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高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和2.3.2等差数列前n项和的性质与应用课件新人教A版必修5

第2课时 等差数列前n项和的性质与应用 学习目标 1.复习巩固等差数列的定 义、通项公式和前 n 项和 公式 . 2.掌握等差数列前 n 项和 的性质及其应用 . 3.会求等差数列各项绝对 值的和 . 思维脉络 等差数列前n项和的性质 (1)设等差数列{an},Sn为其前n项和,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍构成等差数列,且公 差为k2d. (2)设等差数列{an}. 若项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),且S偶-S奇=nd; 若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶=an,S偶∶S奇=(n1)∶n. (3)设{an},{bn}均为等差数列,An为数列{an}的前n项和,Bn为数列{bn}的前n项和, 则 (4)设Sn为等差数列{an}的前n项和,则仍为等差数列,且公差为 = 2-1 . 2-1 (4)设Sn为等差数列{an}的前n项和,则 仍为等差数列,且公差为 . 2 名师点拨 关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导 (1)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇 =a2+a4+…+a2n-a1-a3-… -a2n-1=(a2a1)+(a4-a3)+… +(a2n-a2n-1)= + + … + =nd. 个 (2)若项数为 2n-1,则 (2n-1)(a1 +a2n-1 ) (2n-1)· 2an S2n-1= = =(2n-1)an. 2 2 由等差数列的性质:a2+a2n-2=a1+a2n-1=… =2an. n-1 n-1 ∴S 偶 =a2+a4+…+a2n-2= 2 (a2+a2n-2)= 2 · 2an=(n-1)an, n n S 奇=a1+a3+…+a2n-1= (a1+a2n-1)= · 2an=nan. 2 2 ∴S 奇 -S 偶 =nan-(n-1)an=an,S 偶 ∶S 奇 =(n-1)∶n. 探究一 探究二 探究三 探究一等差数列前n项和的性质应用 在等差数列的有关计算问题中,合理地运用等差数列及其前n项和的性质,可以 简化计算,优化解题过程. 探究一 探究二 探究三 典型例题1 (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为 32∶27,则公差d= 则n的值为 . . (3)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150, 思路分析:(1)(2)利用项数为2n的等差数列中,S偶-S奇=nd的性质求解或转化为用 基本量a1,d求解;(3)利用项数为2n-1的等差数列的性质求解. 探究一 探究二 探究三 解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3. 奇 + 偶 = 354, 奇 (2)由 偶 = 32 , 27 解得 偶 = 192, 奇 = 162. ∵S偶-S奇=6d,∴d=5. (3)∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15. 又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15, ∴n=10. 答案:(1)C (2)5 (3)10 方法总结 关于奇数项和与偶数项和的问题,用等差数列的性质求解,能简化计算. 探究一 探究二 探究三 典型例题2 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求其前110项之和. 思路分析:用等差数列中的“Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列”求解. 解:易得数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列. 设其公差为D,则前10项的和为 10S10+ 10 × 9 · D=S100=10,解得D=-22, 2 ∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-110. 探究一 探究二 探究三 变式训练1 ) 等差数列{an}前n项的和为30,前2n项的和为100,则 它的前3n项的和为( A.130 B.170 C.210 D.260 解析:∵数列{an}为等差数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列. ∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),∴30+(S3n-100)=2(100-30),解得S3n=210. 答案:C 探究一 探究二 探究三 探究二求数列{|an|}的前n项和 已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤: (1)确定通项公式an; (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先 正后负; (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时 需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式; (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式. 探究一 探究二 探究三 3 2 205 已知数列{an}的前n项和,求数列{|an|}的前n项和 Sn=-2n + 2 n Tn. 思路分析:先求出通项an,再确定出数列中项的正负,再利用Sn求解. 典型例题3 解:a1=S1=- ×12+ ∵n=1也适合上式, 3 2 205 ×1=101, 2 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104. ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*). 由 an=-3n+104≥0,得 n≤34 . 即当n≤34时,an>0; 当n≥35时,an<0. 2 3 探究一 探究二 探究三 (1)当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn

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