当前位置:首页 >> 高三数学 >>

不等式恒成立问题及能成立问题


例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略
——谈 2008 年江苏高考数学试卷第 14 题
摘要:所有问题均可分成三类:恒成立问题、能成立问题和不成立问题。 《例谈 不等式恒成立问题和能成立问题》 介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立 问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等,采用了等价转化 的处理策略。 关键词:分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化,换元,求最值。 2008 年江苏高考数学试卷第 14 题是一道很好的恒成立问题:设函数

f ( x) ? ax3 ? 3 x ? 1( x? R)若对于任意 x ???1,1? 都有 f ( x ) ? 0 成立,则实数 a 的值
为 。解析如下:

析:将 f ( x) ? 0 中的 a, x 分离,然后求函数的最值。 解:函数 f ( x) ? ax3 ? 3 x ? 1( x ? R) 若对于任意 x ???1,1? 都有 f ( x ) ? 0 成立,函数

f ( x) ? ax3 ? 3 x ? 1( x ? R) 对于任意 x ?? ?1, 0? , x ?? 0,1 ? 及其x ? 0有 f ( x) ? 0 都成立。
若 x ?? ?1,0? , f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 ? a ? ?
?? 1 3 1 ? 2 ,设 t ? 则 t ? ?1 3 x x x

1 3 ? 2 ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? ?1) ,令 y ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? ?1) ,则 y' ? ?3t 2 ? 6t ? 0 3 x x

? y ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? ?1) 单调递减, ymin ? y t ??1 ? ?(?1)3 ? 3(?1)2 ? 4 ,? a ? 4 (1)
若 x ? ? 0,1? , f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 ? a ? ?
?? 1 3 1 ? 2 ,设 t ? ,则 t ? 1 3 x x x

1 3 ? 2 ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? 1) ,令 y ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? 1) ,则 y' ? ?3t 2 ? 6t ? ?3t (t ? 2) , 3 x x

当 1 ? t ? 2 时 y' ? 0 , y ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? 1) 单 调 递 增 ; 当 t ? 2 时 y' ? 0 ,

y ? ?t 3 ? 3t 2 (t ? 1) 单调递减, ymax ? y t ?2 ? ?23 ? 3 ? 22 ? 4 ,? a ? 4 (2)
若 x ? 0 则 a ? R , f ( x) ? 0 成立(3) 由题意知(1) (2) (3)应同时成立? a ? 4 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若 f(x)≥a 对 x∈D 恒成立,只须 f(x)min(x∈D)≥a 即可。 2、若 f(x)≤a 对 x∈D 恒成立,只须 f(x)max(x∈D)≤a 即可。

该题在考查学生基础知识的同时,注意考查了考生的分类讨论的思想、换元 的思想等,是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。 2000 年上海高考数学试卷也考了一道不等式恒成立的题目,解析如下 已知函数 f(x)= (1)当 a=
x 2 ? 2x ? a ,x∈ [1,??) . x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2) 若对任意的 x∈ [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,试求 a 的取值范围。 析:由于 x∈ [1,??) , f ( x) ? 0 ? x2 ? 2 x ? a ? 0 化繁为简。 解: (1) 当a ?
1 1 ?2, 时,f ( x) ? x ? ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上为增函数, ? f ( x) 2 2x 7 在区间[ 1,??) 上的最小值为 f (1) ? 2

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立 ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成 (2)在区间[ 1,??) 上, f ( x) ? x

立,设 y ? x 2 ? 2 x ? a, x ? [1,??) , y ? x 2 ? 2x ? a ? ( x ? 1) 2 ? a ? 1 递增,∴当
x ? 1 时,y min ? 3 ? a , 于是当且仅当 y min ? 3 ? a ? 0 时, 函数 f ( x) ? 0 恒成立,

故 a ? ?3 本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。 通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论: 解不等式恒成立问题, 首 先要构建函数模型,然后求这个函数的最值,最后采取不等式恒成立问题的处 理策略进行求解。等价转化是思想,构建函数模型是手段,求函数的最值是关 键。 下面就不等式恒成立问题谈几种解决方法,以期对读者有所启迪。 一、直接法
2 1 例 1.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取 x y

