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高中数学竞赛讲义(15)复数

高中数学竞赛讲义(十五) ──复数 一、基础知识 1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的 数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈R),a 称实部记 作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部 两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平 面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构 成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平 面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数 的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个 向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形 式;另外设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ= θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsinθ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种 形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ <2π ,则θ 称为 z 的辐角主值,记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|,由勾股定理知|z|= .如果用 eiθ 表示 cosθ +isin

θ ,则 z=reiθ ,称为复数的指数形式。 3.共轭与模,若 z=a+bi,(a,b∈R),则 复数。模与共轭的性质有:(1) a-bi 称为 z 的共轭 ;(2) ;
1

(3)

; (4)

; (5)

; (6)



( 7 ) ||z1|-|z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1|+|z2| ; ( 8 ) |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2;(9)若|z|=1,则 。

4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算 法则与实数范围内一致, 运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为 实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则; (3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),

则 z1??z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若
1

[cos(θ
θ 1+ θ

- θ 2)+isin( θ 1- θ ,

2

)] , 用 指 数 形 式 记 为 z1z2=r1r2ei(

2)

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )]n=rn(cosnθ +isinnθ ). 6. 开 方 : 若 r(cos θ +isin θ ) , 则

,k=0,1,2,?,n-1。 7. 单位根: wn=1, 若 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根, 简称单位根, 记 Z1= , 则全部单位根可表示为 1, , .单位根

的基本性质有(这里记

,k=1,2,?,n-1):(1)对任意整数

k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr;(2)对任意整数 m,当

n≥2 时, 有

=

特别 1+Z1+Z2+?+Zn-1=0; (3) )?(x).
2

xn-1+xn-2+?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-

8.复数相等的充要条件: (1) 两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= ;z 是纯虚数的充要条件是: z+ =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对 出现,即若 z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则 =a-bi 也是一个根。 12. a,b,c∈R,a≠0, 若 则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0, =b2-4ac<0 当Δ 时方程的根为 二、方法与例题 1.模的应用。 例1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有纯虚根。 若 z 是 方 程 的 根 , 则 (z+1)2n=-(z-1)2n , 所 以

[证明]

|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1), 化简得 z+ =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。 例2 设 f(z)=z2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,

求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)

=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。
3

所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0. 2.复数相等。 例 3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x2+(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚 根,求λ 满足的充要条件。

[解]

若方程有实根, 则方程组

有实根, 由方程组得

(λ +1)x+λ +1=0.若λ =-1,则方程 x2-x+1=0 中Δ <0 无实根,所以λ ≠-1。所以 x=-1, λ =2.所以当λ ≠2 时,方程无实根。所以方程有 两个虚根的充要条件为λ ≠2。 3.三角形式的应用。 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ )n=sinnθ

+icosnθ ,那么这样的 n 有多少个? [解] 由题设得

,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。 4.二项式定理的应用。 例5 [解] 计算:1) ( ;2) (

(1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250, 由 二 项 式 定 理 (1+i)100=

= 部,得

)+( =-250,

)i,比较实部和虚 =0。

5.复数乘法的几何意义。
4

例6

以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,

C 为直角顶点向外作等腰直角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中 点为定点。 [证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角 坐标系,确定复平面,则 B,C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的 复数为 z1,z2,z3, ,① ,由复数乘法的几何意义得: ,②由①+②得

z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai. 设 MN 的 中 点 为 P , 对 应 的 复 数 z= 例7 AC?BD。 [证明] 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则 , 因 为 ,为定值,所以 MN 的中点 P 为定点。 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥

(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)

|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅 当 ,即 =π ,即 A,B,C,

D 共圆时成立。不等式得证。 6.复数与轨迹。 例8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,

且|BC|=2,求Δ ABC 的外心轨迹。

5

[解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数 分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平 分线方程为|z-b|=|z-3i|, 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|, BC 所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得

所以Δ ABC 的外心轨迹是轨物线。 7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:

cos2α +cos2β +cos2γ =0。 [证明] γ ,则 z1+z2+z3=0。 所以 所以 zi? =1,即 ① 又因为|zi|=1,i=1,2,3. 令 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isin

由 z1+z2+z3=0 得 又 所以

所以 cos2α +cos2β +cos2γ +i(sin2α +sin2β +sin2γ )=0. 所以 cos2α +cos2β +cos2γ =0。 例 10 求和:S=cos200+2cos400+?+18cos18×200. [解] 令 w=cos200+isin200,则 w18=1,令 P=sin200+2sin400+?

+18sin18 × 200, 则 S+iP=w+2w2+ ? +18w18. ① 由 ① × w 得
6

w(S+iP)=w2+2w3+?+17w18+18w19 ,②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+?

