处理.方法(3):直接用迭代的方法处理:

an ? ?2an?1 ? 3n?1 ? ?2(?2an?2 ? 3n?2 ) ? 3n?1 ? (?2) 2 an?2 ? (?2)3n?2 ? 3n?1 ? (?2) 2 (?2an?3 ? 3n?3 ) ? (?2) 2 3n?2 ? 3n?1 ? (?2) 3 an?3 ? (?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n?2 ? 3n?1 ? ? ? (?2) n a0 ? (?2) n?1 30 ? (?2) n?2 31 ? (?2) n?3 32 ? ?(?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n?2 ? 3n?1
3n ? (?1) n?1 ? 2 n ? (?2) a0 ? . 5 7. 分析: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1. a1 ? a2 ? 2a2 ? 1 ,得 a2 ? 0
n

-①由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得 a1 ? 1.

- ② 由 n?2 得 , -④

-③由 n ? 3 得, a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 1,得 a3 ? 2

用 n ? 1 代 n 得 S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 -⑤①—⑤: an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ? 2(?1) n 即 an ? 2an?1 ? 2(?1)
n n

an ? 2an?1 ? 2(?1) ? 2 2an?2 ? 2(?1) n?1 ? 2(?1) n ? 22 an?2 ? 22 (?1) n?1 ? 2(?1) n 2 ? ? ? 2 n?1 a1 ? 2 n?1 (?1) ? 2 n?2 (?1) 2 ? ?2(?1) n ? 2 n ? 2 ? (?1) n ?1 3

?

--⑥

?

?

?

8. 解: a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ,得 故数列 {

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a ?1 a n 3 3 ? ? , ,则 n 2 2 n ?1 2 n 2

a an 2 3 ? ?1 为 首 , 以 为 公 差 的 等 差 数 列 , 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 , 得 } 是以 1 1 2 2n 2 2

3

an 2
n

? 1 ? ( n ? 1)

3 3 1 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2 2

9 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 2 ? 2[( n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? 2? ? (n ? 1) ? 1 2
1

a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1
? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ?2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ?2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1



3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3
a n ?1 3
n ?1

11. 解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 n ?1 ,得

?

an 3
n

?

2 1 ? n ?1 , 3 3



a n ?1 3 n ?1

?

an 3n

?

an 2 1 ? n ?1 ,故 n 3 3 3

?(

an 3n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? a n ?1 a n ?1 3 ?2 3 n ? 2 3 n ?3 3 2 31 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ? 12.
an ? an a n ?1

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2
a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n , 则 an

解 : 因 为 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 , 所 以 a n ? 0 , 则
? a n ?1 an?2 ??? a3 a2 ? a2 a1 ? a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ] ? [2(n ? 2 ? 1)5n ?2 ]?[2 ? (2 ? 1) ? 52 ] ? [2 ? (1 ? 1) ? 51 ] ? 3
n ( n ?1) ?5 2

?2

n ?1

? [n ? (n ? 1) ? ?? 3 ? 2] ? 5

( n ?1) ?( n ?2) ??? 2?1

? 3 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 3 ? 2
① ②

n ?1

? n!


13. 解:因为 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2)



a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n

所 以 ② 式 - ① 式 得 a n ?1 ? a n ? na n 则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) 则

a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) 所 以 an

an ?

a a n a n ?1 n! ? ? ? ? 3 ? a 2 ? [n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ? ? a 2 a n ?1 a n ? 2 a2 2
4



由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) , 取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 , 则 a 2 ? a1 , 又知 a 1 ? 1 , 则 a 2 ? 1, 代入③得 a n ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?

n! 。 2

n ?1

14. 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n )



a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n
n n ?1




n






n



2a n ? 3 ? 5 ? x ? 5
n

n ?1

? 2a n ? 2x ? 5 ,等式两边消去 2a n ,得 3 ? 5 ? x ? 5
n

? 2x ? 5 ,两边除以 5 ,得

3 ? x ? 5 ? 2 x ,则 x=-1,代入④式,得 a n ?1 ? 5

? 2(a n ? 5 )
n



由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则 项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 ? 1 ? 2
n n ?1

a n ?1 ? 5 n ?1 an ? 5
n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是以 a 1 ? 51 ? 1 为首

,故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。

5


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