值范围是



析:本题可利用不等式求最值

2 1 4y x 解: x ? 2 y ? ( x ? 2 y ) ? ( ? ) ? 4 ? ( ? ) ? 8 , 而 x ? 2 y ? m2 ? 2m 对 x ? 0, y ? 0 x y x y

恒成立,则 m2 ? 2m ? 8 ,解得 ?4 ? m ? 2
x x ?1 例 2. 若不等式 4 ? 2 ? a ≥0 在[1, 2]上恒成立, 则实数 a 的取值范围为



析:本题可转化为求二次函数的最值 解:令 y ? 4x ? 2x?1 ? a, x ??1,2? ,则 y ? ? 2 x ? 1? ? a ? 1, x ? ?1, 2? 而2 ? 2x ? 4
2

所以 ymin ? (2 ?1)2 ? a ?1 ? ?a ,因不等式 4 x ? 2 x ?1 ? a ≥0 在[1,2]上恒成立 所以 ymin ? ?a ? 0 ,即 a ? 0
? ? ? 例 3.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2? π π π

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值;
? (2)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? ? 4 , 2 ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ? ? π π

析: f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 ,∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2
? π π? ?? ? 解: (1)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . ? ?2 ??

?

3?

? 又∵ x ? ? 即 2≤ 1n 2 ? i s2 ∴ ≤ 2x ? ≤ , ?4 , 2? , 6 3 3 ? ? π π
π π 2π

π? ? ∴ f ( x)max ? 3, f ( x)min ? 2 . 3 ?≤ , ? x? 3? ? π π

? ? ∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 , ∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , (2) x?? , ? , 4 2 ? ?

∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .

二、分离参数法 例 4 .关于 x 的不等式 x 2 ? 9 ? x 2 ? 3x ? kx 在 [1,5] 上恒成立,则实数 a 的范围 为 .

析:含参问题的考察始终是高考的热点,要善于对问题先观察思考后动手,避免 不必要的麻烦。 解析一: 两边同除以 x ,则 k ? x ?
9 9 ? x ? 3 , x ? ? 6 , x ?3 ? 0, x x

当且仅当 x ? 3 ,两等式同时成立,所以 x ? 3 时,右边取最小值 6,? k ? 6 .
k ? 6. 解析二: (提示) 可分 1 ? x ? 3 和 3 ? x ? 5 讨论. 求分段函数的最小值. 答案:

例 5.若 a,b 均为正实数,且 a ? b ? a ? m b 恒成立,则 m 的最小值是 析: 参数分离 a ? b ? a ? m b ? m ? 最后 采取不等式恒成立问题的处理策略求 m 的最小值 解:因 a,b 均为正实数, a ? b ? a ? m b ? m ?

a a a a 然后求 ? 1? , ? 1 ? 的最值, b b b b

a a ? 1 ? ,根据基本不等式 b b

2(a2 ? b2 ) ? (a ? b)2 ,(a ? 0, b ? 0) 得

? a a a a ? ? 1 ? ? 2 ?( ) 2 ? ( 1 ? ) 2 ? ? 2 b b b ? ? b
? a a? ? 1 ? ? ?m ? 2 , 则 m 的最小值是 2 b? ? b

a ? b ? a ? m b 恒成立 ? m ? min ?

三、等价转化法 例 6.已知函数 f ( x) ? x 2 ?

2 ? a ln x( x ? 0), x

若 f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 析:本题的实质由 f ' ? x ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围。 解: 由 f ? x ? ? x 2 ?
2 2 a ? a ln x ,得 f ' ? x ? ? 2 x ? 2 ? x x x ' 若函数为 [1, ??) 上单调增函数,则 f ? x ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立

即不等式 2 x ? 成立 令 ? ( x) ?

2 a 2 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立. 也即 a ? ? 2 x 2 在 [1, ??) 上恒 2 x x x

2 2 ? 2 x2 , ) ? ? 2 x 2 为在 [1, ??) 上述问题等价于 a ? ? ( x)max , 而?(x x x

上的减函数,则 ? ( x)max ? ? (1) ? 0 ,于是 a ? 0 为所求 例 7.已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ? R 若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; 析:本题可利用 f ( x ) 是偶函数.将问题等价转化为:已知 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立,确定实数 k 的取值范围.