+w18-18w19= 8.复数与多项式。

, 所以 S+iP=

, 所以

例 11 已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0 ≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. [证明] 记 c0zn+c1zn-1+?+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0),则方

程 g(Z)-c0eiθ =0 为 n 次方程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,?,zn,从而 g(z)-c0eiθ =(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0,令 z=0 得-c0eiθ =(-1)nz1z2 ? znc0,取模得|z1z2?zn|=1。所以 z1,z2,?,zn 中必有一个 zi 使得|zi| ≤1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ =cn, 所以|f(zi)|=|c0eiθ +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 例 12 证明: 自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的 距离的平方和为定值。 [证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建 立复平面,顶点 A1 对应复数设为 别为ε =2n=2n10.复数与几何。 命题得证。
2

,则顶点 A2A3?An 对应复数分

,ε

3

,?,ε

n

. 设 点 p 对 应 复 数 z, 则 |z|=1, 且

7

例 13 如图 15-2 所示, 在四边形 ABCD 内存在一点 P, 使得Δ PAB, Δ PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 [证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它

们对应的复数,由题设及复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA;取 , 则 C-Q=i(B-Q) , 则 Δ BCQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ; 又 由 C-Q=i(B-Q)得 ,即 A-Q=i(D-Q),所以Δ ADQ 也为等腰

直角三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。 例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋转 1200 时 pk 所到达的位置, k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边三角形。 [证明] 令 u= ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,

取给定平面为复平面,则 p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①×u2+②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关 的常数。同理得 p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u,这说明Δ A1A2A3 为正三角 形。 三、基础训练题

8

1. 满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________ 组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z=__________。 __________。

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 4.已知 5.设复数 z 使得

,则 1+z+z2+?+z1992=__________。 的一个辐角的绝对值为 ,则 z 辐角主值的

取值范围是__________。 6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 -Λ z=w 的解为 z=__________。 7.设 0<x<1,则 2arctan __________。 ,

8.若α ,β 是方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且 则 __________。

9.若 a,b,c∈C,则 a2+b2>c2 是 a2+b2-c2>0 成立的__________条件。 10.已知关于 x 的实系数方程 x2-2x+2=0 和 x2+2mx+1=0 的四个不 同的根在复平面上对应的点共圆,则 m 取值的集合是__________。 11.二次方程 ax2+x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范 围。

9

12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0 ≠0,且满足方程|z1-z0|=|z1|,①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置。 13. 个复数 z1,z2,?,zn 成等比数列, N 其中|z1|≠1, 公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,?,wn 满足条件:k=zk+ w +h, 其中 k=1,2,?,n,h

为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,?,wn 的点 p1,p2,?,pn 都在 一个焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称, 则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 角度,他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。

4.若

,则|z|=__________。

5. 若 ak ≥ 0,k=1,2, ? ,n , 并 规 定 an+1=a1 , 使 不 等 式 恒成立的实数λ 的最大值为__________。 6.已知点 P 为椭圆 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正

方形 OPQR,则动点 R 的轨迹方程为__________。

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7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P, Q 按顺时针方向排列)。则点 Q 的轨迹方程为__________。 8. 已知 z∈C,则命题 是纯虚数” “z 是命题 “ 条件。 9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为 __________。 10 . 设 (x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+ +?+a3k11.设复数 z1,z2 满足 z1? (1)|z1+A|?|z2+A|=|A|2; (2) ? +anxn , 则 ” 的__________

__________。 ,其中 A≠0, A∈C。 证明:

12. z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值, 若 并求取得最大值、最小值时的复数 z.

13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足 |az1+bz2+cz3|的值。 五、联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 __________。



则 z 的辐角主值的取值范围是

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2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 在 复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ, PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S, S 到原点距离的最大值为 则 __________。 3. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依 次为 z1,z2,?,z20,则复数 __________。 4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5.设 ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B, 所对应的不同点的个数是

点 O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则Δ OAB 面积是__________。 6.设 __________。 7. 已知( )m=(1+i)n(m,n∈N+), mn 的最小值是__________。 则 , 则 (x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9) 的 展 开 式 为

8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, ?z2 的实部为零,z1 的辐角主值为 ,则 z2=__________。 9. 当 n ∈ N, 且 1 ≤ n ≤ 100 时 , __________个。 的值中有实数

10 . 已 知 复 数 z1,z2 满 足 ,则

,且





的值是__________。
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11.集合 A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 是不相等的实根(n∈N+). 13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成 立,试问:复数α ,β 应满足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足 的所有根都

其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所 对应的点位于同一圆周上。 2.求证: 。

3.已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+?+cn 是复变量 z 的实系数多项式, 且|p(i)|<1, 求证: 存在实数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a2+b2+1)2<4b2+1. 4.运用复数证明:任给 8 个非零实数 a1,a2,?,a8,证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有 一个是非负数。 5.已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。
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