解:由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? ex ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. ②当 k ? (1, ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k
0

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

f ( x)

极小值

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .
?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,

综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
? x2 ? 4x ? 3 ? 0 ? 例 8.已知 P:2x -9x+a < 0,q: ? 2 且 ? p 是 ? q 的充分条件,求实 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0
2

数 a 的取值范围. 析:B ? A ? ?x ? B ? x ? A ,即 A 中的不等式对于 B 中的 x 恒成立
2 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 解:由 q: ? 2 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0

得 q:2<x<3

设 A={ x ︱p}={ x ︱2x2-9x+a<0} ,B={ x ︱q}={ x ︱2<x<3}

? p ? ? q, ∴ q ? p ∴B ? A
∴2<x<3 满足不等式 a<9x-2x2

即 2<x<3 满足不等式

2x2-9x+a<0

∵当 2<x<3 时,9x-2x2=-2(x2-

9 81 81 9 81 x+ - ) =-2(x- )2+ 2 16 16 4 8

? 9<9x-2x ≤
2

81 8

∴a≤9

评: 以上三例均是将它们转化为不等式恒成立问题。等价转化就是把未知解的问 题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。 通过不断的转化, 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历 年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,这将 有利于强化解决数学问题的应变能力,提高思维能力和解决数学问题的技能、技 巧。 四、数形结合法 根据恒成立不等式的特点, 通过挖掘几何图形含意,利用函数图象的高低位置关 系找出参数的变化范围. 例 9.不等式 ax≤ x(4 ? x) 在 x∈[0,3]内恒成立,求 a 的变化范围. 解:画出两个函数 y=ax 与 y= x(4 ? x) 的图象.(如图) 将 x=3 代入 ax= x(4 ? x) ,得 a=
? 3? ∴a∈ ? ? ? ?, 3 ? ? ?
1 (? ? ) 2 例 10. 若 1 ? x 2? kx 2

3 3

对一切 0 ? x ? 1 都成立, 则 k 的取值范围是________

1 析 : 构 造 两 个 函 数 y ? 1 ? x 2 , y ? k ( x ? ) ? 2 , 半 圆 y ? 1 ? x2 应 全 在 直 线 2 1 y ? k( x ? ) ? 2的 下 方 , , 其 中 直 线 L1 过 点 ( 0 , 1 ) 斜 率 为 2 , 直 线 L2 与 2

y ? 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 相切斜率为

? 4 ? 2 13 ? 4 ? 2 13 ,画图易得: ?k?2 3 3

评:数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键 是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化, 充分利用这种转化,寻找解题思路,可使问题化难为易、化繁为简,从而得到解 决.华罗庚先生说得好: “数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形 缺数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分 离” 。 五、 “能成立”与“恒成立”的问题 “能成立”与“恒成立”的问题分属于“存在性命题”和“全称命题”的范畴, 应区别对待。 例 11.若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是 .

析: “关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集, 等价于 x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 有 解,则 min( x2 ? ax ? a ? 3) ? 0 ”与“关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集是 R , 等价于 x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 恒成立,则 max( x2 ? ax ? a ? 3) ? 0 ”不同,应加以体会。 解 :设 f ?x? ? x 2 ? ax ? a . 则关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集

? f ?x ? ? ?3 在 ?? ?,??? 上能成立 ? f min ?x ? ? ?3 ,
即 f min ?x ? ? ?
4a ? a 2 ? ?3, 解得 a ? ?6 或 a ? 2 4

评:不等式能成立问题的处理策略: 1、若 f(x)≥a 对 x∈D 能成立,只须 f(x)max(x∈D)≥a 即可。

2、若 f(x)≤a 对 x∈D 能成立,只须 f(x)min(x∈D)≤a 即可 例 12.若存在 a∈[1,3],使得不等式 ax2+(a-2)x-2>0 成立,则实数 x 的取 值范围是 .

析:一方面要进行主次元的转换,把不等式 ax2+(a-2)x-2>0 看成关于 a 的不 等式,另一方面利用不等式能成立的条件求实数 x 的取值范围。 解:令 f (a) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? ( x2 ? x)a ? 2x ? 2 可看成关于 a 的一元一次函数, 存在 a∈[1,3],使得不等式 ax2+(a-2)x-2>0 成立的条件为 f (a)max ? 0 只须 f (a)min ? 0或f (a)man ? 0 ,? f (1) ? 0或f (3) ? 0 , 即 x 2 ? x ? 2 ? 0或3x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ?1或x ? 综上所述: 不等式恒成立问题的处理策略是: 1、若 f(x)≥a 对 x∈D 恒成立,只须 f(x)min(x∈D)≥a 即可。 2、若 f(x)≤a 对 x∈D 恒成立,只须 f(x)max(x∈D)≤a 即可。 不等式能成立问题的处理策略是 1、若 f(x)≥a 对 x∈D 能成立,只须 f(x)max(x∈D)≥a 即可。 2、若 f(x)≤a 对 x∈D 能成立,只须 f(x)min(x∈D)≤a 即可。 解题的关键是求函数最值,方法有直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结 合法等。 复习数学过程中,要充分挖掘数学教材的教育因素,把教学中的函数思想、数 形结合思想、分类讨论思想等基本的“元”思想提高到自觉运用的层面。关注 解题的严密性、规范性、完整性,着眼于解题的通性通法,提高学生的数学素 养,这就是 2008 年江苏高考数学试题给我们的有益启示。
2 3


相关文章:
常见不等式恒成立问题的几种求解策略.doc
常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常
基本不等式和恒成立问题的综合问题.doc
标签: 高一数学| 不等式| 基本不等式和恒成立问题的综合问题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。强化基本不等式的深入运用,恒成立问题的巩固 ...
不等式中恒成立问题总结.doc
不等式恒成立问题总结_数学_自然科学_专业资料。不等式恒成立问题不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范 围内所有值都成立...
函数、不等式恒成立问题经典总结.doc
函数、不等式恒成立问题解法(老师用)恒成立问题的基本类型: 类型 1:设 f (
浅谈不等式恒成立问题.doc
浅谈不等式恒成立问题 - 浅谈不等式恒成立问题 兴义八中 李明生 在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题, 这样的题目一般综合性强, 可考查函数、...
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析.doc
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析_数学_自然科学_专业资料。不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析 一、不等式恒成立问题 2 问题引入:已知不等式 x ? 2ax...
高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题.doc
高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题 - 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: f ? x ?min ? A...
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案).doc
函数恒成立能成立问题及课后练习(含答案)_数学_高中教育_教育专区。函数专题...R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是___ 解析: 4 函数...
不等式恒成立、存在性问题的解题方法.doc
不等式恒成立、存在性问题的解题方法_数学_自然科学_专业资料。不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法 1、用一次函数的性质 对于一次...
不等式恒成立问题及能成立问题.doc
例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略谈 2008 年江苏高考数学试卷第
恒成立问题---不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及....doc
恒成立问题---不等式恒成立能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立能成立、恰成立问题分析及应用一、...
不等式恒成立问题.doc
不等式恒成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立各题型汇总 不等式恒成立问题方法一:利用二次函数的判别式 对于函数 f ( x) ? ax2 ? bx ...
恒成立问题常见类型及解法.ppt
恒成立问题常见类型及解法 - 恒成立问题 常见类型及解法 细解命题特点 5、不等式恒成立问题 高考命题中,不等式恒成立问题往往结合函数与导 数同题考查,单独考查...
含参不等式恒成立问题的求解策略.doc
含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何
恒成立问题与有解问题的区别.doc
恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活 跃的知识点,在近几年的高考试题中,...
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法.doc
不等式恒成立问题基本类型及常用解法 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 恒成立问题基本类型及常用类型 1:设 f(x)=ax+b : f(x) >0 在 x∈ [m, n ]...
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析大全.doc
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析大全 - 不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: f ? x ?...
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习.doc
高中数学不等式的恒成立问题教案及练习 - 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值 ...
处理恒成立问题基本方法.doc
二. 处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ① 变量分离思路处理; ② 利用函数的性质,图象思路处理。 若不等式中出现两个变量,...
不等式恒成立能成立与恰成立问题.doc
不等式恒成立能成立与恰成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一、恒成立问题 思路: (1)判别式 (2) 函数最值 (3)分离参数 (4)变更主元 1、在定义域...
更多相关标签: